Cosmetics on the entire document.
This commit is contained in:
Charlie Root
parent
182ee3890d
commit
1cfe080d78
2 changed files with 165 additions and 75 deletions
BIN
calculus.pdf
BIN
calculus.pdf
Binary file not shown.
238
calculus.tex
238
calculus.tex
|
|
@ -188,7 +188,7 @@ O habilidoso uso de ferramentas é condição {\em sine qua non} pra
|
|||
análise matemática. Começamos por ferramentas que certamente usaremos
|
||||
na empreitada.
|
||||
|
||||
\subsection{O sistema Hindu-Arábico de numerais}
|
||||
\subsection{O sistema hindu-arábico de numerais}
|
||||
|
||||
\newcommand{\al}{al-Khow\={a}rism\={\i}}
|
||||
|
||||
|
|
@ -390,12 +390,12 @@ que é 1 ---, teríamos marcado um {\tt x} só nos algarismos {\tt
|
|||
123456}, indicando que ainda consideraremos os algarismos {\tt
|
||||
789123456789} ao longo da computação do algoritmo.
|
||||
|
||||
Por que se chama divisão longa? Pra ser distinguida com divisão
|
||||
curta. Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do
|
||||
quociente pelo divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida,
|
||||
efetuamos a subtração. Na divisão curta, omitimos a subtração tal que
|
||||
escrevemos abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração,
|
||||
tornando a verificação do trabalho mais difícil. Também exibida pela
|
||||
Por que se chama divisão longa? Pra ser distinguida da divisão curta.
|
||||
Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do quociente pelo
|
||||
divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida, efetuamos a
|
||||
subtração. Na divisão curta, omitimos a subtração tal que escrevemos
|
||||
abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração, tornando a
|
||||
verificação do trabalho mais difícil. Também exibida pela
|
||||
Figura~\ref{fg-alkw-long-div} (na página \pageref{fg-alkw-long-div}),
|
||||
desenhamos uma seta indicando o produto do algarismo corrente do
|
||||
quociente (corrente durante a execução do algoritmo) que deu origem ao
|
||||
|
|
@ -450,8 +450,8 @@ página~\pageref{fg-alkw-long-div}).
|
|||
--------
|
||||
42042 --> resto
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
\caption{A multiplicação entre 123456789 por 987654321 segundo \al.
|
||||
O quociente é 1002711021689 e o resto, 42042. Se tivéssemos
|
||||
\caption{A divisão de 123456789123456789 por 123123 segundo \al. O
|
||||
quociente é 1002711021689 e o resto, 42042. Se tivéssemos
|
||||
interromido o algoritmo em qualquer momento, teríamos no papel
|
||||
tudo que precisamos pra continuá-lo. Por falta de espaço,
|
||||
exibimos a tabuada de 123123 na
|
||||
|
|
@ -504,7 +504,7 @@ Estudemos agora a divisão entre 322 e 37. A tabuada
|
|||
revela imediatamente que o primeiro algarismo do quociente é 8. O
|
||||
resto de $26 < 37$ revela que terminamos. Desejando a parte
|
||||
fracionada da expansão decimal da divisão, continuamos. O zero que
|
||||
justamos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
|
||||
justapomos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
|
||||
10. Por causa disso, precisaremos corrigir o quociente por via de uma
|
||||
divisão por 10 --- o que é feito imediatamente com a adição do ponto
|
||||
decimal. Encontramos o algarismo 7 e como resto obtemos $1 <
|
||||
|
|
@ -530,7 +530,11 @@ computação em papel é
|
|||
&= 8 + 0.7 + 0.002 + 0.702 \cdot\frac{1}{1000}\\
|
||||
&= 8 + 0.702 + 0.000702 + \cdots
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
|
||||
|
||||
Cabe aqui agora uma explicação do porquê essas equações justificam o
|
||||
algoritmo da divisão---em outras palavras, estamos sem uma explicação
|
||||
por que o algoritmo funciona.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!htb]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
|
|
@ -699,7 +703,7 @@ transcendentais cujos algarismos jamais poderiam ser obtidos por um
|
|||
programa de computador. A relevância do fato é que programa de
|
||||
computador é apenas uma realização da expressibilidade dos nossos
|
||||
sistemas de cálculo. Logo, a limitação se aplica a nós --- porque os
|
||||
computadores são apenas uma realização do nossos sistemas de
|
||||
computadores são apenas uma realização dos nossos sistemas de
|
||||
raciocínio. Temos números ``demais'' na linha real no sentido de que
|
||||
não temos (e não teremos) uma linguagem expressiva o suficiente pra
|
||||
alcançá-los, o que nos leva a questionar nossa concepção intelectual
|
||||
|
|
@ -936,7 +940,7 @@ esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$. O lado desse
|
|||
quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade
|
||||
%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
|
||||
\left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
|
||||
Assim, podemos resolver a equação por computar
|
||||
|
|
@ -968,7 +972,7 @@ conjugados $(t + 3)(t - 3)$.
|
|||
%% sendo $a, b$ números racionais --- digamos. Essa função é
|
||||
%% tipicamente chamada de conjugação. Ela pode ser vista como uma
|
||||
%% generalização da conjugação complexa restrita a inteiros
|
||||
%% gaussianos, que não números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
|
||||
%% gaussianos, que são números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
|
||||
%% b$ inteiros. A generalização, portanto, é relaxar os inteiros
|
||||
%% gaussianos e permitir racionais. Se definirmos $f$ assim, obtemos
|
||||
%% uma contradição quando $n$ é um quadrado perfeito. Por exemplo,
|
||||
|
|
@ -1018,6 +1022,12 @@ $a, b$ estão em $\{3, 9\}$, mas é preciso saber se tentamos $(5x +
|
|||
3)(x + 9)$ ou $(5x + 9)(x + 3)$. Devemos considerar a segunda opção
|
||||
primeiro já que $9\times 5 = 45$, muito grande pra $24$.
|
||||
|
||||
Dito tudo isso, o fato é que estamos sempre resolvendo um sistema
|
||||
não-linear em que $ab$ é um inteiro e $Lb + a$ é outro. A
|
||||
investigação acima é meramente uma tentativa de nos clarificar como
|
||||
pensar no problema---como procurar por soluções sem recorrer à equação
|
||||
quadrática.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Fatoração de soma e diferença de cubos}
|
||||
|
||||
Outros produtos notáveis são a {\em Soma de cubos} e a {\em diferença
|
||||
|
|
@ -1839,7 +1849,7 @@ Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
|
|||
de equações lineares, mas não sei o que ele fez. Fica aí como um
|
||||
exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
|
||||
|
||||
\section{Definitions, limits and continuity}
|
||||
\section{Limits and continuity}
|
||||
|
||||
\masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
|
||||
distance from 0 to $x$ on the real line. Distances are always positive,
|
||||
|
|
@ -6676,8 +6686,8 @@ observações sobre o tema.
|
|||
Uma equação diferencial é chamada de {\em ordinária} se a função que
|
||||
soluciona a equação depende de apenas uma única váriavel independente,
|
||||
ou seja, a função desejada é $y(x)$. Se ela depender de mais de uma
|
||||
variável, então trata-se de uma equação diferencial parcial, quando a
|
||||
solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
|
||||
variável, então trata-se de uma equação diferencial {\em parcial},
|
||||
quando a solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
|
||||
|
||||
Uma equação é chamada de {\em separável de primeira ordem} quando ela
|
||||
pode ser escrita como
|
||||
|
|
@ -6828,7 +6838,7 @@ diferencial linear de primeira ordem.
|
|||
\begin{definition}[linear]
|
||||
Uma equação diferencial é linear de $n$-ésima ordem se ela é da forma
|
||||
%
|
||||
$$f_n(x) y^(n) + f_{n-1}(x)y^(n - 1) + \cdots + f_2(x)y'' + f_(1) y' + f_o(x)y = Q(x).$$
|
||||
$$f_n(x) y^{(n)} + f_{n-1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + f_2(x)y'' + f_1(x) y' + f_0(x)y = Q(x).$$
|
||||
%
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -6839,25 +6849,30 @@ resolver a linear de primeira ordem, que é da forma
|
|||
%
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Note que uma equação como $q(x)y' + P(x)y = Q(x)$ ainda é linear de
|
||||
primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra $y' + 1/q(x)
|
||||
P(x)y = 1/q(x) Q(x)$.
|
||||
primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra
|
||||
%
|
||||
$$y' + \fr{1}{q(x)} P(x)y = \fr{1}{q(x)} Q(x).$$
|
||||
%
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
%
|
||||
É nesse tipo de equação que usamos o chamado ``método do fator
|
||||
integrante'', que exibiremos agora. O método nos instruir a procurar
|
||||
integrante'', que exibiremos agora. O método nos instrui a procurar
|
||||
por $f(x)$ que quando multiplicada em ambos os lados da equação
|
||||
produza a regra do produto $f(x)y' + f'(x)y = (f(x)y)'$. Ocorre que
|
||||
uma tal função de $x$ pode ser sempre $\exp(\int P(x) \dx)$. ``Por
|
||||
quê?'' é a pergunta interesse aqui. Antes de exibirmos o porquê,
|
||||
quê?'' é a pergunta de interesse aqui. Antes de exibirmos o porquê,
|
||||
vejamos o método em ação.
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Resolva a equação $y' + \fr{1}{x}y = x^2$. \sol. Primeiro computamos
|
||||
$\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) = x$. Observe que queremos uma
|
||||
função $f(x)$ qualquer, então podemos sempre tomar $c = 0$ na
|
||||
integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em ambos lados da equação,
|
||||
obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o lado esquerdo é
|
||||
exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
|
||||
Resolva a equação
|
||||
%
|
||||
$$y' + \fr{1}{x}y = x^2.$$
|
||||
%
|
||||
\sol. Primeiro computamos $\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) =
|
||||
x$. Observe que queremos uma função $f(x)$ qualquer, então podemos
|
||||
sempre tomar $c = 0$ na integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em
|
||||
ambos lados da equação, obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o
|
||||
lado esquerdo é exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
|
||||
%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
xy' + x x^{-1}y &= x^3\\
|
||||
|
|
@ -6874,52 +6889,35 @@ O método ilustra o fato de que a gente sempre recorre às regras de
|
|||
derivação pra conseguir uma integração.
|
||||
|
||||
Uma das perguntas importantes aqui é por que o fator integrante é
|
||||
$\int P(x) \dx$. A resposta é na verdade simples. Estamos em busca de
|
||||
uma função $I(x)$ tal que
|
||||
$\int P(x) \dx$. A resposta é na verdade simples. Estamos em busca
|
||||
de uma função $M(x)$ tal que
|
||||
%
|
||||
$$(M(x)y)' = M(x)y' + M(x)P(x)y.$$
|
||||
%
|
||||
Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y$. Agora iguale o
|
||||
Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y'$. Agora iguale o
|
||||
lado esquerdo desejado com o lado direito pra obter a equação
|
||||
%
|
||||
$$M'(x)y + M(x)y = M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
|
||||
$$M'(x)y + M(x)y' = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
|
||||
%
|
||||
O que nos diz essa equação? Diz-nos que a função que estamos
|
||||
procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$. Essa é uma nova equação
|
||||
diferencial que na verdade já conhecemos---ela é uma separável de
|
||||
primeira ordem. Encontramos uma solução pra ela lendo-a em
|
||||
palavras---que função $M(x)$ conhecemos que quando derivada resulta
|
||||
nela própria vezes alguma coisa? Essa função $M(x)$ tem que ser
|
||||
certamente uma exponencial porque só as exponenciais têm a propriedade
|
||||
de que a velocidade de seu crescimento depende de si própria. Esse é
|
||||
um fato importante aqui. Agora, pra solucionar a charada por completo,
|
||||
declare $u'(t) = P(x)$ (pra alguma transformação que leve $t$ a $x$)
|
||||
de forma que $u(t) = \int P(x) \dx$ e reescreva o problema como
|
||||
procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$. Que função é essa? Qual é a
|
||||
função que quando derivada depende dela própria? É a função
|
||||
exponencial de base $e$. Mas e o fator $P(x)$? O fator $P(x)$ só
|
||||
aparece na derivada da exponencial quando ele é a derivada do
|
||||
expoente. E $P(x)$ é a derivada de $\int P(x) \dx$. Logo,
|
||||
%
|
||||
$$M'(x) = M(x) u'(t).$$
|
||||
%
|
||||
Já sabemos que $M(x)$ é uma exponencial e a regra da cadeia implica
|
||||
que a variável independente $x$ de $M(x)$ tem que ser $x = u(t)$.
|
||||
Assim, obtemos
|
||||
%
|
||||
$$M'(x) = (M(u(t)))' = M'(u(t))u'(t)$$
|
||||
%
|
||||
que implica
|
||||
%
|
||||
$$M(x) = \int M'(x) \dx = \exp\left(\int P(x) \dx\right) P(x) = \exp\left(P(x) \dx\right),$$
|
||||
%
|
||||
como desejado.
|
||||
$$M(x) = \exp\left(\int P(x) \dx\right).$$
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Essa dedução ficou prolixa. Existe a resposta curta e de pouca emoção
|
||||
que é o fato de que
|
||||
Agora sabemos que se multiplicarmos ambos os lados de uma equação
|
||||
diferencial linear de primeira ordem por $\exp\left(\int P(x)
|
||||
\dx\right)$, obteremos no lado esquerdo da equação a derivada do
|
||||
produto de $\exp\left(\int P(x) \dx\right)$ por $y$, ou seja,
|
||||
obteremos a derivada de
|
||||
%
|
||||
$$\exp\left(\int P(x) \dx\right)' = \exp(\Int P(x) \dx) P(x) + c.$$
|
||||
$$y \exp\left(\int P(x) \dx\right),$$
|
||||
%
|
||||
Mas todos nós sabemos que é bom exercício induzir a resposta a partir
|
||||
de um problema anterior em vez de magicamente aparecer com a resposta
|
||||
e mostrar que ela o soluciona.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
restando apenas integrarmos o lado direito da equação com respeito a
|
||||
$x$.
|
||||
|
||||
\subsection{As lineares de segunda ordem}
|
||||
|
||||
|
|
@ -6935,11 +6933,17 @@ em que $f_2(x)$, $f_1(x)$, $f_0(x)$ são constantes, ou seja, só
|
|||
sabemos resolver as equações
|
||||
%
|
||||
$$ay'' + by' + cy = g(x).$$
|
||||
%
|
||||
É possível resolver essa equação pra qualquer $g(x)$ diferenciável,
|
||||
mas no momento só sabemos tratar o problema quando $g(x)$ toma as
|
||||
formas de um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica ou
|
||||
uma combinação dessas.
|
||||
|
||||
As mais fáceis de resolver são aquelas em que $g(x) = 0$ e essas são
|
||||
chamadas de {\em homogêneas}. As outras em que $g(x) \neq 0$ são
|
||||
chamadas de {\em não-homogêneas}.
|
||||
|
||||
\ghostsection{As homogêneas}. \lipsum[1]
|
||||
|
||||
É possível resolver as não-homogêneas pra qualquer $g(x)$
|
||||
diferenciável, mas no momento só sabemos tratar o problema quando
|
||||
$g(x)$ toma as formas de um polinômio, uma exponencial, uma função
|
||||
trigonométrica ou uma combinação dessas.
