diff --git a/calculus.pdf b/calculus.pdf
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index e01116f..ae67914 100644
--- a/calculus.tex
+++ b/calculus.tex
@@ -1593,9 +1593,7 @@ triângulo. Em símbolos,
 %
   $$\frac{\sen a}{a} = \frac{\sen b}{b} = \frac{\sen c}{c}$$
 %
-Note que ela não fala que a o cosseno é.  Isso certamente faz a gente
-se perguntar por que não. E o legal dela é que é em {\em qualquer}
-triângulo.
+Ela é válida em {\em qualquer} triângulo.
 
 \ghostsection{A lei dos cossenos}.  A lei dos cossenos é uma espécie
 de Teorema de Pitágoras.  Considere qualquer triângulo com lados $A,
@@ -1686,8 +1684,8 @@ uma vez que o cosseno é uma função par e o seno, ímpar.
 \end{exercise*}
 
 Estamos em um momento importante porque agora conseguimos deduzir uma
-as principais identidades trigonométricas, fazendo parecer assim que é
-mais fácil aprender a deduzir as identidades que memorizá-las.  Não
+das principais identidades trigonométricas, fazendo parecer assim que
+é mais fácil aprender a deduzir as identidades que memorizá-las.  Não
 sei nem se vale a pena registrar as outras.
 
 \begin{exercise*}
@@ -1744,25 +1742,25 @@ pra 90 km/h, implicando que ele ainda ganhará mais 90 km dentro de uma
 hora.  Portanto, esse gráfico da distância estará sempre subindo. 
 
 Quem já estudou Cálculo sabe que o gráfico da distância na primeira
-metade do problema cresce de acordo com $1/2 t^2$. Podemos então
-desenhar uma perfeita curva correta já que temos essa
-ferramenta. Agora, a segunda metade da velocidade produz a curva $-1/2
-t^2$, que é uma parábola pra baixo.  Isso indica que podemos conectar
-esses dois gráficos de forma perfeita, mas estou em dúvida sobre como
-fazer a conexão.  Por exemplo, a gente não vai conectar ambos os
-gráficos através de suas formas na origem porque na origem os valores
-do tempo são zero.  Quando o carro pára de aumentar a velocidade e
-passa a diminuí-la, ele ainda ganha distância com grande velocidade
-(em contraste a com pouca velocidade ou quase parando).  E é isso que
-precisamos entender de uma vez por todas.
+metade do problema cresce de acordo com $(\sfrac{1}{2}) t^2$. Podemos
+então desenhar uma perfeita curva correta já que temos essa
+ferramenta. Agora, a segunda metade da velocidade produz a curva
+$-(\sfrac{1}{2}) t^2$, que é uma parábola pra baixo.  Isso indica que
+podemos conectar esses dois gráficos de forma perfeita, mas estou em
+dúvida sobre como fazer a conexão.  Por exemplo, a gente não vai
+conectar ambos os gráficos através de suas formas na origem porque na
+origem os valores do tempo são zero.  Quando o carro pára de aumentar
+a velocidade e passa a diminuí-la, ele ainda ganha distância com
+grande velocidade (em contraste a com pouca velocidade ou quase
+parando).  E é isso que precisamos entender de uma vez por todas.
 
 Quando o tempo passa, estamos sempre falando de um intervalo.  Então a
 gente computa dois pontos da função distância e vê de onde pra onde
 ela foi.  Por exemplo, se a velocidade cai de 100 km/h pra 90 km/h
 durante o intervalo $(t_1, t_2)$, então a distância percorrida tem que
-ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-1/2 t_1^2$ pra
-$-1/2 t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer precisa respeitar os
-intervalos certos e outras coisas.
+ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-(\sfrac{1}{2})
+t_1^2$ pra $-(\sfrac{1}{2}) t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer precisa
+respeitar os intervalos certos e outras coisas.
 
 Que outras coisas? Na prática, esses problemas muitas vezes oferecem
 gráficos de velocidade (ou aceleração) e pedem o gráfico da integral.
@@ -1841,10 +1839,6 @@ Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
 de equações lineares, mas não sei o que ele fez.  Fica aí como um
 exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
 
-\subsection{A relação entre exponenciação e logaritmos}
-
-
-
 \section{Definitions, limits and continuity}
 
 \masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
@@ -6480,7 +6474,7 @@ de um jeito levamente diferente---e também mais claro.
   $$\sum_{i=2}^\infty \frac{1}{i^2 - 1}?$$
 %
 Primeiro note que ela é muito parecida com a de Euler.  Se a de Euler
-converge, seria dramático se essa não convergisse: no infinito, não
+converge, seria dramático se essa não convergisse: no infinito, ambos
 $i^2$ e $i^2 - 1$ são praticamente a mesma coisa.  Mas não é assim que
 se argumenta.  Primeiro observe que a série começa em $i=2$.
 Compare-a com a de Euler a partir de $i=2$ com a série