Understanding the throwing of a ball up.

calculus.tex

@@ -6978,23 +6978,27 @@ que útil---quando em pressa, por exemplo.
 converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
 fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
 %
-  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica} \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}}$$
+  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
 %
 Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
 multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
 %
-  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s} \fr{ \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\cancel{\text{s}}\text{h}}{3600\cancel{\text{s}}} = \fr{1}{2} \text{ h}.$$
+  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
 %
+como desejado.  
+
 Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
-horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelará
+horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
 os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
 constante ``s'' que representa a unidade em si.
 
 Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
 
-\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.
-
-Eis o primeiro exercício do IF.
+\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.  Eis o primeiro
+problema do IF.  Existe algum jeito mais simples de computar as
+respostas aqui?  Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
+aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
+Torricelli na manga.
 
 \begin{exercise*}
 Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
@@ -7074,42 +7078,85 @@ importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
 relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
 tempo. Ela é 
 %
-  $$v^2 = v_0^2 \cdots$$
+  $$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
 %
-Não lembro. Preciso da minha gatinha de novo. O fato é que Torricelli
-nos economiza um tremendo passo num problema que vale a pena
-documentar---até porque estou encontrando um aparente erro no
-problema.
+Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
+abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.
 
 \begin{exercise*}
 Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
 pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
 no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
 nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
-50m. \sol. Computei a derivada de $x(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
+50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
 t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
 v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
-$x(t)$, obtendo
+$y(t)$, obtendo
 %
 \begin{align*}
-x(t) &= \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}\\
-     &= \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{1}{2} \fr{v_0^2}{9.8}\\
-     &= \left(\fr{v_0^2}{9.8} - \fr{1}{2} \fr{v_0^2}{9.8}\right)
+y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
 \end{align*}
 %
-Como queremos altura de 50m, obtemos uma quadrática com uma única
-solução positiva que é $v_0 = 31.30 \text{m}$, o que casa com o
-gabarito. Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo leva
-pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
-31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema enfatiza
-que ele quer o tempo. E o problema não tem como estar errado. Queremos
-lançar uma bola pra cima até atingir 50m e contabilizar o tempo---isso
-é perfeitamente físico. Estamos errados em algum lugar. Como nossa
-$v_0$ casa com o gabarito, é na produção da quadrática que estamos
-errados---aritmética! (A gente erra muita aritmética.) Mas a
-aritmética parece correta, então física é uma coisa muito perplexante.
+Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática 
+%
+\begin{align*}
+    50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   980 &= v_0^2\\
+ 31.30 &= v_0,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
+leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
+31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
+como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
+contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
+algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
+quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
+aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
+muito perplexante.
+
+O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
+gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
+$v_0 = 31.3049$.  Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
+erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz.  Não
+deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
+dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
+resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
+tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
+$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
 \end{exercise*}
 
+\begin{remark*}
+O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
+novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
+resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
+colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
+0$.  Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
+%
+\begin{align*}
+  -50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
+      &= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
+   50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
+  100 &= (9.8) t^2\\
+    t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
+    t &= 3.1943,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
+colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
+ficando no lado negativo do eixo $y$.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
+acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
+obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
+precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros.
+\end{remark*}
 
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