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index b489f31..21f6c93 100644
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+++ b/calculus.tex
@@ -1453,6 +1453,50 @@ sobre a hipotenusa, que é $\sqrt{x^2 + 1}$.  Conclua então que
 %% adivinha o que queremos.
 %% \end{remark*}
 
+\subsection{Sobre funções periódicas}
+
+Todas as funções periódicas podem ser expressas com respeito a uma
+única função periódica. Isso significa que só existe uma função
+periódica que seja realmente primitiva, que pode ser $\sin$ ou
+$\cos$. Por exemplo, um engenheiro nos contrata pra fazer um modelo
+pra ele que represente a produção de uma máquina. Ele nos conta que
+modelou ele próprio a produção da máquina com a função $12t - t^2$
+usando a assunção de que o ponto $t = 0$ representa as 6h da manhã e
+que o ponto $t = 12$ representa as 18h. Um dos problemas que ele
+afirma exitir é que seu fenômeno é na verdade cíclico e que seu modelo
+não o é. Por exemplo, ele nos pediu que 6h fosse equivalente às 18h. O
+pico de produção da máquina ocorre ao meio-dia, que no modelo ele é no
+ponto $t = 6$. ``Ajuste'' o modelo desse engenheiro. A palavra
+``ajuste'' é questionável porque o que precisamos fazer é na verdade
+substituí-lo completamente por um novo. Como o fenômeno é periódico,
+então estamos falando de uma modelá-lo como uma função como $\sen
+t$. O seno é zero quando $t = 0$ e queremos que ele seja zero quando
+$t = 6$. Então deslocamos o gráfico 6 unidades pra direita, ou seja,
+$\sin(t - 6)$.  Suponha que o pico da produção seja 35 de alguma
+unidade de produção; então esticamos o modelo verticalmente fazendo
+$35 \sin(t - 6)$.  Mas lembre-se que o pico ocorre ao meio-dia, então
+precisamos distribuir o ciclo do seno por 24h pra que o pico possa
+ocorrer ao meio-dia e o vale ocorra à meia-noite. O ciclo do seno
+termina depois de $2\pi$ unidades. O que devemos fazer pra espalhar o
+gráfico por um intervalo bem maior que são 24 unidades? Espalhar é o
+mesmo que distribuir nesse caso. Por exemplo, se temos 70 garrafas pra
+distribuir entre 7 pedreiros, o que queremos fazer é espalhar as
+garrafas entre os pedreiros, ou seja, distribuí-las entre eles. Sendo
+assim, vamos pegar o intervalo de $2\pi$ e alastrá-lo entre 24
+intervalos de uma unidade, ou seja, vamos dividir $2\pi$ por
+24\footnote{É interessante a gente olhar a aritmética por diversas
+perspectivas das palavras. Que palavras representam cada fenômeno
+aritmético?}. Com isso o modelo se torna $35 \sin(\fr{2\pi}{24} (t -
+6))$ e isso encerra o projeto.
+
+Na verdade, facilitei sua vida quando falei que o pico tinha altura
+35. Na verdade não tem. Lembra que o modelo do engenheiro era $12t -
+t^2$. O pico é na verdade o vértice da parábola. Qual é o vértice? A
+parábola é simétrica, portanto o vértice localiza-se no ponto médio
+entre suas duas raízes, que são 0 e 12. Logo, o vértice é $(6,
+12\cdot6 - 36) = (6, 6\times [12 - 6]) = (6, 36)$. Portanto, o modelo
+pro engenheiro é de fato $36 \sin(\fr{2\pi}{24} (t - 6))$.
+
 \subsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
 
 Há uma série de identidades trigonométricas.
@@ -1658,7 +1702,7 @@ precisamos entender de uma vez por todas.
 Quando o tempo passa, estamos sempre falando de um intervalo.  Então a
 gente computa dois pontos da função distância e vê de onde pra onde
 ela foi.  Por exemplo, se a velocidade cai de 100 km/h pra 90 km/h
-durante o intervalo $t_1--t_2$$, então a distância percorrida tem que
+durante o intervalo $(t_1,t_2)$, então a distância percorrida tem que
 ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-1/2 t_1^2$ pra
 $-1/2 t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer tem que respeitar os
 intervalos certos.