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index 09aeea2..c6d5a16 100644
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index 098208d..6c15891 100644
--- a/calculus.tex
+++ b/calculus.tex
@@ -5069,7 +5069,7 @@ acima, obtemos $\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x + x - \int \sin^2 x
 negativo da mesma integral no lado direito. Adicione a integral
 desejada a ambos os lados e divida tudo por 2 pra obter
 %
-  $$\int \sin^2 x = \frac{1}{2} \left(-\sin x \cos x + x\right),$$
+  $$\int \sin^2 x = \frac{1}{2} \left(-\sin x \cos x + x\right) = \frac{1}{2} \left(x - \sin x \cos x\right),$$
 %
 que é a integral de $\sin^2 x$, como desejado. Pra ter confiança,
 compute a derivada, notando que $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.  A mesma
@@ -5118,12 +5118,24 @@ Similarmente, obtemos
 Parece que as integrais de potências de seno e cosseno se dividem em
 dois grupos. Se temos um produto de uma potência ímpar do seno com uma
 potência par do cosseno, então separar um fator $\sin x \dx$ pra
-substituir seu $\du$ elimina a dificuldade. Já se você tem potências
+substituir seu $du$ elimina a dificuldade. Já se você tem potências
 pares de ambos seno e cosseno---e note que não ter seno ou cosseno
 significa que você tem $\sin^0 x$ ou $\cos^0 x$, ou seja, uma potência
 par---, então você precisa de uma das identidades trigonométricas que
 são chamadas de {\em half-angle identities}.
 
+%% Note que o du acima não usa o comando \du porque, nesse parágrafo
+%% especificamente, o espaçamento que desejamos nas integrais não é o
+%% que desejamos no parágrafo. Algum LaTeX hacker precisa criar um
+%% operador \d ou algo assim pra resolver isso de uma forma mais
+%% geral. É a vida em LaTeX. Lembre-se: o documento é um programa.  E
+%% escrever programas é mesmo difícil.
+
+A partir da fórmula da soma de dois ângulos é possível obter a fórmula
+do ângulo dobrado de onde se extrai também a fórmula do ângulo-metade.
+Vamos derivá-las amanhã pra gente ter mais uma identidade
+trigonométrica na manga.
+
 Ocorre (por razões que desconheço) que
 %
 \begin{align*}