Derives the sum-sub trigonometric identities.

calculus.tex

@@ -37,6 +37,18 @@
 \usepackage{booktabs}
 \usepackage{float}
 %% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
+
+%% --8<-------------------------------------------------------->8---
+%% Sometimes I wanna make a section without making it a real section,
+%% so let's call it a ghostsection. Because I currently write with no
+%% paragraph skip at all, I'm using the math-mode space skip to
+%% separate the section from the text (of the previous section). A
+%% ghost section is cute---check it out.  Notice that the
+%% responsibility of adding a period after the bold title is the
+%% user's.
+\newcommand{\ghostsection}[1]{{\vskip\the\belowdisplayskip\noindent{\bf #1}}}
+%% --8<-------------------------------------------------------->8---
+
 \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
 \usepackage{icomma}
 \allowdisplaybreaks
@@ -131,6 +143,7 @@
 \DeclareMathOperator{\cm}{cm}
 \undef\sin
 \DeclareMathOperator{\sin}{sen}
+\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
 \DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
 \DeclareMathOperator{\imp}{\implies}
 \DeclareMathOperator{\inv}{inv}
@@ -140,6 +153,7 @@
 \newcommand{\dy}{\ dy}
 \newcommand{\dt}{\ dt}
 \newcommand{\ds}{\ ds}
+\undef\d\newcommand{\d}{\frac{d}{\dx}}
 
 \DeclareMathOperator{\csch}{csch}
 \DeclareMathOperator{\sech}{sech}
@@ -1215,6 +1229,29 @@ $e=7$ e obteremos $|x^2 - 9| < 7.80$, o que está $0.80$ acima de onde
 deveria, ilustrando que $d=1$ é o maior delta possível pra $e=7$.
 \end{exercise*}
 
+\subsection{Como descrever uma elipse}
+
+Uma elipse é uma generalização de um círculo.  A fórmula geral de uma
+elipse é
+%
+  $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
+%
+Quanto maior é $a^2$, mais larga (horizontalmente) fica a elipse: a
+velocidade de varredura do eixo $x$ é atrasada em função do fato
+$1/a^2$.  Similarmente, quanto maior é $b^2$, mais alta
+(verticalmente) fica a elipse.
+
+Quando a elipse intercepta o eixo $x$ em $(1/9)x^2 + y^2 = 1$?
+Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$.  Onde
+ela intercepta o eixo $y$?  Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
+
+\begin{exercise*}
+Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$.  Note que $144 =
+12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$.  Logo, a equação é equivalente a
+$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$.  O gráfico é uma elipse que intercepta o
+eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
+\end{exercise*}
+
 \subsection{Trigonometria}
 
 É assunto difícil.  Uma parte do problema é o fato de que as noções
@@ -1242,7 +1279,7 @@ três ângulos internos de 60 graus, o que é $\sfrac{\pi}{3}$.  Se
 bisectarmos um desses ângulos, obteremos dois ângulos de
 $\sfrac{\pi}{6}$.  A bisecção divide o lado oposto em duas partes
 iguais de tamanho $\sfrac{1}{2}$.  Logo, a altura do triângulo
-satisfaz $1^2 = 1 = \sfrac{1}{4} + h^2$, sendo $h$ a altura.  Daí $h =
+satisfaz $1^2 = \sfrac{1}{4} + h^2$, sendo $h$ a altura.  Daí $h =
 \sfrac{\sqrt{3}}{2}$, implicando $\sin \sfrac{\pi}{6} = \sfrac{1}{2}$
 e $\sin \sfrac{\pi}{3} = \sfrac{\sqrt{3}}{2}$.
 
@@ -1290,6 +1327,12 @@ ctg   & ind  & $\sqrt3$     &  1    & $\sfrac{1}{\sqrt3}$     &   ind   &  $-\sf
 \label{tb:trig}
 \end{table}
 
+\begin{definition*}
+Relativo a um dado ângulo, o {\em ângulo de referência} é o menor
+ângulo agudo que se pode formar (com o eixo $x$) e, por definição, ele
+é sempre positivo em $[0, \sfrac{\pi}{2}]$.
+\end{definition*}
+
 \begin{exercise*} 
 Encontre as razões trigonométricas no plano cartesiano relativo ao
 ângulo $\sfrac{2\pi}{3}$.  O ângulo se encontra no segundo quadrante.
@@ -1363,70 +1406,6 @@ inversamente proporcional a uma quantidade cujo crescimento é
 determinado por $m(x)$ se o produto $M(x) m(x)$ é uma constante.
 \end{definition*}
 
