Derives the sum-sub trigonometric identities.
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311
calculus.tex
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@ -37,6 +37,18 @@
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\usepackage{booktabs}
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\usepackage{float}
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%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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%% --8<-------------------------------------------------------->8---
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%% Sometimes I wanna make a section without making it a real section,
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%% so let's call it a ghostsection. Because I currently write with no
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%% paragraph skip at all, I'm using the math-mode space skip to
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%% separate the section from the text (of the previous section). A
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%% ghost section is cute---check it out. Notice that the
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%% responsibility of adding a period after the bold title is the
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%% user's.
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\newcommand{\ghostsection}[1]{{\vskip\the\belowdisplayskip\noindent{\bf #1}}}
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%% --8<-------------------------------------------------------->8---
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\usepackage{icomma}
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\allowdisplaybreaks
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@ -131,6 +143,7 @@
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\DeclareMathOperator{\cm}{cm}
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\undef\sin
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\DeclareMathOperator{\sin}{sen}
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\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
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\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
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\DeclareMathOperator{\imp}{\implies}
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\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
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@ -140,6 +153,7 @@
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\newcommand{\dy}{\ dy}
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\newcommand{\dt}{\ dt}
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\newcommand{\ds}{\ ds}
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\undef\d\newcommand{\d}{\frac{d}{\dx}}
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\DeclareMathOperator{\csch}{csch}
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\DeclareMathOperator{\sech}{sech}
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@ -1215,6 +1229,29 @@ $e=7$ e obteremos $|x^2 - 9| < 7.80$, o que está $0.80$ acima de onde
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deveria, ilustrando que $d=1$ é o maior delta possível pra $e=7$.
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\end{exercise*}
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\subsection{Como descrever uma elipse}
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Uma elipse é uma generalização de um círculo. A fórmula geral de uma
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elipse é
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%
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$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
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%
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Quanto maior é $a^2$, mais larga (horizontalmente) fica a elipse: a
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velocidade de varredura do eixo $x$ é atrasada em função do fato
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$1/a^2$. Similarmente, quanto maior é $b^2$, mais alta
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(verticalmente) fica a elipse.
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Quando a elipse intercepta o eixo $x$ em $(1/9)x^2 + y^2 = 1$?
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Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$. Onde
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ela intercepta o eixo $y$? Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
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\begin{exercise*}
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Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$. Note que $144 =
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12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$. Logo, a equação é equivalente a
|
||||
$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$. O gráfico é uma elipse que intercepta o
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eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
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\end{exercise*}
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\subsection{Trigonometria}
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É assunto difícil. Uma parte do problema é o fato de que as noções
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@ -1242,7 +1279,7 @@ três ângulos internos de 60 graus, o que é $\sfrac{\pi}{3}$. Se
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bisectarmos um desses ângulos, obteremos dois ângulos de
|
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$\sfrac{\pi}{6}$. A bisecção divide o lado oposto em duas partes
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iguais de tamanho $\sfrac{1}{2}$. Logo, a altura do triângulo
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satisfaz $1^2 = 1 = \sfrac{1}{4} + h^2$, sendo $h$ a altura. Daí $h =
|
||||
satisfaz $1^2 = \sfrac{1}{4} + h^2$, sendo $h$ a altura. Daí $h =
|
||||
\sfrac{\sqrt{3}}{2}$, implicando $\sin \sfrac{\pi}{6} = \sfrac{1}{2}$
|
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e $\sin \sfrac{\pi}{3} = \sfrac{\sqrt{3}}{2}$.
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@ -1290,6 +1327,12 @@ ctg & ind & $\sqrt3$ & 1 & $\sfrac{1}{\sqrt3}$ & ind & $-\sf
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\label{tb:trig}
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\end{table}
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\begin{definition*}
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||||
Relativo a um dado ângulo, o {\em ângulo de referência} é o menor
|
||||
ângulo agudo que se pode formar (com o eixo $x$) e, por definição, ele
|
||||
é sempre positivo em $[0, \sfrac{\pi}{2}]$.
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||||
\end{definition*}
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\begin{exercise*}
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||||
Encontre as razões trigonométricas no plano cartesiano relativo ao
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ângulo $\sfrac{2\pi}{3}$. O ângulo se encontra no segundo quadrante.
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@ -1363,70 +1406,6 @@ inversamente proporcional a uma quantidade cujo crescimento é
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determinado por $m(x)$ se o produto $M(x) m(x)$ é uma constante.
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\end{definition*}
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||||
\subsubsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
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||||
Há uma série de identidades trigonométricas.
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A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
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$\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
|
||||
\cos^2 x = 1$. Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
|
||||
obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
|
||||
$\sin^2 x$, obtemos $$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x.$$
|
||||
|
||||
A função $\sin x$ é ímpar e $\cos x$ é par, o que significa dizer
|
||||
$\sin(-x) = - \sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$. O período de ambas é
|
||||
$2\pi$. Logo, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
|
||||
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||||
Stewart sugere que todas as identidades que podem aparecer pelo livro
|
||||
podem ser obtidas das {\em fórmulas da adição}, que são $$\sin(x + y)
|
||||
= \sin x \cos y + \cos x \sin y \qquad\text{e}\qquad \cos(x + y) =
|
||||
\cos x \cos y - \sin x \sin y.$$ Por exemplo, colocando $x = y$ nelas,
|
||||
obtemos as {\em fórmulas dos ângulos duplos} $$\sin(2x) = 2\sin x \cos
|
||||
x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$
|
||||
|
||||
\begin{definition*}
|
||||
Relativo a um dado ângulo, o {\em ângulo de referência} é o menor
|
||||
ângulo agudo que se pode formar (com o eixo $x$) e, por definição, ele
|
||||
é sempre positivo em $[0, \sfrac{\pi}{2}]$.
|
||||
\end{definition*}
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||||
|
||||
\begin{exercise*}
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||||
Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
|
||||
[0,2\pi]$. Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
|
||||
\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
|
||||
(2\cos x - 1) = 0$. Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
|
||||
são soluções $0, \pi, 2\pi$. Estamos também interessados em $2\cos x
|
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- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
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||||
$\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
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referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$. Coletando
|
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as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
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2\pi\}.$
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\end{exercise*}
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||||
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||||
\begin{exercise*}
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||||
Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
|
||||
+ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos. Aplicando a
|
||||
fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
|
||||
y$ e daí
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%
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||||
$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \cos x \sin y,$$
|
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%
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já que $\sec y = \sfrac{5}{4}$ implica $\cos y = \sfrac{4}{5}$.
|
||||
Falta-nos conhecer $\cos x$ e $\sin y$. Mas se $\sin x =
|
||||
\sfrac{1}{3}$, então aplicando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, obtemos
|
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%
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$$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1,$$
|
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%
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que implica $\cos x = \pm \sfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Similarmente, $\sin
|
||||
y = \pm \sfrac{3}{5}.$ Precisamos decidir que sinal nos interessa.
|
||||
Como $x, y$ estão restritos ao primeiro quadrante, então $\cos x =
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||||
\sfrac{2\sqrt{2}}{3}$ e $\sin y = \sfrac{3}{5}$. Logo,
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%
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$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{5},$$
|
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%
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como desejado.
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\end{exercise*}
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\subsubsection{Sobre as palavras ``seno'' e ``cosseno''}\label{sec:sine-cosine}
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Parece que a palavra ``seno'' origina-se em uma má tradução de grego
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@ -1473,29 +1452,176 @@ sobre a hipotenusa, que é $\sqrt{x^2 + 1}$. Conclua então que
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%% adivinha o que queremos.
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%% \end{remark*}
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\subsection{Como descrever uma elipse}
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||||
\subsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
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||||
Uma elipse é uma generalização de um círculo. A fórmula geral de uma
|
||||
elipse é
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%
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$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
|
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%
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||||
Quanto maior é $a^2$, mais larga (horizontalmente) fica a elipse: a
|
||||
velocidade de varredura do eixo $x$ é atrasada em função do fato
|
||||
$1/a^2$. Similarmente, quanto maior é $b^2$, mais alta
|
||||
(verticalmente) fica a elipse.
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||||
Há uma série de identidades trigonométricas.
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||||
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||||
Quando a elipse intercepta o eixo $x$ em $(1/9)x^2 + y^2 = 1$?
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||||
Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$. Onde
|
||||
ela intercepta o eixo $y$? Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
|
||||
A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
|
||||
$\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
|
||||
\cos^2 x = 1$. Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
|
||||
obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
|
||||
$\sin^2 x$, obtemos $$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x.$$
|
||||
|
||||
A função $\sin x$ é ímpar e $\cos x$ é par, o que significa dizer
|
||||
$\sin(-x) = - \sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$. O período de ambas é
|
||||
$2\pi$. Logo, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos
|
||||
x$. Além disso, se empurrarmos o seno $\pi/2$ pra direita, obtemos o
|
||||
cosseno, ou seja, $\sin(pi/2 - x) = \cos(x)$ e similarmente
|
||||
$\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$.
