diff --git a/calculus.pdf b/calculus.pdf
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index 4529140..a012f3c 100644
--- a/calculus.tex
+++ b/calculus.tex
@@ -954,17 +954,37 @@ Em mais detalhes, se
 %
 então, pra encontrarmos uma fatoração (se existir), a pista mais
 relevante é o termo $ab$.  Se, por exemplo, $ab = 3$, deduzimos que só
-há duas possibilidades --- $a = 1, b = 3$ ou $a = 3, b = 1$ porque 3 é
-primo.  É o caso acima.  Queremos $ab = 3$ e $(2b + a) = 7$.  Se
-tentarmos $b=1$, não conseguimos porque $2b + a$ vai dar 5.  Se
-tentarmos $a=1$, conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$.  Logo, $2t^2 +
-7t + 3 = (2t + 1)(t + 3)$.  Em outras palavras, o coeficiente líder
-maior que 1 não chega a modificar o método de fatoração --- é só uma
-pequena perturbação.  O maior problema é quando o termo $ab$ oferece
-muitas possibilidades.  Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se
-complica um pouco mais porque $24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 =
-8\times3$, sendo que cada produto aí oferece duas possibilidades.
-Várias possibilidades a verificar --- oito nesse caso.
+há duas possibilidades: $a = \pm 1, b = \pm 3$ no sentido de que ambos
+são positivos ou ambos negativos.  Como 3 é primo, não há outras
+possibilidades.  Queremos $ab = 3$ e $(2b + a) = 7$.  Se tentarmos
+$b=1$, não conseguimos porque $2b + a$ vai dar 5.  Se tentarmos $a=1$,
+conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$.  Logo, $2t^2 + 7t + 3 = (2t + 1)(t
++ 3)$.  Em outras palavras, o coeficiente líder maior que 1 não chega
+a modificar o método de fatoração --- é só uma pequena perturbação.  O
+maior problema é quando o termo $ab$ oferece muitas possibilidades.
+Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complica um pouco mais porque
+$24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que cada
+produto aí oferece duas possibilidades.  Várias possibilidades a
+verificar---oito nesse caso.
+
+Depois de considerados os fatores de $ab$, observe que o sinal de $ab$
+revela se os sinais de $a, b$ são os mesmos ou se são diferentes. Se
+são diferentes, o sinal de $Lb + a$ entrega o sinal do número que é
+maior dentre $a, b$.  
+
+Note que o coeficiente $Lb + a$ multiplica o coeficiente líder pelo
+$b$, o número pertencente ao termo linear sem o coeficiente líder. Se,
+dentre $a, b$, você colocar o maior deles como $b$, então o termo $Lb
++ a$ será maior que $La + b$, caso em que você trocaria $a, b$ de
+lugar (se você compreendeu a mensagem aqui).  Faço essa observação
+numa tentativa de ajudar a localizar a posição dos fatores de $ab$
+porque a posição deles faz diferença quando $L > 1$.  Por exemplo,
+numa fatoração como $(x - a)(x - b)$, você pode trocar $a, b$ de
+lugar, mas não se for $(2x - a)(x - b)$. Eis um exemplo do que estou
+dizendo. O polinômio $5x^2 + 24x + 27$ nos sugere que as escolhas pra
+$a, b$ estão em $\{3, 9\}$, mas é preciso saber se tentamos $(5x +
+3)(x + 9)$ ou $(5x + 9)(x + 3)$.  Devemos considerar a segunda opção
+primeiro já que $9\times 5 = 45$, muito grande pra $24$.
 
 \subsubsection{Fatoração de soma e diferença de cubos}
 
@@ -1764,6 +1784,35 @@ côncava pra cima conectada a uma parábola côncava pra baixo conectada
 a uma função cúbica côncava pra baixo. É isso---é o melhor que posso
 fazer no momento.
 