-\subsubsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
-
-Há uma série de identidades trigonométricas.
-
-A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
-$\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
-\cos^2 x = 1$.  Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
-obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
-$\sin^2 x$, obtemos $$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x.$$
-
-A função $\sin x$ é ímpar e $\cos x$ é par, o que significa dizer
-$\sin(-x) = - \sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$.  O período de ambas é
-$2\pi$.  Logo, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
-
-Stewart sugere que todas as identidades que podem aparecer pelo livro
-podem ser obtidas das {\em fórmulas da adição}, que são $$\sin(x + y)
-= \sin x \cos y + \cos x \sin y \qquad\text{e}\qquad \cos(x + y) =
-\cos x \cos y - \sin x \sin y.$$ Por exemplo, colocando $x = y$ nelas,
-obtemos as {\em fórmulas dos ângulos duplos} $$\sin(2x) = 2\sin x \cos
-x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$
-
-\begin{definition*}
-Relativo a um dado ângulo, o {\em ângulo de referência} é o menor
-ângulo agudo que se pode formar (com o eixo $x$) e, por definição, ele
-é sempre positivo em $[0, \sfrac{\pi}{2}]$.
-\end{definition*}
-
-\begin{exercise*}
-Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
-[0,2\pi]$.  Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
-\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
-(2\cos x - 1) = 0$.  Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
-são soluções $0, \pi, 2\pi$.  Estamos também interessados em $2\cos x
-- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
-$\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
-referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$.  Coletando
-as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
-2\pi\}.$
-\end{exercise*}
-
-\begin{exercise*}
-Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
-+ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos.  Aplicando a
-fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
-y$ e daí
-%
-  $$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \cos x \sin y,$$
-%
-já que $\sec y = \sfrac{5}{4}$ implica $\cos y = \sfrac{4}{5}$.
-Falta-nos conhecer $\cos x$ e $\sin y$. Mas se $\sin x =
-\sfrac{1}{3}$, então aplicando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, obtemos
-%
-  $$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1,$$
-%
-que implica $\cos x = \pm \sfrac{2\sqrt{2}}{3}$.  Similarmente, $\sin
-y = \pm \sfrac{3}{5}.$ Precisamos decidir que sinal nos interessa.
-Como $x, y$ estão restritos ao primeiro quadrante, então $\cos x =
-\sfrac{2\sqrt{2}}{3}$ e $\sin y = \sfrac{3}{5}$.  Logo,
-%
-  $$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{5},$$
-%
-como desejado.
-\end{exercise*}
-
 \subsubsection{Sobre as palavras ``seno'' e ``cosseno''}\label{sec:sine-cosine}
 
 Parece que a palavra ``seno'' origina-se em uma má tradução de grego
@@ -1473,29 +1452,176 @@ sobre a hipotenusa, que é $\sqrt{x^2 + 1}$.  Conclua então que
 %% adivinha o que queremos.
 %% \end{remark*}
 
-\subsection{Como descrever uma elipse}
+\subsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
 
-Uma elipse é uma generalização de um círculo.  A fórmula geral de uma
+Há uma série de identidades trigonométricas.
-elipse é
+
+A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
+$\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
+\cos^2 x = 1$.  Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
+obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
+$\sin^2 x$, obtemos $$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x.$$
+
+A função $\sin x$ é ímpar e $\cos x$ é par, o que significa dizer
+$\sin(-x) = - \sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$.  O período de ambas é
+$2\pi$.  Logo, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos
+x$. Além disso, se empurrarmos o seno $\pi/2$ pra direita, obtemos o
+cosseno, ou seja, $\sin(pi/2 - x) = \cos(x)$ e similarmente
+$\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$.
+
+Stewart sugere que todas as identidades que podem aparecer pelo livro
+podem ser obtidas das {\em fórmulas da adição}, que são 
 %
-  $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
+  $$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \qquad\text{e}\qquad \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y.$$ 
 %
-Quanto maior é $a^2$, mais larga (horizontalmente) fica a elipse: a
+Por exemplo, colocando $x = y$ nelas, obtemos as {\em fórmulas dos
-velocidade de varredura do eixo $x$ é atrasada em função do fato
+  ângulos duplos} 
-$1/a^2$.  Similarmente, quanto maior é $b^2$, mais alta
+%
-(verticalmente) fica a elipse.
+  $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$
+%
+Antes de computarmos muitas identidades, vamos trabalhar nas mais
+fundamentais primeiro pra ver se conseguímos alguma ordem.  Pra
+obtermos essas fórmulas da adição, vamos precisar da Lei dos Cossenos
+e aproveitamos assim pra incluir a Lei dos Senos também.
 