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Stewart sugere que todas as identidades que podem aparecer pelo livro
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podem ser obtidas das {\em fórmulas da adição}, que são
|
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%
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$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \qquad\text{e}\qquad \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y.$$
|
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%
|
||||
Por exemplo, colocando $x = y$ nelas, obtemos as {\em fórmulas dos
|
||||
ângulos duplos}
|
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%
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||||
$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$
|
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%
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||||
Antes de computarmos muitas identidades, vamos trabalhar nas mais
|
||||
fundamentais primeiro pra ver se conseguímos alguma ordem. Pra
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obtermos essas fórmulas da adição, vamos precisar da Lei dos Cossenos
|
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e aproveitamos assim pra incluir a Lei dos Senos também.
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\ghostsection{A lei dos senos}. A lei dos senos é super fácil de
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memorizar porque ela diz que o tamanho dos lados de um triângulo são
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proporcionais ao seno de seus respectivos ângulos em qualquer
|
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triângulo. Em símbolos,
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%
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$$\frac{\sen a}{a} = \frac{\sen b}{b} = \frac{\sen c}{c}$$
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%
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||||
Note que ela não fala que a o cosseno é. Isso certamente faz a gente
|
||||
se perguntar por que não. E o legal dela é que é em {\em qualquer}
|
||||
triângulo.
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\ghostsection{A lei dos cossenos}. A lei dos cossenos é uma espécie
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de Teorema de Pitágoras. Considere qualquer triângulo com lados $A,
|
||||
B, C$. Nomeie os ângulos em letras minúsculas respectivamente. A lei
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diz que
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%
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\begin{align*}
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a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos a\\
|
||||
b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cos a\\
|
||||
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos a.
|
||||
\end{align*}
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||||
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||||
\ghostsection{As fórmulas da adição}. Usando a lei dos cossenos a
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||||
gente consegue provar a fórmula da subtração dos cossenos, o que a
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gente usa pra provar a fórmula da soma. Os exercícios abaixo mostram
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||||
como.
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%
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\begin{figure}[!htb]
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\centering
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||||
\includegraphics[width=0.8\textwidth, angle=0]{images/triangle-trig-addition-formula.png}
|
||||
\caption{O triângulo de onde se extrai a fórmula da adição.}
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||||
\label{fg-trig-add-formula}
|
||||
\end{figure}
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||||
%
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||||
\begin{exercise*}
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||||
Observe a desenho exibido pela Figura~\ref{fg-trig-add-formula}. Use-o
|
||||
pra provar a fórmula da subtração
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||||
%
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||||
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$$
|
||||
%
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||||
\sol. A estratégia é computar $c^2$ duas vezes, a primeira pela
|
||||
distância entre os pontos $A$ e $B$ e a segunda pela lei dos
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||||
cossenos. Primeiro note que o ângulo que subtende o lado $c$ é o
|
||||
ângulo $\alpha - \beta$. Agora, executando a estratégia, obtemos o
|
||||
quadrado da distância de $A$ pra $B$ sendo $c^2 = (\cos\alpha -
|
||||
\cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$. Pela lei dos cossenos,
|
||||
obtemos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta)$. Assim obtemos
|
||||
%
|
||||
$$(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta).$$
|
||||
%
|
||||
Daí expanda os quadrados do lado esquerdo e observe que pode-se
|
||||
aplicar $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pra obter a constante $2$. Note
|
||||
também que, pelo desenho, $a = b = 1$. Daí a gente consegue eliminar
|
||||
todas as constantes da expressão e obter
|
||||
%
|
||||
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,$$
|
||||
%
|
||||
como desejado.
|
||||
\end{exercise*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Teríamos trabalhando menos se tivéssemos notado mais cedo que $a = b =
|
||||
1$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$. Note que $144 =
|
||||
12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$. Logo, a equação é equivalente a
|
||||
$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$. O gráfico é uma elipse que intercepta o
|
||||
eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
|
||||
Use o exercício anterior pra provar a fórmula da adição relativa ao
|
||||
cosseno. \sol. Declare $\beta = -\beta$ pra obter
|
||||
%
|
||||
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,$$
|
||||
%
|
||||
observando que $\cos -\beta = \cos \beta$ uma vez que o cosseno é uma
|
||||
função par e que $\sin -\beta = - \sin\beta$ porque o seno é uma
|
||||
função ímpar---obtida assim a fórmula da adição relativa ao cosseno.
