Cosmetics on harmonic series and the engineering model.

calculus.tex

@@ -1486,8 +1486,11 @@ assim, vamos pegar o intervalo de $2\pi$ e alastrá-lo entre 24
 intervalos de uma unidade, ou seja, vamos dividir $2\pi$ por
 24\footnote{É interessante a gente olhar a aritmética por diversas
 perspectivas das palavras. Que palavras representam cada fenômeno
-aritmético?}. Com isso o modelo se torna $35 \sin(\fr{2\pi}{24} (t -
-6))$ e isso encerra o projeto.
+aritmético?}. Com isso o modelo se torna
+%
+  $$35 \times \sin\left(\fr{2\pi}{24} (t - 6)\right)$$
+%
+e isso encerra o projeto.
 
 Na verdade, facilitei sua vida quando falei que o pico tinha altura
 35. Na verdade não tem. Lembra que o modelo do engenheiro era $12t -
@@ -1495,7 +1498,9 @@ t^2$. O pico é na verdade o vértice da parábola. Qual é o vértice? A
 parábola é simétrica, portanto o vértice localiza-se no ponto médio
 entre suas duas raízes, que são 0 e 12. Logo, o vértice é $(6,
 12\cdot6 - 36) = (6, 6\times [12 - 6]) = (6, 36)$. Portanto, o modelo
-pro engenheiro é de fato $36 \sin(\fr{2\pi}{24} (t - 6))$.
+pro engenheiro é de fato 
+%
+ $$36 \times \sin\left(\fr{2\pi}{24} (t - 6)\right).$$
 
 \subsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
 
@@ -6468,7 +6473,7 @@ função inversa de $n - 1$ a $n$ e veja o que você consegue descobrir.
 Não se consegue a dedução, mas encontra-se resultados que podem ser
 lucrativos em outros mercados. Por exemplo, 
 %
-  \fr{1}{n} < \int_{n - 1}^n \fr{1}{x} \dx = \ln n - \ln (n - 1)
+  $$\fr{1}{n} < \int_{n - 1}^n \fr{1}{x} \dx = \ln n - \ln (n - 1)$$
 %
 porque a soma de Riemann abaixo da curva $1/x$ no intervalo $(n-1, n)$
 usando-se $\D{x} = 1$ é $1/n$. Essa soma de Riemann é um limite