-Quando a elipse intercepta o eixo $x$ em $(1/9)x^2 + y^2 = 1$?
+\ghostsection{A lei dos senos}. A lei dos senos é super fácil de
-Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$.  Onde
+memorizar porque ela diz que o tamanho dos lados de um triângulo são
-ela intercepta o eixo $y$?  Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
+proporcionais ao seno de seus respectivos ângulos em qualquer
+triângulo. Em símbolos,
+%
+  $$\frac{\sen a}{a} = \frac{\sen b}{b} = \frac{\sen c}{c}$$
+%
+Note que ela não fala que a o cosseno é.  Isso certamente faz a gente
+se perguntar por que não. E o legal dela é que é em {\em qualquer}
+triângulo.
 
+\ghostsection{A lei dos cossenos}.  A lei dos cossenos é uma espécie
+de Teorema de Pitágoras.  Considere qualquer triângulo com lados $A,
+B, C$. Nomeie os ângulos em letras minúsculas respectivamente. A lei
+diz que
+%
+\begin{align*}
+  a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos a\\
+  b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cos a\\
+  c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos a.
+\end{align*}
+
+\ghostsection{As fórmulas da adição}.  Usando a lei dos cossenos a
+gente consegue provar a fórmula da subtração dos cossenos, o que a
+gente usa pra provar a fórmula da soma.  Os exercícios abaixo mostram
+como.
+%
+\begin{figure}[!htb]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth, angle=0]{images/triangle-trig-addition-formula.png}
+  \caption{O triângulo de onde se extrai a fórmula da adição.}
+  \label{fg-trig-add-formula}
+\end{figure}
+%
 \begin{exercise*}
-Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$.  Note que $144 =
+Observe a desenho exibido pela Figura~\ref{fg-trig-add-formula}. Use-o
-12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$.  Logo, a equação é equivalente a
+pra provar a fórmula da subtração
-$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$.  O gráfico é uma elipse que intercepta o
+%
-eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
+  $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$$
+%
+\sol. A estratégia é computar $c^2$ duas vezes, a primeira pela
+distância entre os pontos $A$ e $B$ e a segunda pela lei dos
+cossenos. Primeiro note que o ângulo que subtende o lado $c$ é o
+ângulo $\alpha - \beta$. Agora, executando a estratégia, obtemos o
+quadrado da distância de $A$ pra $B$ sendo $c^2 = (\cos\alpha -
+\cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$. Pela lei dos cossenos,
+obtemos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta)$. Assim obtemos
+%
+  $$(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta).$$
+%
+Daí expanda os quadrados do lado esquerdo e observe que pode-se
+aplicar $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pra obter a constante $2$. Note
+também que, pelo desenho, $a = b = 1$. Daí a gente consegue eliminar
+todas as constantes da expressão e obter
+%
+  $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,$$
+%
+como desejado.
 \end{exercise*} 
 
+\begin{remark*}
+Teríamos trabalhando menos se tivéssemos notado mais cedo que $a = b =
+1$.
+\end{remark*}
+
+\begin{exercise*}
+Use o exercício anterior pra provar a fórmula da adição relativa ao
+cosseno. \sol. Declare $\beta = -\beta$ pra obter
+%
+  $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,$$
+%
+observando que $\cos -\beta = \cos \beta$ uma vez que o cosseno é uma
+função par e que $\sin -\beta = - \sin\beta$ porque o seno é uma
+função ímpar---obtida assim a fórmula da adição relativa ao cosseno.
+\end{exercise*}
+
+\begin{exercise*}
+Use o exercício anterior pra provar a fórmula da subtração pro seno e
+dela obtenha a fórmula da adição relativa ao seno.  \sol. Começe com
+%
+  $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,$$
+%
+e agora substitua $\alpha$ por $\pi/2 - x$ e $\beta = y$ pra obtermos
+%
+\begin{align*}
+    \cos(\pi/2 - x + y) &= \cos(\pi/2 - x)\cos y - \sin(\pi/2 - x)\sin y\\
+  \cos(\pi/2 - (x - y)) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y\\
+            \sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y,
+\end{align*}
+%
+obtendo assim a fórmula da subtração relativa ao seno. Pra obter a
+fórmula da adição, terminando completamente o exercício, declare $y=
+-y$ e obtenha
+%
+\begin{align*}
+            \sin(x - (-y)) &= \sin x \cos -y - \cos x \sin -y\\
+               \sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y,
+\end{align*}
+%
+uma vez que o cosseno é uma função par e o seno, ímpar.
+\end{exercise*}
+
+\begin{exercise*}
+Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
++ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos.  Aplicando a
+fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
+y$ e daí
+%
+  $$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \cos x \sin y,$$
+%
+já que $\sec y = \sfrac{5}{4}$ implica $\cos y = \sfrac{4}{5}$.
+Falta-nos conhecer $\cos x$ e $\sin y$. Mas se $\sin x =
+\sfrac{1}{3}$, então aplicando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, obtemos
+%
+  $$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1,$$
+%
+que implica $\cos x = \pm \sfrac{2\sqrt{2}}{3}$.  Similarmente, $\sin
+y = \pm \sfrac{3}{5}.$ Precisamos decidir que sinal nos interessa.
+Como $x, y$ estão restritos ao primeiro quadrante, então $\cos x =
+\sfrac{2\sqrt{2}}{3}$ e $\sin y = \sfrac{3}{5}$.  Logo,
+%
+  $$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{5},$$
+%
+como desejado.
+\end{exercise*}
+
+\begin{exercise*}
+Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
+[0,2\pi]$.  Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
+\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
+(2\cos x - 1) = 0$.  Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
+são soluções $0, \pi, 2\pi$.  Estamos também interessados em $2\cos x
+- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
+$\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
+referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$.  Coletando
+as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
+2\pi\}.$
+\end{exercise*}
 
 \section{Definitions, limits and continuity}
 
@@ -2068,7 +2194,7 @@ function that describes the slope of a tangent to a curve in some
 point. If we consider a curve $f$ at some point $a$ and draw a tangent
 to $f$ at the point $a$, then you can estimate the slope by
 $$\fr{f(x) - f(a)}{x - a},$$ for some $a$ near $x$.  That's an
-estimate. We would get a closer estimate if we choose a number $x$
+estimate. We would get a closer estimate if we chose a number $x$
 closer to $a$ than the previous.  If we choose $x$ exactly equal to
 $a$, we get a division by zero and we go beyond what the definition of
 limit lets us do.  Considering the limit of the expression as $x$
@@ -2160,8 +2286,6 @@ $ax^n$   & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
 \end{table}
 \end{remark*}
 
-\undef\d\newcommand{\d}{\frac{d}{\dx}}
-
 \begin{theorem*}[regra da soma]
 Se $f$ e $g$ são deriváveis, então 
 %
@@ -5159,10 +5283,11 @@ podemos computar
 o que está correto. A verificação é feita observando que $\sin^2 x =
 (1/2) - (1/2)\cos 2x$.  É uma boa hora de estudar as {\em half-angled
   formulas} porque elas se aplicam também às potências
-trigonométricas.  Por exemplo, $\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot
+trigonométricas.  Por exemplo, 
-2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x)$, o que é usado na computação da integral de
+%
-$\sin^4 x$.  É---vamos estudar a {\em half-angled formula} pra
+  $$\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot 2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x),$$
-especialmente entender o porquê do nome.
+%
+o que é usado na computação da integral de $\sin^4 x$.
 
 \section{Studying functions} 
 
@@ -6177,7 +6302,13 @@ nisso---então vamos em frente.
 Quais coeficientes determinam o crescimento de uma variável em relação
 a outra nas retas? É o coeficiente líder porque a constante $b$ da
 reta $y = mx + b$ é nada mais que uma translação da reta no plano.
-Pra mostrar isso à audiência, bastaria dar um exemplo de duas retas
+Pra mostrar isso à audiência, primeiro precisamos saber calcular o
+crescimento, o que nos exige uma definição de crescimento.  O
+crescimento pode ser medido com relação a uma variável---existe o
+crescimento em $x$ e o crescimento em $y$---o que chamamos de
+``delta''.
+
+Quanto cresce $y$ com respeito a $x$?
 
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography