The derivative of ax^n from two perspectives.

calculus.tex

@@ -2477,6 +2477,54 @@ $ax^n$   & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
 \end{table}
 \end{remark*}
 
+Outro fato é que $ax^n$ tem derivada $anx^{n - 1}$. É um exercício
+interessante provar esse fato por dois ângulos diferentes, que são as
+definições de derivada que temos. Uma diz que 
+
+  f'(x) = \lim \fr{f(x + h) - f(x)}{h}
+
+sendo $h \to 0$ e a outra diz que 
+
+  f'(x) = \lim \fr{f(x) - f(c)}{x - c}
+
+com $x \to c$. Ambas são equivalentes, como sabemos, e obter a
+derivada por ambas nos dá a informação de que às vezes é mais fácil
+trabalhar com uma do que com a outra.  Por exemplo, a derivada de
+$ax^n$ é 
+%
+\begin{align*}
+  f'(x) &= \lim \fr{a(x + h)^n - ax^n}{h}\\
+        &= a \lim \fr{x^n + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + ... + C(n,n)h^n - ax^n}{h}\\
+        &= a \lim \fr{\cancel{x^n} + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + ... + C(n,n)h^n - \cancel{ax^n}}{h}\\
+        &= a n x^{n - 1},
+\end{align*}
+%
+como desejado. Já usando a outra definição, estamos interessados em
+%
+\begin{align*}
+  f'(x) &= \lim \fr{ax^n - ac^n}{x - c}\\
+        &= a \lim \fr{x^n - c^n}{x - c}\\
+\end{align*}
+%
+e vamos ter que computar uma divisão de polinômios. A divisão de $x^n
+- c^n$ por $x - c$ resulta no quociente $x^{n - 1} + c x^{n - 2} + c^2
+x^{n - 3} + ... + c^i x^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1}$. O padrão é
+mais facilmente compreendido se você dividir $x^3 - c^3$ por $x - c$ e
+depois $x^4 - c^4$ por $x - c$.  Feita a divisão, temos uma função
+contínua em toda a linha real e daí obtemos
+%
+\begin{align*}
+  f'(x) &= a \lim \fr{x^n - c^n}{x - c}\\
+        &= a (x^{n - 1} + c x^{n - 2} + c^2 x^{n - 3} + \cdots + c^i x^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1})\\
+        &= a (c^{n - 1} + c c^{n - 2} + c^2 c^{n - 3} + \cdots + c^i c^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1})\\
+        &= a (c^{n - 1} + c^{n - 1} + \cdots + c^{n - 1})\\
+        &= a n c^{n - 1}.
+\end{align*}
+%
+Note que temos $n$ termos $c^{n - 1}$ porque o contador vai de $n - 1$
+a zero. Obtemos assim a mesma derivada, mas por percursos algébricos
+diferentes, sendo o segundo menos óbvio que o primeiro.
+
 \begin{theorem*}[regra da soma]
 Se $f$ e $g$ são deriváveis, então 
 %