+\subsection{A interpolação de polinômios por Gauss}
+
+A palavra ``interpolar'' não é a melhor escolha aqui, mas minha
+intenção agora é só documentar que se você deseja um polinômio de grau
+1, você precisa descobrir 2 coeficientes, o que você consegue com um
+sistema de dimensão 2.  Se você deseja um polinômio de grau 2, você
+precisará descobrir 3 coeficientes, o que significa que você pode
+montar um sistema de dimensão 3. Se você deseja um polinômio de grau
+3, você precisa descobrir 4 coeficientes, o que significa que você
+pode montar um sistema de dimensão 4. Se você tem um sistema de 4
+incógnitas, precisa também de 4 pontos fixos do seu polinômio. Parece
+que foi Gauss quem popularizou essa técnica. Você usa os pontos e
+instala o sistema linear, resolvendo-o via eliminação Gaussiana. É bom
+resolver o sistema por computador porque calcular a eliminação
+Gaussiana é realmente entediante e propícia a erro. Um protocolo que
+facilmente me oferecesse uma verificação pra evitar os erros seria
+muito bom, algo similar ao que inventei pra multiplicação de inteiros
+segundo \al.
+
+\subsection{A interpolação de polinômios por Newton}
+
+Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
+de equações lineares, mas não sei o que ele fez.  Fica aí como um
+exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
+
+\subsection{A relação entre exponenciação e logaritmos}
+
+
+
 \section{Definitions, limits and continuity}
 
 \masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
@@ -4112,6 +4161,11 @@ most cost functions don't have local minima, I'd say --- it's very
 unusual to buy, say, $10$ and pay $10,$ and then getting a cost of $5$ for 
 buying $20$ from the same supplier. 
 
+\section{Integrais} 
+
+Antes de definir a integral, é útil discutir a notação tipicamente
+usada.
+
 \subsection{Sigma notation} 
 
 We're about to study about integrals. It will be useful, therefore, to
@@ -4154,11 +4208,10 @@ anyway. The definition of an integral, as we shall see, is what we see
 above: the limit, as $n \to \infty$, of a Riemann sum with $n$
 rectangles.
 
-\section{Integrals} 
+\section{A definição de integral}
 
-We start with the definition of a definite integral. Let's first observe
-what the definition is; let's look at its words and symbols, and after
-that, let's talk about ways of thinking of it.
+Let's first observe what the definition is; let's look at its words
+and symbols, and after that, let's talk about ways of thinking of it.
 
 \masciidef{} Let $f$ be a continuous function defined on $[a, b].$ Break
 this interval into $n$ equal pieces so that each piece will have a
@@ -6517,28 +6570,6 @@ provado por indução.  Acima, nós fomos até $2^3$ no denominador,
 portanto temos $2^4$ termos, que são $2^7$ metades e a unidade com a
 qual a série se inicia. Isso então significa...
 
-\subsection{A interpolação de polinômios por Gauss}
-
-A palavra ``interpolar'' não é a melhor escolha aqui, mas minha
-intenção agora é só documentar que se você deseja um polinômio de grau
-1, você precisa descobrir 2 coeficientes, o que você pode montar um
-sistema de dimensão 2.  Se você deseja um polinômio de grau 2, você
-precisará descobrir 3 coeficientes, o que significa que você pode
-montar um sistema de dimensão 3. Se você deseja um polinômio de grau
-3, você precisa descobrir 4 coeficientes, o que significa que você
-pode montar um sistema de dimensão 4. Se você tem um sistema de 4
-incógnitas, precisa também de 4 pontos fixos do seu polinômio. Parece
-que foi Gauss quem popularizou essa técnica. Você usa os pontos e
-instala o sistema linear, resolvendo-o eliminação Gaussiana. É bom
-resolver o sistema por computador porque calcular a eliminação
-Gaussiana é realmente entediante.
-
-\subsection{A interpolação de polinômios por Newton}
-
-Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
-de equações lineares, mas não sei o que ele fez.  Fica aí como um
-exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
-
 \newpage \tableofcontents 
 \newpage \printbibliography