Lots of changes.

For example, investigations on the harmonic series, but also bits on
how to draw distance graphs from velocity and how to model a periodic
phenomenon.

calculus.tex

@@ -1247,10 +1247,10 @@ Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$.  Onde
 ela intercepta o eixo $y$?  Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
 
 \begin{exercise*}
-Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$.  Note que $144 =
+Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$.  \sol. Note que
-12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$.  Logo, a equação é equivalente a
+$144 = 12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$.  Logo, a equação é
-$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$.  O gráfico é uma elipse que intercepta o
+equivalente a $(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$.  O gráfico é uma elipse que
-eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
+intercepta o eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
 \end{exercise*}
 
 \subsection{Trigonometria}
@@ -1457,7 +1457,7 @@ sobre a hipotenusa, que é $\sqrt{x^2 + 1}$.  Conclua então que
 
 Há uma série de identidades trigonométricas.
 
-A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
+A identidade do círculo unitário é óbvia---aplicando a definição de
 $\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
 \cos^2 x = 1$.  Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
 obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
@@ -1520,8 +1520,9 @@ como.
 \end{figure}
 %
 \begin{exercise*}
-Observe a desenho exibido pela Figura~\ref{fg-trig-add-formula}. Use-o
+Observe o desenho exibido pela Figura~\ref{fg-trig-add-formula} (na
-pra provar a fórmula da subtração
+página \pageref{fg-trig-add-formula}). Use-o pra provar a fórmula da
+subtração
 %
   $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$$
 %
@@ -1529,27 +1530,23 @@ pra provar a fórmula da subtração
 distância entre os pontos $A$ e $B$ e a segunda pela lei dos
 cossenos. Primeiro note que o ângulo que subtende o lado $c$ é o
 ângulo $\alpha - \beta$. Agora, executando a estratégia, obtemos o
-quadrado da distância de $A$ pra $B$ sendo $c^2 = (\cos\alpha -
+quadrado da distância de $A$ pra $B$ como $c^2 = (\cos\alpha -
 \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$. Pela lei dos cossenos,
-obtemos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta)$. Assim obtemos
+obtemos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta)$. Mas $a=b=1$,
+então obtemos
 %
-  $$(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha - \beta).$$
+  $$(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2\cos(\alpha - \beta).$$
 %
 Daí expanda os quadrados do lado esquerdo e observe que pode-se
-aplicar $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pra obter a constante $2$. Note
+aplicar $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pra obter a constante $2$ no lado
-também que, pelo desenho, $a = b = 1$. Daí a gente consegue eliminar
+esquerdo. Daí a gente consegue eliminar todas as constantes da
-todas as constantes da expressão e obter
+expressão e obter
 %
   $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,$$
 %
 como desejado.
 \end{exercise*} 
 
-\begin{remark*}
-Teríamos trabalhando menos se tivéssemos notado mais cedo que $a = b =
-1$.
-\end{remark*}
-
 \begin{exercise*}
 Use o exercício anterior pra provar a fórmula da adição relativa ao
 cosseno. \sol. Declare $\beta = -\beta$ pra obter
@@ -1587,9 +1584,14 @@ fórmula da adição, terminando completamente o exercício, declare $y=
 uma vez que o cosseno é uma função par e o seno, ímpar.
 \end{exercise*}
 
+Estamos em um momento importante porque agora conseguimos deduzir uma
+as principais identidades trigonométricas, fazendo parecer assim que é
+mais fácil aprender a deduzir as identidades que memorizá-las.  Não
+sei nem se vale a pena registrar as outras.
+
 \begin{exercise*}
 Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
-+ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos.  Aplicando a
++ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos.  \sol. Aplicando a
 fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
 y$ e daí
 %
@@ -1613,17 +1615,54 @@ como desejado.
 
