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+++ b/calculus.tex
@@ -85,7 +85,7 @@
 %%                 {}          % head spec (empty means `normal')
 %% 
 %% \theoremstyle{pf}
-\newtheorem*{pf}{Proof}
+\newtheorem*{pf}{Prova}
 
 % references
 \newcommand{\refth}[1]{Theorem \ref{#1}}
@@ -6650,6 +6650,160 @@ provado por indução.  Acima, nós fomos até $2^3$ no denominador,
 portanto temos $2^4$ termos, que são $2^7$ metades e a unidade com a
 qual a série se inicia. Isso então significa...
 
+\section{Equações diferenciais}
+
+Equações diferenciais é certamente a aplicação mais importante de
+Cálculo porque quase qualquer coisa na vida envolve uma quantidade que
+varia com o tempo e em seguida deseja-se por uma fórmula que expresse
+a acumulação dessa coisa que varia. Embora não sejamos obcecados por
+equações diferenciais, gostaríamos de documentar as mais simples
+observações sobre o tema.
+
+Uma equação diferencial é chamada de {\em ordinária} se a função que
+soluciona a equação depende de apenas uma única váriavel independente,
+ou seja, a função desejada é $y(x)$. Se ela depender de mais de uma
+variável, então trata-se de uma equação diferencial parcial, quando a
+solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
+
+Uma equação é chamada de {\em separável de primeira ordem} quando ela
+pode ser escrita como
+%
+  $$\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$$
+%
+porque assim é possível separar $y$ e $x$ em cada lado da equação e
+simplesmente integrar ambos os lados da equação usando-se uma
+aplicação do seguinte teorema.
+
+\masciith{} \label{th1} Declare $y = Y(x)$ uma solução de
+%
+\begin{align} \label{8.45} A(y) y' = Q(x) \end{align} 
+%
+tal que $Y'$ é contínua num intervalo $I$.  Assuma que $Q$ and $(A
+\circ Y)$ sejam contínuas em $I$.  Declare $G$ uma antiderivada de
+$A$. Daí $y$ satisfaz 
+%
+\begin{align}\label{8.46}G(y) = \int Q(x) \dx + C.\end{align} 
+%
+Conversamente, se $y$ satisfaz (\ref{8.46}) então $y$ é solução de
+(\ref{8.45}). \qed \theend
+
+\masciiproof Já que $Y$ é solução de (\ref{8.45}), então
+%
+\begin{align} \label{8.47} A(Y(x))Y'(x) = Q(x) \end{align} 
+%
+pra cada $x$ em $I$. Já que $G'= A$, então (\ref{8.45}) nos dá
+%
+                 $$G'(Y(x))Y'(x) = Q(x).$$
+%
+Mas $G'(Y(x))Y'(x)$ é a derivada de $G(Y(x))$, que então é uma
+antiderivada de $Q$, isto é
+%
+      \begin{align} \label{8.48} G(Y(x)) = \int Q(x) \dx + C,\end{align}
+%
+e assim a primeira parte do teorema está provada. (Note a constante
+C.  Quando integramos $G'(Y(x))Y'(x)$, uma constante aparece.  Chame-a
+de D e declare $C = -D$.)
+
+Agora assuma que $y$ satisfaz (\ref{8.46}).  Derivando-a, obtemos
+%
+ $$                               A(y)y' = Q(x),$$
+%
+que era o que desejávamos.\profend
+
+Temos aqui apenas uma relação entre equações.  A mesma função $y$ que
+satisfaz $A(y) y' = Q(x)$ satisfaz também $$G(y) = \int Q(x) \dx +
+C.$$
+
+\ghostsection{A importância dessa relação}.  Considere a equação
+$y'(x) = y(x)$, onde $y'$ é a derivada de $y$. Implícito na notação
+está o fato de que $y$ é uma variável dependente de $x$.  Álgebra nos
+permite dizer que $$(1/y(x)) y'(x) = 1.$$
+
+Declare $A(y) = 1/y$ e $Q(x) = 1$.  Declare $G(y)$ uma
+anti-derivada de $A(y)$ --- como por exemplo $\ln|y|$.  O teorema acima nos
+permite dizer que a função $y$ também satisfaz a equação 
+$$G(y) = \int Q(x) \dx + C.$$ Logo, para descobrir uma anti-derivada
+de $A(y)$, basta integrar $Q(x)$ com respeito a $x$.  Perceba que isto
+é o mesmo que integrar $A(y)$ com respeito a $y$, ou integrar $A(y)
+y'(x)$ com respeito a $x$.  Escolhamos então a integração mais fácil e
+de dessa forma obtemos a das outras também.
+
+Esse é o raciocínio necessário para solucionar equações diferenciais
+separáveis de primeira ordem.  O que alguns livros-texto fazem, como
+por exemplo o famoso ``Calculus'' de James Stewart, é aplicar o
+teorema através de um truque da notação de Leibniz.
+
+Olhemos de mais perto. Considere novamente $dy/dx = y$. Para
+solucionar essa equação, precisamos invocar o teorema acima.  Em vez
+de invocá-lo, entretanto, suponhamos que $dy$ e $dx$ sejam, em si,
+variáveis distintas e por mera questão de investigação, operemos a
+equação da seguinte forma:
+\begin{align}
+   \dy/\dx &= y\\
+  (1/y)\dy &= \dx
+\end{align}
+Voltemos agora nossa atenção à equação
+\begin{align}
+  \int (1/y)\dy = \int dx.
+\end{align}
+Sabemos que o lado direito é equivalente a $x + C_1$ e que o lado
+esquerdo é equivalente a $\ln|y| + C_2$.  Podemos isolar $y$ através
+de uma aplicação da inversa de $\ln$ e estaríamos satisfeitos, ou
+seja, se houver uma conexão entre (5) e (7), temos um procedimento que
+é fácil de lembrar --- devido a algebrização dos símbolos $\dy$ e
+$\dx$ --- e que nos permite expressar $y$ em função de $x$ --- isto é,
+solucionar a equação.  Felizmente a conexão existe como vimos acima.
+
+\subsection{O modelo logístico}
+
+Uma equação diferencial famosa é o modelo logístico, que modela
+crescimento populacional. É chamada de ``lei do crescimento natural''
+o fato de que a velocidade de crescimento de uma população é
+proporcional ao tamanho atual dela, o que é bem sensato.  Em símbolos,
+essa lei se traduz em
+%
+  $$\fr{dP}{dt} = kP,$$
+%
+sendo $k$ alguma constante específica relativa à população em si. Por
+exemplo, uma população de bactérias pode ter uma certa constante e uma
+população de búfalos, outra.
+
+Essa equação por si só já é um modelo de crescimento populacional, mas
+é muito simplista: ela assume, por exemplo, que a população pode
+crescer pra sempre, o que até nem é absurdo quando a população está em
+início de expansão, mas se torna absurda quando a população começa a
+passar de sua ``capacidade máxima de suporte'', que vamos chamar de
+$M$.
+
+O modelo logístico leva essa capacidade máxima em consideração e faz
+com que o crescimento se torne decaimento se a população estiver acima
+dessa capacidade máxima de suporte, ou seja, se $P > M$. A equação que
+modela essa sofisticação é
+%
+  $$\fr{dP}{dt} = kP\left(1 - \fr{P}{M}\right).$$
+%
+Observe como o fator $(1 - P/M)$ funciona como uma correção ao modelo
+simplista. Se a população estiver acima da capacidade de suporte,
+então $(1 - P/M) < 0$ e assim $dP/dt < 0$, ou seja, a população decai.
+Se porventura a população estiver abaixo da capacidade de suporte,
+então $(1 - P/M) > 0$ e assim $dP/dt > 0$. 
+
+Isso não significa que o modelo faz a população oscilar ao redor de
+$M$. Não ocorre essa oscilação. O que ocorre é que se você começar com
+um $P_0$ abaixo de $M$, então a função-solução tende a $M$ por baixo
+quando $t$ cresce sem limite. Similarmente, se você começar com uma
+população inicial acima de $M$, então a função-solução tende a $M$ por
+cima quando $t$ cresce sem limite. Agora, de fato existe uma solução
+que é $P(t) = M$ em que a população permanece em $M$ pra sempre, o que
+é chamado de {\em solução de equilíbrio}. Outra solução de equilíbrio
+para o modelo logístico é $P(t) = 0$, quando a população permanece em
+zero pra sempre.
+
+Naturalmente a gente se pergunta agora qual é a função-solução. O
+modelo logístico é uma equação diferencial separável de primeira
+ordem, então sua solução não é difícil de ser obtida se você tiver um
+mínimo de técnicas de integração.
+
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography