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calculus.tex

@@ -188,7 +188,7 @@ O habilidoso uso de ferramentas é condição {\em sine qua non} pra
 análise matemática.  Começamos por ferramentas que certamente usaremos
 na empreitada.
 
-\subsection{O sistema Hindu-Arábico de numerais}
+\subsection{O sistema hindu-arábico de numerais}
 
 \newcommand{\al}{al-Khow\={a}rism\={\i}}
 
@@ -390,12 +390,12 @@ que é 1 ---, teríamos marcado um {\tt x} só nos algarismos {\tt
   123456}, indicando que ainda consideraremos os algarismos {\tt
   789123456789} ao longo da computação do algoritmo.
 
-Por que se chama divisão longa?  Pra ser distinguida com divisão
+Por que se chama divisão longa?  Pra ser distinguida da divisão curta.
-curta.  Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do
+Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do quociente pelo
-quociente pelo divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida,
+divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida, efetuamos a
-efetuamos a subtração.  Na divisão curta, omitimos a subtração tal que
+subtração.  Na divisão curta, omitimos a subtração tal que escrevemos
-escrevemos abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração,
+abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração, tornando a
-tornando a verificação do trabalho mais difícil.  Também exibida pela
+verificação do trabalho mais difícil.  Também exibida pela
 Figura~\ref{fg-alkw-long-div} (na página \pageref{fg-alkw-long-div}),
 desenhamos uma seta indicando o produto do algarismo corrente do
 quociente (corrente durante a execução do algoritmo) que deu origem ao
@@ -450,8 +450,8 @@ página~\pageref{fg-alkw-long-div}).
             --------
                42042 --> resto
 \end{verbatim}
-  \caption{A multiplicação entre 123456789 por 987654321 segundo \al.
+  \caption{A divisão de 123456789123456789 por 123123 segundo \al.  O
-    O quociente é 1002711021689 e o resto, 42042.  Se tivéssemos
+    quociente é 1002711021689 e o resto, 42042.  Se tivéssemos
     interromido o algoritmo em qualquer momento, teríamos no papel
     tudo que precisamos pra continuá-lo.  Por falta de espaço,
     exibimos a tabuada de 123123 na
@@ -504,7 +504,7 @@ Estudemos agora a divisão entre 322 e 37.  A tabuada
 revela imediatamente que o primeiro algarismo do quociente é 8.  O
 resto de $26 < 37$ revela que terminamos.  Desejando a parte
 fracionada da expansão decimal da divisão, continuamos.  O zero que
-justamos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
+justapomos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
 10.  Por causa disso, precisaremos corrigir o quociente por via de uma
 divisão por 10 --- o que é feito imediatamente com a adição do ponto
 decimal.  Encontramos o algarismo 7 e como resto obtemos $1 <
@@ -517,7 +517,7 @@ coisa, mas no contexto em que estamos significa uma quantidade menor
 que 1.  O termo ``periódica'' é evidenciado pelo fato de que temos um
 ciclo, o que representamos pelos colchetes --- ou seja, $322 \div 37 =
 8.702[702] = 8.[702]$.  A justificativa para esse sistema de
-computação em papel é 
+computação em papel é
 %
 \begin{align*}
 \frac{322}{37} &= 8 + \frac{26}{37}\\
@@ -530,7 +530,11 @@ computação em papel é
   &= 8 + 0.7 + 0.002 + 0.702 \cdot\frac{1}{1000}\\
   &= 8 + 0.702 + 0.000702 + \cdots
 \end{align*}
-%
+
+Cabe aqui agora uma explicação do porquê essas equações justificam o
+algoritmo da divisão---em outras palavras, estamos sem uma explicação
+por que o algoritmo funciona.
+
 \begin{figure}[!htb]
   \centering
 \begin{verbatim}
@@ -699,7 +703,7 @@ transcendentais cujos algarismos jamais poderiam ser obtidos por um
 programa de computador.  A relevância do fato é que programa de
 computador é apenas uma realização da expressibilidade dos nossos
 sistemas de cálculo.  Logo, a limitação se aplica a nós --- porque os
-computadores são apenas uma realização do nossos sistemas de
+computadores são apenas uma realização dos nossos sistemas de
 raciocínio.  Temos números ``demais'' na linha real no sentido de que
 não temos (e não teremos) uma linguagem expressiva o suficiente pra
 alcançá-los, o que nos leva a questionar nossa concepção intelectual
@@ -936,7 +940,7 @@ esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$.  O lado desse
 quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade
 %
 \begin{align*}
-  (x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
+  \left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
 \end{align*}
 %
 Assim, podemos resolver a equação por computar
@@ -968,7 +972,7 @@ conjugados $(t + 3)(t - 3)$.
 %% sendo $a, b$ números racionais --- digamos.  Essa função é
 %% tipicamente chamada de conjugação.  Ela pode ser vista como uma
 %% generalização da conjugação complexa restrita a inteiros
-%% gaussianos, que não números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
+%% gaussianos, que são números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
 %% b$ inteiros.  A generalização, portanto, é relaxar os inteiros
 %% gaussianos e permitir racionais.  Se definirmos $f$ assim, obtemos
 %% uma contradição quando $n$ é um quadrado perfeito.  Por exemplo,
@@ -1018,6 +1022,12 @@ $a, b$ estão em $\{3, 9\}$, mas é preciso saber se tentamos $(5x +
 3)(x + 9)$ ou $(5x + 9)(x + 3)$.  Devemos considerar a segunda opção
 primeiro já que $9\times 5 = 45$, muito grande pra $24$.
 