 \begin{exercise*}
 Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
-[0,2\pi]$.  Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
+[0,2\pi]$.  \sol.  Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que
-\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
+$2\sin x \cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então
-(2\cos x - 1) = 0$.  Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
+$\sin x (2\cos x - 1) = 0$.  Daí estamos interessados em $\sin x = 0$,
-são soluções $0, \pi, 2\pi$.  Estamos também interessados em $2\cos x
+em que são soluções $0, \pi, 2\pi$.  Estamos também interessados em
-- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
+$2\cos x - 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
 $\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
 referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$.  Coletando
 as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
 2\pi\}.$
 \end{exercise*}
 
+\subsection{Distância a partir de velocidade}
+
+Suponha que alguém lhe dê o seguinte problema. Um carro viaja com uma
+velocidade crescente determinada pela função $v = t$. Subitamente,
+esse carro começa a perder velocidade até a velocidade chegar a zero e
+essa perda é determinada pela função $v = -t$.  O que estamos fazendo
+é descrevendo um gráfico por via de palavras. O problema é que você
+desenhe o gráfico da distância percorrida. \sol. Isso não deveria ser
+difícil, certo? O carro começa ganhando distância mas de pouco em
+pouco ele ganha mais e mais distância porque a velocidade aumenta. De
+repente a velocidade começa a cair, mas o carro continua a ganhar
+distância, embora a velocidade esteja caindo.  Isso é absolutamente
+compreensível.  Por exemplo, um carro atinge 100 km/h e de repente cai
+pra 90 km/h, implicando que ele ainda ganhará mais 90 km dentro de uma
+hora.  Portanto, esse gráfico da distância estará sempre subindo. 
+
+Quem já estudou Cálculo sabe que o gráfico da distância na primeira
+metade do problema cresce de acordo com $1/2 t^2$. Podemos então
+desenhar uma perfeita curva correta já que temos essa
+ferramenta. Agora, a segunda metade da velocidade produz a curva $-1/2
+t^2$, que é uma parábola pra baixo.  Isso indica que podemos conectar
+esses dois gráficos de forma perfeita, mas estou em dúvida sobre como
+fazer a conexão.  Por exemplo, a gente não vai conectar ambos os
+gráficos através de suas formas na origem porque na origem os valores
+do tempo são zero.  Quando o carro pára de aumentar a velocidade e
+passa a diminuí-la, ele ainda ganha distância com grande velocidade
+(em contraste a com pouca velocidade ou quase parando).  E é isso que
+precisamos entender de uma vez por todas.
+
+Quando o tempo passa, estamos sempre falando de um intervalo.  Então a
+gente computa dois pontos da função distância e vê de onde pra onde
+ela foi.  Por exemplo, se a velocidade cai de 100 km/h pra 90 km/h
+durante o intervalo $t_1--t_2$$, então a distância percorrida tem que
+ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-1/2 t_1^2$ pra
+$-1/2 t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer tem que respeitar os
+intervalos certos.
+
 \section{Definitions, limits and continuity}
 
 \masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
@@ -1697,13 +1736,14 @@ entre $x$ e $a$ se tornar pequena, então torna-se pequena também a
 distância entre $f$ e $L$.  Se isso ocorre pra qualquer pequena
 distância arbitrada, então o limite de $f$ é $L$.
 
+Provar limites pela definição é usualmente muito difícil.
+
 \begin{exercise*}
-Provar limites pela definição é muito difícil na maioria das vezes.
+prove que $\lim x^2 - 1 = 3$ com $x \to -2$.
-Por exemplo, prove que $\lim x^2 - 1 = 3$ com $x \to -2$.  Precisamos
+\sol. Precisamos de um $d$ que possa nos levar à desigualdade $$|x^2 -
-de um $d$ que possa nos levar à desigualdade $$|x^2 - 1 - 3| = |x^2 -
+1 - 3| = |x^2 - 4| = |(x + 2)(x - 2)| = |x + 2||x - 2| < e$$ pra todo
-4| = |(x + 2)(x - 2)| = |x + 2||x - 2| < e$$ pra todo $e$ positivo.
+$e$ positivo.  Pra ultrapassar o obstáculo desse produto, observe que
-Pra ultrapassar o obstáculo desse produto, observe que estamos
+estamos interessados em valores de $x$ {\em muito} próximos de $-2$.
-interessados em valores de $x$ {\em muito} próximos de $-2$.
 Portanto, podemos tranquilamente nos restrigir ao universo de busca em
 que $d$ não é maior que 1, ou seja, podemos assumir que $|x + 2| < 1$,
 obtendo $-1 < x + 2 < 1$, o que nos dá $-5 < x - 2 < -3 < 5$.  Daí
@@ -2132,11 +2172,11 @@ this with a technical argument.)
 Mostre que $|x|$ é contínua em toda a linha real.  Depois prove que se
 $f$ é contínua em um intervalo, então $|f|$ também é.  Por fim
 responda se a continuidade de $|f|$ num intervalo implica a
-continuidade de $f$.  Se não for, encontre um contra-exemplo.  
+continuidade de $f$.  Se não for, encontre um contra-exemplo. 
 