|
||||
|
||||
Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação
|
||||
%
|
||||
|
|
@ -6947,16 +6951,102 @@ Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação
|
|||
%
|
||||
Um fato curioso sobre essa equação é que a solução geral dela é obtida
|
||||
a partir de uma solução particular. E como uma solução particular é
|
||||
obtida? Observe o que diz essa equação. Ela diz que $y(x)$ é uma
|
||||
obtida? Observe o que diz essa equação. Ela diz que $y(x)$ é uma
|
||||
função tal que sua segunda derivada mais duas vezes sua primeira
|
||||
derivada mais três vezes ela própria é um polinômio quadrático. A
|
||||
gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
|
||||
derivadas de um polinômio é um polinômio, incluindo suas somas e
|
||||
derivadas de um polinômio são um polinômio, incluindo suas somas e
|
||||
constantes múltiplos.
|
||||
|
||||
Hm. Na verdade comecei pelas não-homogêneas. Vamos retroceder e
|
||||
considerar as homogêneas primeiro, discutindo especialmente a palavra
|
||||
``homogênea''.
|
||||
\section{Physics}
|
||||
|
||||
Tudo em física tem direção e unidade. É um bom hábito computar
|
||||
aritmética sempre com as unidades---requer paciência de escrever e
|
||||
cancelá-las---e prestando atenção à direção em que as coisas se movem.
|
||||
|
||||
Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
|
||||
intimidade com computar números. Quando estiver incerto sobre a
|
||||
solução de um problema, use a calculadora pra rapidamente saber se
|
||||
realmente o raciocínio está certo. Depois disso, dê uma olhada e veja
|
||||
o que tem de difícil nas contas e procure facilitá-los. Por exemplo,
|
||||
descarte todas a super-precisão desnecessária, faça arredondamentos e
|
||||
use os teoremas que facilitam contas---o que é uma arte admirável.
|
||||
Viver sem calculadora é excelente desenvolvimento, mas usemo-na sempre
|
||||
que útil---quando em pressa, por exemplo.
|
||||
|
||||
\begin{exercise*}
|
||||
Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
|
||||
cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
|
||||
depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
|
||||
distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
|
||||
Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
|
||||
freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
|
||||
da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
|
||||
-7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
|
||||
que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
|
||||
que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
|
||||
responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
|
||||
for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
|
||||
o mais sensato a fazer aqui. (Mas note que nesse problema
|
||||
especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
|
||||
dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
|
||||
internacional quando reportamos os valores finais.)
|
||||
|
||||
Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
|
||||
%
|
||||
$$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
|
||||
%
|
||||
mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.
|
||||
|
||||
Ah, espere um momento! Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
|
||||
velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração. O carro então
|
||||
depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
|
||||
metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
|
||||
depois incorretamente de novo e por último corretamente). Podemos
|
||||
agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
|
||||
a zero? Não tenho uma fórmula pra velocidade. Ah, compute a derivada
|
||||
de $x(t)$ pra obter
|
||||
%
|
||||
$$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
|
||||
%
|
||||
Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
|
||||
queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
|
||||
%
|
||||
$$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
|
||||
%
|
||||
cuja solução dá
|
||||
%
|
||||
$$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
|
||||
%
|
||||
Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo. A
|
||||
computação de 36/7.2 foi feita por calculadora. No papel, faríamos
|
||||
$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer. A conta que não é
|
||||
fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
|
||||
nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
|
||||
como facilitá-la.
|
||||
|
||||
Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar. Portanto, pra
|
||||
obter a distância adicional percorrida, queremos
|
||||
%
|
||||
$$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
|
||||
%
|
||||
ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
|
||||
5 segundos. Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
|
||||
primeiro---vida normal.
|
||||
\end{exercise*}
|
||||
|
||||
\begin{remark*}
|
||||
Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
|
||||
valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
|
||||
consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
|
||||
descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
|
||||
compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
|
||||
em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve. Parece boa
|
||||
a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
|
||||
observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
|
||||
fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
|
||||
importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
|
||||
\end{remark*}
|
||||
|
||||
\newpage \tableofcontents
|
||||
\newpage \printbibliography
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue