From ee69ed86fce4838685a4a85e15c096eefb4f1118 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Charlie Root <root@atlantida.space>
Date: Tue, 10 Mar 2026 18:33:47 -0300
Subject: [PATCH] More estimates on the harmonic series.

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 calculus.tex | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index 21f6c93..45bdcda 100644
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+++ b/calculus.tex
@@ -6390,7 +6390,7 @@ Newton nos dá a sequência
 e daí obtemos $a_0 = 3$, $a_1 \approx 2.7041$, $a_2 \approx 2.7182$,
 obtendo uma precisão de pelo menos quatro casas decimais.
 
-\subsection{Uma estimativa por via de integrais}
+\subsection{Uma estimativa da série harmônica por via de integrais}
 
 Séries podem ser estimadas por integrais, já que integrais são
 séries. Considere o problema de estimar se a soma 
@@ -6415,6 +6415,55 @@ $H_{10^4} = 1 + 1/2 + 1/3 + \cdots + 1/10^4 \approx 9.78$.  E como
 fazer pra concluirmos que ela é menor que 10?  Considere a integral da
 função inversa de $n - 1$ a $n$ e veja o que você consegue descobrir.
 
+Não se consegue a dedução, mas encontra-se resultados que podem ser
+lucrativos em outros mercados. Por exemplo, 
+%
+  \fr{1}{n} < \int_{n - 1}^n \fr{1}{x} \dx = \ln n - \ln (n - 1)
+%
+porque a soma de Riemann abaixo da curva $1/x$ no intervalo $(n-1, n)$
+usando-se $\D{x} = 1$ é $1/n$. Essa soma de Riemann é um limite
+inferior para a integral porque estamos pegando o intervalo que está à
+esquerda de $n$, portanto a curva em si repousa sobre o retângulo
+relativo ao intervalo de interesse. Como a integral é exatamente $\ln
+n - \ln (n - 1)$, sabemos então que 
+%
+  $$1/n < \ln n - \ln (n - 1),$$
+%
+de onde deduzimos fatos como $1/10^4 < \ln 10000 - \ln 9999$.
+
+Dessa mesma construção também extraímos a desigualdade
+%
+  $$\fr{1}{2} + \fr{1}{3} + ... + \fr{1}{10000} < \ln 10000 - \ln 1$$
+%
+e de uma forma geral obtemos
+%
+  $$1 + \fr{1}{2} + \fr{1}{3} + ... + \fr{1}{n} < 1 + \ln n.$$
+%
+Então aí está um belo limite superior para a série harmônica, mas
+obtemos $\ln 10000 < 9.21$ e portanto $H_{10^4} < 10.21$, o que não
+nos permite deduzir que esse número é na verdade menor que 10. É a
+vida---valeu a tentativa porque coletamos um truque novo.
+
+A divergência da série harmônica pode ser provada através da série
+%
+  $$1 + \fr{1}{2} + \left(\fr{1}{4} + \fr{1}{4}\right) + \left(\fr{1}{8} + \fr{1}{8} + \fr{1}{8} + \fr{1}{8}\right) + ...$$
+%
+porque essa série claramente diverge e é claramente menor que a série
+harmônica. Enquanto a série harmônica costuma ser representada pela
+letra $H$, vamos chamar a série acima de $2^H$ porque ela tem relações
+com potências de 2.
+
+Observe primeiro que cada agrupamento pelos parênteses é igual a
+1/2. Agora pergunte-se quantos 1/2 aparecem quando temos $2^n$
+termos. Por exemplo, acima escrevemos 8 termos da série, o que nos deu
+$1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2.5$. Você pode se interessar por saber contar
+$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... 2^n$, o que dá $2^{n + 1} - 1$, o que pode ser
+provado por indução.  Acima, nós fomos até $2^3$ no denominador,
+portanto temos $2^4$ termos, que são $2^7$ metades e a unidade com a
+qual a série se inicia. Isso então significa...
+
+
+
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