-Que $|x|$ é contínua em toda a linha é certamente verdadeiro: a quina
+\sol.  Que $|x|$ é contínua em toda a linha é certamente verdadeiro: a
-em $x=0$ não é qualquer problema porque ambos os lados de $x=0$ estão
+quina em $x=0$ não é qualquer problema porque ambos os lados de $x=0$
-o quão próximo desejarmos de zero.
+estão o quão próximo desejarmos de zero.
 
 O converso do teorema é falso.  Por exemplo, seja $f$ uma função com
 valor $-1$ para $x < 0$ e valor $1$ para $x \geq 0$, que é discontínua
@@ -6220,7 +6260,11 @@ Agora note que a nossa série de interesse pode ser comparada a essa da
 direita, garantindo que ela converge também.  É óbvio que $i^2 - 1 <
 i^2$.  Agora precisamos perceber que $(i - 1)^2 < i^2 - 1$.  Note que
 $i=1$ nem nos interessa.  Quando $i=2$, obtemos $1 < 3$.  Quando $i =
-3$, obtemos $4 < 8$.  É óbvio que a desigualdade é verdadeira.
+3$, obtemos $4 < 8$.  Fica óbvio, assim, que a desigualdade é
+verdadeira, mas (pra um argumento menos {\em hand-waving}) note que o
+lado esquerdo subtrai antes de computar o quadrado e o direito só
+subtrai depois---a única preocupação que poderia haver seria com os
+menores números $i$, o que evidentemente não é um problema aqui.
 
 Agora, é possível manipular a série de interesse e obter o limite
 dela.  Note que $i^2 - 1 = (i + 1)(i - 1)$, que é o denominador da
@@ -6247,6 +6291,34 @@ Então uma estratégia interessante é procurar substituir uma série por
 uma expressão equivalente que seja telescópica.
 \end{exercise}
 
+\begin{remark*}
+Anos depois retorno aqui pra documentar outras anotações e aproveito
+pra mostrar uma outra situação telescópica. Estou interessado em saber
+se $1 + 1/2 + 1/3 + \cdots + 1/10^4 > 10$. O fato é que não é, mas um
+argumento não é nada fácil de se obter. Durante investigações,
+descobri que
+%
+  $$1 + \fr{1}{2} + \cdots + \fr{1}{10^4} < 1 + 9.21 < 1 + \int_1^{10^4} \fr{1}{x} \dx,$$
+%
+o que não é suficiente pra concluir.  Aprofundando-me, descobri que 
+%
+  $$\fr{1}{n} < \int_{n - 1}^n \fr{1}{x} \dx = \ln n - \ln (n - 1).$$
+%
+À primeira vista, essa desigualdade parece interessante como
+ferramenta pro problema original porque podemos substituir cada termo
+da soma de interesse por algo que é maior que o termo substituído.
+Isso nos dá uma soma maior do que a de interesse.  Mas---poxa!---, o
+resultado é
+%
+  $$< 1 + \fr{1}{2} + \fr{1}{3} + \fr{1}{4} + \cdots + \fr{1}{10^4} < 1 + 9.21 < 1 + \ln{10^4} = 1 + \cancel{\ln 2} - \ln 1 + \ln 3 - \cancel{\ln 2} + \ln 4 - \cancel{\ln 3} + \cdots + \ln 10^4 - \cancel{\ln (10^4 - 1)}$$
+%
+e, assim, novamente, obtemos o limite superior de 10.21, que é muito
+pro que precisamos---precisamos de uma estimativa mais justa, mais
+apertada.
+\end{remark*}
+
+
+
 \subsection{Método de Newton e raízes quadradas}
 