|
||||
\end{exercise*}
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Use o exercício anterior pra provar a fórmula da subtração pro seno e
|
||||
dela obtenha a fórmula da adição relativa ao seno. \sol. Começe com
|
||||
%
|
||||
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta,$$
|
||||
%
|
||||
e agora substitua $\alpha$ por $\pi/2 - x$ e $\beta = y$ pra obtermos
|
||||
%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\cos(\pi/2 - x + y) &= \cos(\pi/2 - x)\cos y - \sin(\pi/2 - x)\sin y\\
|
||||
\cos(\pi/2 - (x - y)) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y\\
|
||||
\sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y,
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
|
||||
obtendo assim a fórmula da subtração relativa ao seno. Pra obter a
|
||||
fórmula da adição, terminando completamente o exercício, declare $y=
|
||||
-y$ e obtenha
|
||||
%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sin(x - (-y)) &= \sin x \cos -y - \cos x \sin -y\\
|
||||
\sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y,
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
|
||||
uma vez que o cosseno é uma função par e o seno, ímpar.
|
||||
\end{exercise*}
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
|
||||
+ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos. Aplicando a
|
||||
fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
|
||||
y$ e daí
|
||||
%
|
||||
$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \cos x \sin y,$$
|
||||
%
|
||||
já que $\sec y = \sfrac{5}{4}$ implica $\cos y = \sfrac{4}{5}$.
|
||||
Falta-nos conhecer $\cos x$ e $\sin y$. Mas se $\sin x =
|
||||
\sfrac{1}{3}$, então aplicando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, obtemos
|
||||
%
|
||||
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1,$$
|
||||
%
|
||||
que implica $\cos x = \pm \sfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Similarmente, $\sin
|
||||
y = \pm \sfrac{3}{5}.$ Precisamos decidir que sinal nos interessa.
|
||||
Como $x, y$ estão restritos ao primeiro quadrante, então $\cos x =
|
||||
\sfrac{2\sqrt{2}}{3}$ e $\sin y = \sfrac{3}{5}$. Logo,
|
||||
%
|
||||
$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{5},$$
|
||||
%
|
||||
como desejado.
|
||||
\end{exercise*}
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
|
||||
[0,2\pi]$. Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
|
||||
\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
|
||||
(2\cos x - 1) = 0$. Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
|
||||
são soluções $0, \pi, 2\pi$. Estamos também interessados em $2\cos x
|
||||
- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
|
||||
$\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
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referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$. Coletando
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as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
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2\pi\}.$
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\end{exercise*}
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\section{Definitions, limits and continuity}
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@ -2068,7 +2194,7 @@ function that describes the slope of a tangent to a curve in some
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point. If we consider a curve $f$ at some point $a$ and draw a tangent
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to $f$ at the point $a$, then you can estimate the slope by
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$$\fr{f(x) - f(a)}{x - a},$$ for some $a$ near $x$. That's an
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estimate. We would get a closer estimate if we choose a number $x$
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estimate. We would get a closer estimate if we chose a number $x$
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closer to $a$ than the previous. If we choose $x$ exactly equal to
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$a$, we get a division by zero and we go beyond what the definition of
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limit lets us do. Considering the limit of the expression as $x$
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@ -2160,8 +2286,6 @@ $ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
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\end{table}
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\end{remark*}
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\undef\d\newcommand{\d}{\frac{d}{\dx}}
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\begin{theorem*}[regra da soma]
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Se $f$ e $g$ são deriváveis, então
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@ -5159,10 +5283,11 @@ podemos computar
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o que está correto. A verificação é feita observando que $\sin^2 x =
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(1/2) - (1/2)\cos 2x$. É uma boa hora de estudar as {\em half-angled
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formulas} porque elas se aplicam também às potências
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trigonométricas. Por exemplo, $\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot
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2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x)$, o que é usado na computação da integral de
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$\sin^4 x$. É---vamos estudar a {\em half-angled formula} pra
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especialmente entender o porquê do nome.
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trigonométricas. Por exemplo,
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$$\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot 2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x),$$
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%
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o que é usado na computação da integral de $\sin^4 x$.
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\section{Studying functions}
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@ -6177,7 +6302,13 @@ nisso---então vamos em frente.
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Quais coeficientes determinam o crescimento de uma variável em relação
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a outra nas retas? É o coeficiente líder porque a constante $b$ da
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reta $y = mx + b$ é nada mais que uma translação da reta no plano.
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Pra mostrar isso à audiência, bastaria dar um exemplo de duas retas
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Pra mostrar isso à audiência, primeiro precisamos saber calcular o
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crescimento, o que nos exige uma definição de crescimento. O
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crescimento pode ser medido com relação a uma variável---existe o
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crescimento em $x$ e o crescimento em $y$---o que chamamos de
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``delta''.
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Quanto cresce $y$ com respeito a $x$?
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\newpage \tableofcontents
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\newpage \printbibliography
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