From 182ee3890d2e27d985f192ecaf353617ad8ea9dc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Charlie Root <root@atlantida.space>
Date: Fri, 3 Apr 2026 11:11:38 -0300
Subject: [PATCH] Classifying second-order linear equations.

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 calculus.tex | 37 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 37 insertions(+)

diff --git a/calculus.tex b/calculus.tex
index d16fed7..0e2015e 100644
--- a/calculus.tex
+++ b/calculus.tex
@@ -6921,6 +6921,43 @@ de um problema anterior em vez de magicamente aparecer com a resposta
 e mostrar que ela o soluciona.
 \end{remark*}
 
+\subsection{As lineares de segunda ordem}
+
+Também sabemos resolver algumas lineares de segunda ordem, mas já
+daqui as complicações das equações diferenciais começam a
+aparecer---você vai ver.  Uma linear de segunda ordem é uma equação da
+forma
+%
+  $$f_2(x) y'' + f_1(x) y' + f_0(x) y = g(x).$$
+%
+A primeira má notícia é que as únicas que sabemos resolver são aquelas
+em que $f_2(x)$, $f_1(x)$, $f_0(x)$ são constantes, ou seja, só
+sabemos resolver as equações
+%
+  $$ay'' + by' + cy = g(x).$$
+%
+É possível resolver essa equação pra qualquer $g(x)$ diferenciável,
+mas no momento só sabemos tratar o problema quando $g(x)$ toma as
+formas de um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica ou
+uma combinação dessas.
+
+Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação 
+%
+  $$y'' + 2y' + 3c = x^2.$$
+%
+Um fato curioso sobre essa equação é que a solução geral dela é obtida
+a partir de uma solução particular.  E como uma solução particular é
+obtida?  Observe o que diz essa equação. Ela diz que $y(x)$ é uma
+função tal que sua segunda derivada mais duas vezes sua primeira
+derivada mais três vezes ela própria é um polinômio quadrático.  A
+gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
+derivadas de um polinômio é um polinômio, incluindo suas somas e
+constantes múltiplos.
+
+Hm. Na verdade comecei pelas não-homogêneas. Vamos retroceder e
+considerar as homogêneas primeiro, discutindo especialmente a palavra
+``homogênea''.
+
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography