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+++ b/calculus.tex
@@ -6816,7 +6816,110 @@ zero pra sempre.
 Naturalmente a gente se pergunta agora qual é a função-solução. O
 modelo logístico é uma equação diferencial separável de primeira
 ordem, então sua solução não é difícil de ser obtida se você tiver um
-mínimo de técnicas de integração.
+mínimo de técnicas de integração, que são a integral da função inversa
+e frações parciais do tipo mais simples.  Porque é tão fácil de fazer,
+vamos avançar logo pra outras equações diferenciais.
+
+\subsection{As lineares de primeira ordem}
+
+Além das separáveis, a gente também sabe solucionar uma equação
+diferencial linear de primeira ordem.
+
+\begin{definition}[linear]
+Uma equação diferencial é linear de $n$-ésima ordem se ela é da forma
+%
+  $$f_n(x) y^(n) + f_{n-1}(x)y^(n - 1) + \cdots + f_2(x)y'' + f_(1) y' + f_o(x)y = Q(x).$$
+%
+\end{definition}
+
+Não sabemos resolver uma linear de qualquer ordem, mas sabemos
+resolver a linear de primeira ordem, que é da forma
+%
+  $$y' + P(x)y = Q(x).$$
+%
+\begin{remark*}
+Note que uma equação como $q(x)y' + P(x)y = Q(x)$ ainda é linear de
+primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra $y' + 1/q(x)
+P(x)y = 1/q(x) Q(x)$.
+\end{remark*}
+
+É nesse tipo de equação que usamos o chamado ``método do fator
+integrante'', que exibiremos agora. O método nos instruir a procurar
+por $f(x)$ que quando multiplicada em ambos os lados da equação
+produza a regra do produto $f(x)y' + f'(x)y = (f(x)y)'$. Ocorre que
+uma tal função de $x$ pode ser sempre $\exp(\int P(x) \dx)$. ``Por
+quê?'' é a pergunta interesse aqui.  Antes de exibirmos o porquê,
+vejamos o método em ação.
+
+\begin{exercise*}
+Resolva a equação $y' + \fr{1}{x}y = x^2$. \sol. Primeiro computamos
+$\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) = x$. Observe que queremos uma
+função $f(x)$ qualquer, então podemos sempre tomar $c = 0$ na
+integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em ambos lados da equação,
+obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o lado esquerdo é
+exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
+%
+\begin{align*}
+  xy' + x x^{-1}y &= x^3\\
+            (xy)' &= x^3\\
+   \int (xy)' \dx &= \int x^3 \dx\\
+               xy &= \fr{1}{4}x^4 + c\\
+                y &= \fr{1}{4}x^3 + c,
+\end{align*}
+%w
+como desejado.
+\end{exercise*}
+
+O método ilustra o fato de que a gente sempre recorre às regras de
+derivação pra conseguir uma integração. 
+
+Uma das perguntas importantes aqui é por que o fator integrante é
+$\int P(x) \dx$.  A resposta é na verdade simples. Estamos em busca de
+uma função $I(x)$ tal que 
+%
+  $$(M(x)y)' = M(x)y' + M(x)P(x)y.$$
+%
+Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y$.  Agora iguale o
+lado esquerdo desejado com o lado direito pra obter a equação
+%
+  $$M'(x)y + M(x)y = M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
+%
+O que nos diz essa equação? Diz-nos que a função que estamos
+procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$. Essa é uma nova equação
+diferencial que na verdade já conhecemos---ela é uma separável de
+primeira ordem.  Encontramos uma solução pra ela lendo-a em
+palavras---que função $M(x)$ conhecemos que quando derivada resulta
+nela própria vezes alguma coisa?  Essa função $M(x)$ tem que ser
+certamente uma exponencial porque só as exponenciais têm a propriedade
+de que a velocidade de seu crescimento depende de si própria.  Esse é
+um fato importante aqui. Agora, pra solucionar a charada por completo,
+declare $u'(t) = P(x)$ (pra alguma transformação que leve $t$ a $x$)
+de forma que $u(t) = \int P(x) \dx$ e reescreva o problema como
+%
+  $$M'(x) = M(x) u'(t).$$
+%
+Já sabemos que $M(x)$ é uma exponencial e a regra da cadeia implica
+que a variável independente $x$ de $M(x)$ tem que ser $x = u(t)$.
+Assim, obtemos
+%
+  $$M'(x) = (M(u(t)))' = M'(u(t))u'(t)$$
+%
+que implica 
+%
+  $$M(x) = \int M'(x) \dx = \exp\left(\int P(x) \dx\right) P(x) = \exp\left(P(x) \dx\right),$$
+%
+como desejado.
+
+\begin{remark*}
+Essa dedução ficou prolixa. Existe a resposta curta e de pouca emoção
+que é o fato de que 
+%
+  $$\exp\left(\int P(x) \dx\right)' = \exp(\Int P(x) \dx) P(x) + c.$$
+%
+Mas todos nós sabemos que é bom exercício induzir a resposta a partir
+de um problema anterior em vez de magicamente aparecer com a resposta
+e mostrar que ela o soluciona.
+\end{remark*}
 
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