From de4b379f9c90dff19f537b5ea3477900863c02a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Charlie Root Date: Thu, 26 Mar 2026 09:50:47 -0300 Subject: [PATCH] Completes the square for the quadratic formula. --- calculus.tex | 80 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 56 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/calculus.tex b/calculus.tex index 04db7da..3f99f71 100644 --- a/calculus.tex +++ b/calculus.tex @@ -684,7 +684,7 @@ verbos'' em nossa linguagem --- como ``$\sqrt{\cdot}$''. É, aliás, por isso que os matemáticos definem que $\sqrt{2}$ é um número algébrico: pode ser expresso por uma linguagem algébrica. Outros irracionais como $e$ ou $\pi$ são chamados de transcendentais porque -transcendem qualquer linguagem algébrica, ou seja, cada um deles +transcendem a linguagem algébrica usual, ou seja, cada um deles precisaria de um novo símbolo. É notório, entretanto, que os trancendentais são vastamente mais abundantes na linha real (pra alguma definição de ``abundantes'') que os algébricos. (Matemáticos @@ -764,9 +764,8 @@ sendo certo neste exemplo que $p_1 = p_2 = p_3$. Assim obtemos \end{remark*} \begin{remark*} -Comentário. Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto -é, nada se afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas -fatorações. +Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto é, nada se +afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas fatorações. \end{remark*} Agora observe que $p_1$ é um primo que divide $m$. Portanto, $p_1$ tem @@ -920,6 +919,39 @@ termo \sfrac{49}{16} que adicionamos. Assim obtemos a igualdade % como desejado. +Podemos obter a fórmula da equação quadrática assim. Eis como +fazer. Queremos solucionar $ax^2 + bx + c = 0$. O primeiro passo é +transformar essa parábola num polinômio mônico, obtendo +% +\begin{align*} + x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} = 0. +\end{align*} +% +Agora observe que o termo $x^2$, por si só, já é um quadrado +perfeito. Metade do termo linear é $b/2a$ vezes $x$, o que representa +a área de um retângulo de altura $x$ e comprimento $b/2a$. Colocando +esses dois retângulos, respectivamente, acima e ao lado direito do +quadradinho $x^2$, obtemos as áreas $x^2 + (b/a) x$. Pra completar +esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$. O lado desse +quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade +% +\begin{align*} + (x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}. +\end{align*} +% +Assim, podemos resolver a equação por computar +\begin{align*} + x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} &= 0\\ + x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{b^2}{4a^2} + \fr{c}{a} &= \fr{b^2}{4a^2}\\ + \left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 &= \fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}\\ + x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}}\\ + x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2- 4ac}{4a^2}}\\ + x + \fr{b}{2a} &= \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\ + x &= \fr{b}{2a} \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\ + x &= \fr{b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}, +\end{align*} +obtendo assim a expressão usual da fórmula da equação quadrática. + \subsubsection{Fatoração de polinômios quadráticos com coeficiente líder} Precisaremos calcular números como @@ -962,9 +994,9 @@ conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$. Logo, $2t^2 + 7t + 3 = (2t + 1)(t + 3)$. Em outras palavras, o coeficiente líder maior que 1 não chega a modificar o método de fatoração --- é só uma pequena perturbação. O maior problema é quando o termo $ab$ oferece muitas possibilidades. -Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complica um pouco mais porque -$24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que cada -produto aí oferece duas possibilidades. Várias possibilidades a +Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complicaria um pouco mais +porque $24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que +cada produto aí oferece duas possibilidades. Várias possibilidades a verificar---oito nesse caso. Depois de considerados os fatores de $ab$, observe que o sinal de $ab$ @@ -2459,23 +2491,23 @@ como desejado. Relevante é o Teorema Binomial. \end{remark*} -\begin{remark*} -Os dados coletados são - -\begin{table}[htb] -\centering -\begin{tabular}{r|c} -função & derivada \\\toprule -$ax^1$ & $ax^0 = a$\\ -$ax^2$ & $3ax^1 = 2ax$\\ -$ax^3$ & $3ax^2$\\ -$\vdots$ & $\vdots$\\ -$ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule -\end{tabular} -\caption{A regra da potência.} -\label{tb:regra-potência} -\end{table} -\end{remark*} +%% \begin{remark*} +%% Os dados coletados são +%% +%% \begin{table}[htb] +%% \centering +%% \begin{tabular}{r|c} +%% função & derivada \\\toprule +%% $ax^1$ & $ax^0 = a$\\ +%% $ax^2$ & $3ax^1 = 2ax$\\ +%% $ax^3$ & $3ax^2$\\ +%% $\vdots$ & $\vdots$\\ +%% $ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule +%% \end{tabular} +%% \caption{A regra da potência.} +%% \label{tb:regra-potência} +%% \end{table} +%% \end{remark*} Outro fato é que $ax^n$ tem derivada $anx^{n - 1}$. É um exercício interessante provar esse fato por dois ângulos diferentes, que são as