From cbfba48bef0c03caffeaf5827864c1b755e3f0e3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Charlie Root Date: Tue, 10 Mar 2026 22:05:23 -0300 Subject: [PATCH] Drawing graphs of distance from velocity. --- calculus.tex | 62 ++++++++++++++++-- ...yperbole-triangle-constant-area - Copy.pdf | Bin 13053 -> 0 bytes 2 files changed, 56 insertions(+), 6 deletions(-) delete mode 100755 images/hyperbole-triangle-constant-area - Copy.pdf diff --git a/calculus.tex b/calculus.tex index 45bdcda..9d7a683 100644 --- a/calculus.tex +++ b/calculus.tex @@ -1670,7 +1670,7 @@ as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3}, 2\pi\}.$ \end{exercise*} -\subsection{Distância a partir de velocidade} +\subsection{Sobre gráficos de aceleração, velocidade e distância} Suponha que alguém lhe dê o seguinte problema. Um carro viaja com uma velocidade crescente determinada pela função $v = t$. Subitamente, @@ -1702,10 +1702,62 @@ precisamos entender de uma vez por todas. Quando o tempo passa, estamos sempre falando de um intervalo. Então a gente computa dois pontos da função distância e vê de onde pra onde ela foi. Por exemplo, se a velocidade cai de 100 km/h pra 90 km/h -durante o intervalo $(t_1,t_2)$, então a distância percorrida tem que +durante o intervalo $(t_1, t_2)$, então a distância percorrida tem que ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-1/2 t_1^2$ pra -$-1/2 t_2^2$. Assim a conexão que devemos fazer tem que respeitar os -intervalos certos. +$-1/2 t_2^2$. Assim a conexão que devemos fazer precisa respeitar os +intervalos certos e outras coisas. + +Que outras coisas? Na prática, esses problemas muitas vezes oferecem +gráficos de velocidade (ou aceleração) e pedem o gráfico da integral. +Como a gente sabe calcular a integral, a gente consegue montar o +gráfico certinho. Vamos a um exemplo. + +\begin{exercise*} +Um carro viaja segundo $v = t$ no intervalo $(0,1)$ e depois viaja +segundo $v = -t$ no intervalo $(1, 2)$. Desenhe as curvas de +velocidade e também a da distância nos mesmos eixos. \sol. Os gráficos +das velocidades nós já conhecemos. A integral de $t$ é $(1/2) t^2$ e +note que ela termina na altura 1/2, então ela fica abaixo da +velocidade. A integral de $-t$ é $- (1/2) t^2$ que é a mesma parábola +só que agora côncava pra baixo e a gente então desenha ela começando +onde terminou a parábola côncava pra cima. Fazer o deslocamento com +as mãos é moleza---a gente já fez aqui dizendo meramente que a gente +desenha o segundo gráfico onde o primeiro terminou. Num computador, +como num Geogebra, a gente precisaria especificar o deslocamento. A +cada novo intervalo do domínio vai haver um deslocamento horizontal e +a altura também é deslocada porque o intervalo anterior tipicamente +faz a integral subir ou descer. Por exemplo, pra desenhar o arco da +parábola relativo ao intervalo $(1, 2)$, pedi ao Geogebra pra desenhar +$- (1/2) (t - 1)^2 + 1/2$ porque precisamos deslocar pra direita e +subir 1/2 já que a primeira parábola terminou em 1/2. Veja a +Figura~\ref{fg:speed-distance} na página~\pageref{fg:speed-distance}. +% +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth, angle=0]{images/speed-distance.png} + \caption{As curvas $f$ e $g$ descrevem a velocidade do carro e as + curvas $h$ e $p$ descrevem a distância percorrida pelo carro.} + \label{fg:speed-distance} +\end{figure} +% +\end{exercise*} + +Como fazer esses desenhos quando a gente não conhece bem a curva que +precisamos integrar? Minha ideia é---finge que você conhece, calcula +a integral dela corretamente e aí desenha a função que descreve a +integral como se a origem do plano fosse o ponto em que a +função-integral anterior terminou. Por exemplo, imagine que alguém te +pede pra desenhar a distância percorrida por um carro que viajou com +velocidade parecida com uma curva da distribuição gaussiana. A +integral dela é certamente complicada, mas como o problema está +pedindo meramente pela intuição da ideia---pro estudante mostrar que +sabe o que está acontecendo---, a gente faz de conta que a curva é uma +espécie de parábola no início, seguida de uma função linear até um +topo e simetricamente no resto. Com isso a integral aí seria uma +espécie de função cúbica côncava pra cima conectada a uma parábola +côncava pra cima conectada a uma parábola côncava pra baixo conectada +a uma função cúbica côncava pra baixo. É isso---é o melhor que posso +fazer no momento. \section{Definitions, limits and continuity} @@ -6361,8 +6413,6 @@ pro que precisamos---precisamos de uma estimativa mais justa, mais apertada. \end{remark*} - - \subsection{Método de Newton e raízes quadradas} Use o método de Newton. Por exemplo, se você quer uma sequência que diff --git a/images/hyperbole-triangle-constant-area - Copy.pdf b/images/hyperbole-triangle-constant-area - Copy.pdf deleted file mode 100755 index ddb9b746ef2b206dab0177bec6eae8db6bb9ffa5..0000000000000000000000000000000000000000 GIT binary patch literal 0 HcmV?d00001 literal 13053 zcmZvD1yo$kvM#OzL4w=h5M*$7moT^lcMHzo?iL`pyF;*`L4sQd4#C~sAy{~m|DJQ+ zyZ7C_X06%%Rn@NEy}PTsYxPH~A|=DZ&dQ6%4rBv5n%bfX34t`coGgGKNfU^Poud^< z#l*_O703YH_J%M^`P-S*DJ~kjPJEsBk(GC!(mMf6!?^8i)7OswNE@sfG zL2E1nmHqS24dnhS6%heRdqQN@Atn%uzqq)aleG!k-#bZhXzk2Qfb7sp{TIyszr!5= zg4tNv`1#m4`8n9RdH8rZc)7U$vHxG-|2&cNKc+nY!}PCbHrD@%LJj}(`*-{PeaU|{ z)O!mDD~L6aor8m)6C`6}2eEJgf@JKVuO?+-=4fsKwMBDax-(O@ufA1vg>j`)j`QwvA@Q3*OljC7m=gaHzX&yzFz+;u!GeuWs zz;n6L%ii7nYd6K~&C5F3+Mos5*$~@$ne!^9V@1pk#-D|NyZXnVx%e;sx@F7#k1yx? z=e44j3bNX57oo58UtCv3ZUrKiA?tlEEx(ViYiUQlH{=uua z+P@pE{Zrob`dmA|%(wdeaqn_w+n&N<6l?qv-F3+_C9!0|n% z;Eef$QXPAI8G+2>pS~1r0Tsk9U#VmV_)V?s>wi3Hs@HmbWMInL7cIZv{&eDvm#6M{ 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