+Dito tudo isso, o fato é que estamos sempre resolvendo um sistema
+não-linear em que $ab$ é um inteiro e $Lb + a$ é outro.  A
+investigação acima é meramente uma tentativa de nos clarificar como
+pensar no problema---como procurar por soluções sem recorrer à equação
+quadrática.
+
 \subsubsection{Fatoração de soma e diferença de cubos}
 
 Outros produtos notáveis são a {\em  Soma de cubos} e a {\em diferença
@@ -1839,7 +1849,7 @@ Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
 de equações lineares, mas não sei o que ele fez.  Fica aí como um
 exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
 
-\section{Definitions, limits and continuity}
+\section{Limits and continuity}
 
 \masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
 distance from 0 to $x$ on the real line. Distances are always positive,
@@ -6676,8 +6686,8 @@ observações sobre o tema.
 Uma equação diferencial é chamada de {\em ordinária} se a função que
 soluciona a equação depende de apenas uma única váriavel independente,
 ou seja, a função desejada é $y(x)$. Se ela depender de mais de uma
-variável, então trata-se de uma equação diferencial parcial, quando a
+variável, então trata-se de uma equação diferencial {\em parcial},
-solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
+quando a solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
 
 Uma equação é chamada de {\em separável de primeira ordem} quando ela
 pode ser escrita como
@@ -6828,7 +6838,7 @@ diferencial linear de primeira ordem.
 \begin{definition}[linear]
 Uma equação diferencial é linear de $n$-ésima ordem se ela é da forma
 %
-  $$f_n(x) y^(n) + f_{n-1}(x)y^(n - 1) + \cdots + f_2(x)y'' + f_(1) y' + f_o(x)y = Q(x).$$
+  $$f_n(x) y^{(n)} + f_{n-1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + f_2(x)y'' + f_1(x) y' + f_0(x)y = Q(x).$$
 %
 \end{definition}
 
@@ -6839,25 +6849,30 @@ resolver a linear de primeira ordem, que é da forma
 %
 \begin{remark*}
 Note que uma equação como $q(x)y' + P(x)y = Q(x)$ ainda é linear de
-primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra $y' + 1/q(x)
+primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra 
-P(x)y = 1/q(x) Q(x)$.
+%
+  $$y' + \fr{1}{q(x)} P(x)y = \fr{1}{q(x)} Q(x).$$
+%
 \end{remark*}
-
+%
 É nesse tipo de equação que usamos o chamado ``método do fator
-integrante'', que exibiremos agora. O método nos instruir a procurar
+integrante'', que exibiremos agora.  O método nos instrui a procurar
 por $f(x)$ que quando multiplicada em ambos os lados da equação
 produza a regra do produto $f(x)y' + f'(x)y = (f(x)y)'$. Ocorre que
 uma tal função de $x$ pode ser sempre $\exp(\int P(x) \dx)$. ``Por
-quê?'' é a pergunta interesse aqui.  Antes de exibirmos o porquê,
+quê?'' é a pergunta de interesse aqui.  Antes de exibirmos o porquê,
 vejamos o método em ação.
 
 \begin{exercise*}
-Resolva a equação $y' + \fr{1}{x}y = x^2$. \sol. Primeiro computamos
+Resolva a equação 
-$\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) = x$. Observe que queremos uma
+%
-função $f(x)$ qualquer, então podemos sempre tomar $c = 0$ na
+  $$y' + \fr{1}{x}y = x^2.$$ 
-integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em ambos lados da equação,
+%
-obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o lado esquerdo é
+\sol. Primeiro computamos $\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) =
-exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
+x$. Observe que queremos uma função $f(x)$ qualquer, então podemos
+sempre tomar $c = 0$ na integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em
+ambos lados da equação, obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o
+lado esquerdo é exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
 %
 \begin{align*}
   xy' + x x^{-1}y &= x^3\\
@@ -6874,52 +6889,35 @@ O método ilustra o fato de que a gente sempre recorre às regras de
 derivação pra conseguir uma integração. 
 
 Uma das perguntas importantes aqui é por que o fator integrante é
-$\int P(x) \dx$.  A resposta é na verdade simples. Estamos em busca de
+$\int P(x) \dx$.  A resposta é na verdade simples.  Estamos em busca
-uma função $I(x)$ tal que 
+de uma função $M(x)$ tal que
 %
   $$(M(x)y)' = M(x)y' + M(x)P(x)y.$$
 %
-Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y$.  Agora iguale o
+Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y'$.  Agora iguale o
 lado esquerdo desejado com o lado direito pra obter a equação
 %
-  $$M'(x)y + M(x)y = M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
+  $$M'(x)y + M(x)y' = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
 %
 O que nos diz essa equação? Diz-nos que a função que estamos
-procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$. Essa é uma nova equação
+procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$.  Que função é essa?  Qual é a
-diferencial que na verdade já conhecemos---ela é uma separável de
+função que quando derivada depende dela própria?  É a função
-primeira ordem.  Encontramos uma solução pra ela lendo-a em
+exponencial de base $e$.  Mas e o fator $P(x)$?  O fator $P(x)$ só
-palavras---que função $M(x)$ conhecemos que quando derivada resulta
+aparece na derivada da exponencial quando ele é a derivada do
-nela própria vezes alguma coisa?  Essa função $M(x)$ tem que ser
+expoente.  E $P(x)$ é a derivada de $\int P(x) \dx$.  Logo,
-certamente uma exponencial porque só as exponenciais têm a propriedade
-de que a velocidade de seu crescimento depende de si própria.  Esse é
-um fato importante aqui. Agora, pra solucionar a charada por completo,
-declare $u'(t) = P(x)$ (pra alguma transformação que leve $t$ a $x$)
-de forma que $u(t) = \int P(x) \dx$ e reescreva o problema como
 %
-  $$M'(x) = M(x) u'(t).$$
+  $$M(x) = \exp\left(\int P(x) \dx\right).$$
-%
-Já sabemos que $M(x)$ é uma exponencial e a regra da cadeia implica
-que a variável independente $x$ de $M(x)$ tem que ser $x = u(t)$.
-Assim, obtemos
-%
-  $$M'(x) = (M(u(t)))' = M'(u(t))u'(t)$$
-%
-que implica 
-%
-  $$M(x) = \int M'(x) \dx = \exp\left(\int P(x) \dx\right) P(x) = \exp\left(P(x) \dx\right),$$
-%
-como desejado.
 
-\begin{remark*}
+Agora sabemos que se multiplicarmos ambos os lados de uma equação
-Essa dedução ficou prolixa. Existe a resposta curta e de pouca emoção
+diferencial linear de primeira ordem por $\exp\left(\int P(x)
-que é o fato de que 
+\dx\right)$, obteremos no lado esquerdo da equação a derivada do
+produto de $\exp\left(\int P(x) \dx\right)$ por $y$, ou seja,
+obteremos a derivada de
 %
-  $$\exp\left(\int P(x) \dx\right)' = \exp(\Int P(x) \dx) P(x) + c.$$
+  $$y \exp\left(\int P(x) \dx\right),$$
 %
-Mas todos nós sabemos que é bom exercício induzir a resposta a partir
+restando apenas integrarmos o lado direito da equação com respeito a
-de um problema anterior em vez de magicamente aparecer com a resposta
+$x$.
-e mostrar que ela o soluciona.
-\end{remark*}
 
 \subsection{As lineares de segunda ordem}
 
@@ -6935,11 +6933,17 @@ em que $f_2(x)$, $f_1(x)$, $f_0(x)$ são constantes, ou seja, só
 sabemos resolver as equações
 %
   $$ay'' + by' + cy = g(x).$$
-%
+
-É possível resolver essa equação pra qualquer $g(x)$ diferenciável,
+As mais fáceis de resolver são aquelas em que $g(x) = 0$ e essas são
-mas no momento só sabemos tratar o problema quando $g(x)$ toma as
+chamadas de {\em homogêneas}.  As outras em que $g(x) \neq 0$ são
-formas de um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica ou
+chamadas de {\em não-homogêneas}.
-uma combinação dessas.
+
+\ghostsection{As homogêneas}. \lipsum[1]
+
+É possível resolver as não-homogêneas pra qualquer $g(x)$
+diferenciável, mas no momento só sabemos tratar o problema quando
+$g(x)$ toma as formas de um polinômio, uma exponencial, uma função
+trigonométrica ou uma combinação dessas.
 
 Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação 
 %
@@ -6947,16 +6951,13 @@ Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação
 %
 Um fato curioso sobre essa equação é que a solução geral dela é obtida
 a partir de uma solução particular.  E como uma solução particular é
-obtida?  Observe o que diz essa equação. Ela diz que $y(x)$ é uma
+obtida?  Observe o que diz essa equação.  Ela diz que $y(x)$ é uma
 função tal que sua segunda derivada mais duas vezes sua primeira
 derivada mais três vezes ela própria é um polinômio quadrático.  A
 gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
-derivadas de um polinômio é um polinômio, incluindo suas somas e
+derivadas de um polinômio são um polinômio, incluindo suas somas e
 constantes múltiplos.
 
-Hm. Na verdade comecei pelas não-homogêneas. Vamos retroceder e
-considerar as homogêneas primeiro, discutindo especialmente a palavra
-``homogênea''.
 
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 \newpage \printbibliography