 Use o método de Newton.  Por exemplo, se você quer uma sequência que
@@ -6274,42 +6346,30 @@ Newton nos dá a sequência
 e daí obtemos $a_0 = 3$, $a_1 \approx 2.7041$, $a_2 \approx 2.7182$,
 obtendo uma precisão de pelo menos quatro casas decimais.
 
-\section{Lecionando Cálculo}
+\subsection{Uma estimativa por via de integrais}
 
-Aqui vão anotações de um curso de Cálculo 1 projetado por outrem.
+Séries podem ser estimadas por integrais, já que integrais são
-Começamos o curso investigando as propriedades algébricas da equação
+séries. Considere o problema de estimar se a soma 
-da reta.  A reta é um elemento fundamental do Cálculo. Uma curva
+%
-$f(x)$, por exemplo, pode e deve ser vista como uma união de pequenos
+  $$1 + \fr{1}{2} + \fr{1}{3} + \cdots + \fr{1}{10^4}$$
-trechos de retas---as tangentes à curva $f(x)$---porque isso torna a
+%
-curva inteira analisável, que é um dos objetivos centrais do Cálculo
+é maior que 13.  Desenhe o gráfico de $1/x$ e considere a soma
-de Leibniz e Newton.
+inferior de Riemann de 1 até $10^4$ usando-se $\D x = 1$.  Obtemos
+%
+  $$\fr{1}{2} + \fr{1}{3} + \cdots + \fr{1}{10^4} < \int_1^{10^4} \fr{1}{x} \dx < 9.21$$
+%
+e aí basta somar 1 a ambos os lados pra obter a conclusão de que 
+%
+  $$1 + \fr{1}{2} + \cdots + \fr{1}{10^4} < 10.21 < 13.$$
+%
+Entretanto, um problema mais difícil é provar que essa soma é menor
+que 10, que é bom o que nos preocupamos agora.
 
-\subsection{A reta}
+Comecemos por ter certeza da soma em si.  A soma é bem conhecida, que
-
+é a série harmônica até o $10^4$-ésimo termo. É tipicamente chamada de
-O curso começa aparentemente fazendo uma distinção entre relações
+$H_{10^4} = 1 + 1/2 + 1/3 + \cdots + 1/10^4 \approx 9.78$.  E como
-proporcionais e relações afins.  Isso me parece uma perda de tempo
+fazer pra concluirmos que ela é menor que 10?  Considere a integral da
-porque é o tipo de distinção que só mesmo aos matemáticos parece
+função inversa de $n - 1$ a $n$ e veja o que você consegue descobrir.
-interessar.  Não me entenda mal---acho legal que os estudantes
-obtenham alguma matemática, mas {\em alguma} significa que escolhe-se
-sabiamente que elementos dela se apresenta primeiro.
-
-A diferença entre uma função proporcional e uma função afim é que a
-proporcional sempre cruza a origem e a afim nem sempre. É uma
-distinção provavelmente mais importante em Álgebra Linear ou em
-Geometria Analítica, mas não creio que seja importante em Cálculo. Na
-verdade, não creio que o curso esteja realmente interessado
-nisso---então vamos em frente.
-
-Quais coeficientes determinam o crescimento de uma variável em relação
-a outra nas retas? É o coeficiente líder porque a constante $b$ da
-reta $y = mx + b$ é nada mais que uma translação da reta no plano.
-Pra mostrar isso à audiência, primeiro precisamos saber calcular o
-crescimento, o que nos exige uma definição de crescimento.  O
-crescimento pode ser medido com relação a uma variável---existe o
-crescimento em $x$ e o crescimento em $y$---o que chamamos de
-``delta''.
-
-Quanto cresce $y$ com respeito a $x$?
 
 \newpage \tableofcontents 
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