A small joke.

calculus.tex

@@ -6958,6 +6958,206 @@ gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
 derivadas de um polinômio são um polinômio, incluindo suas somas e
 constantes múltiplos.
 
+\section{Physics}
+
+Tudo em física tem direção e unidade.  É um bom hábito computar
+aritmética sempre com as unidades---requer paciência de escrever e
+cancelá-las---e prestando atenção à direção em que as coisas se movem.
+
+Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
+intimidade com computar números.  Quando estiver incerto sobre a
+solução de um problema, use a calculadora pra rapidamente saber se
+realmente o raciocínio está certo. Depois disso, dê uma olhada e veja
+o que tem de difícil nas contas e procure facilitá-los.  Por exemplo,
+descarte todas a super-precisão desnecessária, faça arredondamentos e
+use os teoremas que facilitam contas---o que é uma arte admirável.
+Viver sem calculadora é excelente desenvolvimento, mas usemo-na sempre
+que útil---quando em pressa, por exemplo.
+
+\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
+converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
+fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
+%
+  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
+%
+Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
+multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
+%
+  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
+%
+como desejado.  
+
+Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
+horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
+os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
+constante ``s'' que representa a unidade em si.
+
+Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
+
+\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.  Eis o primeiro
+problema do IF.  Existe algum jeito mais simples de computar as
+respostas aqui?  Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
+aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
+Torricelli na manga.
+
+\begin{exercise*}
+Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
+cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
+depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
+distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
+Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
+freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
+da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
+-7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
+que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
+que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
+responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
+for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
+o mais sensato a fazer aqui.  (Mas note que nesse problema
+especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
+dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
+internacional quando reportamos os valores finais.)
+
+Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
+%
+  $$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
+%
+mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.  
+
+Ah, espere um momento!  Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
+velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração.  O carro então
+depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
+metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
+depois incorretamente de novo e por último corretamente).  Podemos
+agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
+a zero?  Não tenho uma fórmula pra velocidade.  Ah, compute a derivada
+de $x(t)$ pra obter
+%
+  $$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
+%
+Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
+queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
+%
+  $$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
+%
+cuja solução dá
+%
+  $$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
+%
+Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo.  A
+computação de 36/7.2 foi feita por calculadora.  No papel, faríamos
+$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer.  A conta que não é
+fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
+nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
+como facilitá-la.
+
+Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar.  Portanto, pra
+obter a distância adicional percorrida, queremos
+%
+  $$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
+%
+ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
+5 segundos.  Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
+primeiro---vida normal.
+\end{exercise*}
+
+\begin{remark*}
+Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
+valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
+consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
+descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
+compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
+em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve.  Parece boa
+a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
+observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
+fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
+importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
+\end{remark*}
+
+\ghostsection{A equação de Torricelli}.  A equação de Torricelli
+relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
+tempo. Ela é 
+%
+  $$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
+%
+Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
+abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.
+
+\begin{exercise*}
+Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
+pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
+no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
+nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
+50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
+t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
+v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
+$y(t)$, obtendo
+%
+\begin{align*}
+y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
+\end{align*}
+%
+Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática 
+%
+\begin{align*}
+    50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   980 &= v_0^2\\
+ 31.30 &= v_0,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
+leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
+31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
+como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
+contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
+algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
+quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
+aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
+muito perplexante.
+
+O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
+gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
+$v_0 = 31.3049$.  Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
+erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz.  Não
+deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
+dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
+resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
+tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
+$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
+\end{exercise*}
+
+\begin{remark*}
+O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
+novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
+resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
+colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
+0$.  Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
+%
+\begin{align*}
+  -50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
+      &= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
+   50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
+  100 &= (9.8) t^2\\
+    t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
+    t &= 3.1943,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
+colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
+ficando no lado negativo do eixo $y$.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
+acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
+obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
+precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros. Sim, rolou
+um momento de perplexidade.
+\end{remark*}
 
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