Discusses techniques for integration.

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calculus.tex

@@ -37,7 +37,6 @@
 \usepackage{booktabs}
 \usepackage{float}
 %% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
-
 \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
 \usepackage{icomma}
 \allowdisplaybreaks
@@ -4933,6 +4932,30 @@ problema---não lembro a solução, por exemplo. Precisaria repensá-lo.
 
 \section{Técnicas de integração}
 
+Sem dúvida que a técnica mais fundamental de integração é o teorema
+fundamental. A partir dele, a gente estabelece regras primitivas de
+integração como $\int 1/x \dx = \ln x$ uma vez que sabemos derivar
+$\ln x$. Similarmente, a regra do quociente (de derivação) nos entrega
+que a derivada de $\tg x$ é $\sec^2 x$ e, portanto, pelo teorema
+fundamental, obtemos
+%
+  $$\int \sec^2 x \dx = \tg x + c.$$
+%
+Isso não é lá notícia tão boa porque significa que teremos que
+memorizar muitas derivadas. Por exemplo, qual a derivada de $\cot x$?
+Primeiro lembre-se que $\cot x = 1/\tg x$. Daí aplique a regra do
+quociente e obtenha $- sec^2 x / \tg^2 x = - 1/\sin^2 x = - \csc^2 x$,
+implicando que $\csc^2 x \dx = - \cot x + c$, como
+desejado. Similarmente, obtém-se assim muitas outras integrais
+fundamentais como $\int \sec x \tg x \dx = \sec x + c$ uma vez que a
+derivada de $\sec x = \sec x \tg x$.  Infelizmente, o único jeito de
+fazer uso dessas regras é memorizar cada uma por prática. Matemáticos
+fazem manuais de integração em que eles catalogam as importantes. A
+gente não vai fazer isso, não, porque seria um trabalho muito mais
+monumental, mas podemos começar a pensar em computar a derivada de
+todas as funções que conhecemos como $\csc x$, $\sinh x$, $\cosh x$
+{\em et cetera}.
+
 A regra da substituição é a regra da cadeia e a regra de integração
 por partes é a regra do produto. As outras regras são ou muito óbvias
 ou pouco úteis. Por exemplo, teria como extraírmos uma regra de
@@ -4982,21 +5005,64 @@ incógnita a ser descoberta.
 Há integrais divertidas de se computar de onde se extrai, por exemplo,
 a bonita fórmula  
 %
-  $$\int x^n e^x \dx = e^x \left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{n - i + 1} x^{n - i}\right) + c.$$
+  $$\int x^n e^x \dx = e^x \left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{(n - i)!} x^{n - i}\right) + c$$
 %
+pra todo natural $n$.
+
 Por exemplo, $\int x^5 e^x \dx = e^x (x^5 - 5 x^4 + 20 x^3 - 60x^2 +
 120x - 120) + c$. Essa fórmula vem da integração
 por-partes. Escolhe-se sempre o termo $x^i$ como função $u$ e $e^x$
 como função $v$. Aplica-se a integração por-partes $n$ vezes
 (recursivamente) e em seguida substitui-se de volta em direção ao
-problema original. Okay, agora tragamos nossa atenção para as
-integrais de funções trigonométricas.
+problema original. Na verdade o que fizemos pra obter essa fórmula foi
+computar uma {\em reduction formula} pra integral de $x^n e^x$.
+(Veja, por exemplo, o que faz Stewart no exemplo 6 da seção 7.1 da
+nona edição.) A cultura, portanto, é expressar essas fórmulas através
+de uma recorrência. O que fizemos foi traduzir a recorrência pra um
+laço-for iterativo, o que já é alguma vantagem porque assim a gente
+consegue ver o padrão mais facilmente e nos permite memorizar certos
+resultados, como a integral de $x^5 e^x$.  Outros padrões talvez não
+fossem tão fáceis de se obter ou memorizar, como o próprio exemplo 6
+da seção 7.1 da nona edição de Stewart. O fato, entretanto, é que uma
+fórmula de redução obtida pela integração por partes só é útil se ela
+for de fato uma fórmula de redução, é claro---a integral recorrente
+precisa ter um grau menor que a integral que se deseja calcular.
+
+Uma outra observação sobre a integração por partes é que às vezes a
+aplica-se ao produto artificial $f(x)\cdot 1$. Por exemplo, pra
+integrar $\tg^{-1} x$, escolhe-se $u = \tg^{-1} x$ e $\dv = 1$ de forma
+que $\du = 1/(1 + x^2) \dx$ e $v = x$. Daí
+%
+  $$\int \tg^{-1} x \dx = x \tg^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} \dx,$$
+%
+que pode ser então resolvida pela substituição $t = 1 + x^2$ na
+integral resultante porque $(1/2x) \dt = \dx$ e aí ficamos com
+$x\tg^{-1}x - \ln|1 + x^2| + c$, como desejado.
+
+Okay, agora tragamos nossa atenção para as integrais de funções
+trigonométricas.
+
+\subsection{A integral de funções trigonométricas}
+
+Começamos por observar que integrar $\tg x$ não é difícil porque ela é
+obtida por uma substituição trivial. Primeiro escreva $\tg x = \sin x
+/ \cos x$. Em seguida declare $u = \cos x$ de forma que $-\du/(\sin x)
+= \dx$, implicando
+%
+  $$\int \tg x \dx = -\int 1/u \du = -\ln |\cos x| + c = ln |\sec x| + c,$$
+%
+como desejado. Agora vamos subir o grau.
+
+Feito essa observação, a gente também observa que já sabemos integrar
+$\sin x$ e $\cos x$, mas que precisamos pensar em potências delas como
+$\sin^2 x$, $\cos^2 x$ {\em et cetera}. Nenhma dessas duas sai por
+por-partes---experimente. Obtemos $\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x
++ \int \cos^2 \dx$, exigindo-nos a integral de $\cos^2 x$. Se
+tentarmos por-partes a integral de $\cos^2 x$, precisaremos da
+integral de $\sin^2 x$, estabelecendo-se assim um ciclo do qual não
+conseguiremos sair. Agora, a sorte não é a mesma se desejarmos pelas
+integrais de $\sin^3 x$ ou $\cos^3 x$.
 
-%% \subsection{A integral de funções trigonométricas}
-%% 
-%% Começamos por observar que integrar $\tg x$ não é difícil porque ela é
-%% obtida por uma substituição trivial. Primeiro escreva $\tg x = \sin x
-%% / \cos x$.
 
 \section{Studying functions}