Dissertates on substitutio and integration by parts.

Makefile

@@ -1,6 +1,14 @@
 SHELL = /bin/sh
 
-default: compile-and-serve
+default: compile-only
+
+compile-and-view: compile-only view
+
+view:
+	termux-share -d calculus.pdf
+
+compile-only:
+	latexmk -pdf calculus
 
 compile-and-serve:
 	latexmk -pdf -pvc calculus

calculus.tex

@@ -137,6 +137,7 @@
 \DeclareMathOperator{\inv}{inv}
 \newcommand{\dx}{\ dx}
 \newcommand{\du}{\ du}
+\newcommand{\dv}{\ dv}
 \newcommand{\dy}{\ dy}
 \newcommand{\dt}{\ dt}
 \newcommand{\ds}{\ ds}
@@ -3941,7 +3942,9 @@ exists and has value $L.$ Then we may, simply... hah, I don't know if we
 can do what I'm thinking. For a non-abstract case, indeed; but for an
 abstract function, I don't know. What I had in mind was to patch the
 function, but if we patch it, we have now a continuous function and then
-of course we can integrate.
+of course we can integrate. (What if we patch it in a way that doesn't
+make it continuous, though? We should pursue this just to see what
+would happen.)
 
 When we use Riemann's technique to integrate, we often pick the 
 midpoints of the $n$ subintervals we choose. That's because for some 
@@ -4911,7 +4914,8 @@ $$V= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n A(x_i^*) \Delta x = \int_a^b A(x) \dx.$$
 
 Compute
 %
-  $$\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}}{\exp(t)} \exp\left(\int_0^\infty \floor(t \exp(-x)) \dx\right) $$
+  $$\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}}{\exp(t)}
+     \exp\left(\int_0^\infty \floor(t \exp(-x)) \dx\right) $$
 %
 sabendo que
 %
@@ -4923,7 +4927,76 @@ A brincadeira aqui é que esse é um problema que é fácil de compor, mas
 difícil de resolver porque não se consegue facilmente desfazer a
 convolução que foi feita passo a passo pelo autor do problema.  Mesmo
 que você conhecesse a aproximação acima, você não pensaria em usá-la
-porque ela implícita no problema não de forma aparente.
+porque ela está implícita no problema não de forma aparente.  Já não
+lembro de cabeça o que eu tinha em mente, quando escrevi esse
+problema---não lembro a solução, por exemplo. Precisaria repensá-lo.
+
+\section{Técnicas de integração}
+
+A regra da substituição é a regra da cadeia e a regra de integração
+por partes é a regra do produto. As outras regras são ou muito óbvias
+ou pouco úteis. Por exemplo, teria como extraírmos uma regra de
+integração da regra do quociente?  Provavelmente ela seria equivalente
+à regra do produto mas com uma expressão menos simples.  Agora, a
+integração de funções trigonométricas merece discussão, especialmente
+quando estamos falando de alguns produtos de integrais, que é com o
+que nos preocupamos agora.
+
+Pra obter a regra da substuição basta escrever $f(g(x))$, computar a
+derivada $f'(g(x)) g'(x)$ e então obter a regra
+%
+  $$\int f'(g(x))g'(x) = f(g(x)) + c.$$
+%
+A substituição em si é obtida por identificar na função a ser
+integrada uma expressão qualquer que possa tomar o lugar de $g'(x)$ e
+$g(x)$, fazendo assim a substuição $u = g(x)$ e substuindo por
+consequinte $g'(x) \dx = \du$, terminando por integrar $\int f'(u)
+\du$.
+
+A integração por partes vem da regra do produto. Uma vez que
+$(f(x)g(x))' = f'(x) g(x) + f(x)g'(x)$, então
+%
+\begin{align*}
+  \int f(x)g(x) \dx &= \int f'(x) g(x) \dx + \int f(x)g'(x) \dx\\
+       f(x)g(x)     &= \int g(x) f'(x) \dx + \int f(x)g'(x) \dx.
+\end{align*}
+%
+Agora declare $u f(x) = u$ e $v = g(x)$ de forma que $\du = f'(x)\dx$
+e $\dv = g'(x)\dx$. Assim, pelo teorema fundamental, obtemos
+%
+  $$f(x)g(x) = \int v\du + \int u \dv,$$
+%
+permitindo-nos integral a difícil $\int v\du$ se $\int u \dv$ for
+fácil, conversamente permitindo-nos integral a difícil $\int u \dv$
+desde que $\int v \du$ seja fácil.  Em outras palavras, uma das duas
+precisa ser fácil de integrar e é por isso que precisamos de alguma
+sabedoria ao escolher $u$ e $v$ durante a integração por partes.
+
+Além disso, note também que há situações em que é preciso integrar
+por-partes múltiplas vezes e até usar de alguma criatividade pra sair
+de uma alguma ``sinuca de bico''.  É o caso, por exemplo, de $\int e^x
+\sin x \dx$, em que é preciso aplicar por-partes duas vezes e então
+considerar a circularidade do termo $\int e^x \sin x \dx$ como uma
+incógnita a ser descoberta.
+
+Há integrais divertidas de se computar de onde se extrai, por exemplo,
+a bonita fórmula  
+%
+  $$\int x^n e^x \dx = e^x \left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{n - i + 1} x^{n - i}\right) + c.$$
+%
+Por exemplo, $\int x^5 e^x \dx = e^x (x^5 - 5 x^4 + 20 x^3 - 60x^2 +
+120x - 120) + c$. Essa fórmula vem da integração
+por-partes. Escolhe-se sempre o termo $x^i$ como função $u$ e $e^x$
+como função $v$. Aplica-se a integração por-partes $n$ vezes
+(recursivamente) e em seguida substitui-se de volta em direção ao
+problema original. Okay, agora tragamos nossa atenção para as
+integrais de funções trigonométricas.
+
+%% \subsection{A integral de funções trigonométricas}
+%% 
+%% Começamos por observar que integrar $\tg x$ não é difícil porque ela é
+%% obtida por uma substituição trivial. Primeiro escreva $\tg x = \sin x
+%% / \cos x$.
 
 \section{Studying functions} 
 
@@ -5909,8 +5982,6 @@ Newton nos dá a sequência
 e daí obtemos $a_0 = 3$, $a_1 \approx 2.7041$, $a_2 \approx 2.7182$,
 obtendo uma precisão de pelo menos quatro casas decimais.
 
-%\subsection{}
-
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography