How to convert units.

calculus.tex

@@ -6974,6 +6974,28 @@ use os teoremas que facilitam contas---o que é uma arte admirável.
 Viver sem calculadora é excelente desenvolvimento, mas usemo-na sempre
 que útil---quando em pressa, por exemplo.
 
+\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
+converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
+fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
+%
+  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica} \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}}$$
+%
+Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
+multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
+%
+  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s} \fr{ \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\cancel{\text{s}}\text{h}}{3600\cancel{\text{s}}} = \fr{1}{2} \text{ h}.$$
+%
+Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
+horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelará
+os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
+constante ``s'' que representa a unidade em si.
+
+Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
+
+\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.
+
+Eis o primeiro exercício do IF.
+
 \begin{exercise*}
 Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
 cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
@@ -7048,6 +7070,47 @@ fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
 importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
 \end{remark*}
 
+\ghostsection{A equação de Torricelli}.  A equação de Torricelli
+relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
+tempo. Ela é 
+%
+  $$v^2 = v_0^2 \cdots$$
+%
+Não lembro. Preciso da minha gatinha de novo. O fato é que Torricelli
+nos economiza um tremendo passo num problema que vale a pena
+documentar---até porque estou encontrando um aparente erro no
+problema.
+
+\begin{exercise*}
+Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
+pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
+no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
+nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
+50m. \sol. Computei a derivada de $x(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
+t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
+v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
+$x(t)$, obtendo
+%
+\begin{align*}
+x(t) &= \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}\\
+     &= \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{1}{2} \fr{v_0^2}{9.8}\\
+     &= \left(\fr{v_0^2}{9.8} - \fr{1}{2} \fr{v_0^2}{9.8}\right)
+\end{align*}
+%
+Como queremos altura de 50m, obtemos uma quadrática com uma única
+solução positiva que é $v_0 = 31.30 \text{m}$, o que casa com o
+gabarito. Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo leva
+pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
+31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema enfatiza
+que ele quer o tempo. E o problema não tem como estar errado. Queremos
+lançar uma bola pra cima até atingir 50m e contabilizar o tempo---isso
+é perfeitamente físico. Estamos errados em algum lugar. Como nossa
+$v_0$ casa com o gabarito, é na produção da quadrática que estamos
+errados---aritmética! (A gente erra muita aritmética.) Mas a
+aritmética parece correta, então física é uma coisa muito perplexante.
+\end{exercise*}
+
+
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography