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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\mathchardef\ordinarycolon\mathcode`\:
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\mathcode`\:=\string"8000
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\begingroup \catcode`\:=\active
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\gdef:{\mathrel{\mathop\ordinarycolon}}
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\endgroup
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\usepackage[text={6.5in,9in},centering]{geometry}
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%% --8<---------------cut here---------------start------------->8---
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%% Fontes e línguas
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[brazil]{babel}
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\usepackage{fix-cm}
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%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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%% --8<---------------cut here---------------start------------->8---
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%% Bibliografia et cetera.
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\usepackage[backend=bibtex]{biblatex}
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\addbibresource{refs.bib}
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%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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%% --8<---------------cut here---------------start------------->8---
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%% Cores e links.
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\usepackage[hyperref]{xcolor}
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\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.4}
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\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=darkblue,citecolor=darkblue,urlcolor=darkblue]{hyperref}
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%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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%% --8<---------------cut here---------------start------------->8---
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%% Otimizações visuais
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{booktabs}
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\usepackage{float}
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%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\usepackage{icomma}
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\allowdisplaybreaks
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{definition}{Definição}[section]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{Corolário}
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\newtheorem{exercise}{Exercício}[section]
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\newtheorem{remark}{Comentário}[section]
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\newtheorem{axiom}{Axioma}[section]
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\newtheorem*{theorem*}{Teorema}
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\newtheorem*{definition*}{Definição}
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\newtheorem*{lemma*}{Lema}
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\newtheorem*{proposition*}{Proposição}
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\newtheorem*{corollary*}{Corolário}
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\newtheorem*{exercise*}{Exercício}
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\newtheorem*{remark*}{Comentário}
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\newtheorem*{notation*}{Notação}
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\newtheorem*{axiom*}{Axioma}
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%% \newtheoremstyle{pf} % name
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%% {10pt} % space above
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%% {3pt} % space below
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%% {} % body font
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%% {} % indent amount (empty = 0,
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%% % \parindent = para)
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%% {\itshape} % head font
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%% {.} % punctuation after head
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%% {.5em} % space after head
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%% % \newline = linebreak
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%% {} % head spec (empty means `normal')
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%%
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%% \theoremstyle{pf}
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\newtheorem*{pf}{Proof}
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% references
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\newcommand{\refth}[1]{Theorem \ref{#1}}
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\newcommand{\refex}[1]{Exercise \ref{#1}}
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\newcommand{\refco}[1]{Corollary \ref{#1}}
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% sets
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\newcommand{\reals}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\ints}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\rats}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\nats}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\complex}{\mathbb{C}}
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% jumps
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\newcommand{\jmp}{\vspace{3pt}}
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% tags
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\newcommand{\masciidef}[1]{\begin{definition*}[#1]}
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\newcommand{\defend}{\end{definition*}}
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\newcommand{\masciith}[1]{\begin{theorem*}[#1]}
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\newcommand{\theend}{\end{theorem*}}
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\newcommand{\masciiproof}{\begin{pf}}
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\newcommand{\profend}{\qed\end{pf}}
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\newcommand{\masciiexe}[1]{\begin{exercise*}[#1]}
|
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\newcommand{\exeend}{\end{exercise*}}
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\newcommand{\masciicor}[1]{\begin{corollary*}[#1]}
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\newcommand{\corend}{\end{corollary*}}
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\newcommand{\masciirem}[1]{\begin{remark*}[#1]}
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\newcommand{\remend}{\end{remark*}}
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\newcommand{\masciilemma}[1]{\begin{lemma*}[#1]}
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\newcommand{\lemend}{\end{lemma*}}
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\newcommand{\masciiprop}[1]{\begin{proposition*}[#1]}
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\newcommand{\propend}{\end{proposition*}}
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% shortcuts
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\newcommand{\pit}{{\em Prova. }}
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\newcommand{\sol}{{\em Solução}}
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\newcommand{\nor}{\trianglelefteqslant}
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\newcommand{\nnor}{\ntrianglelefteqslant}
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\newcommand{\subf}{\subseteq}
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\newcommand{\nsubf}{\subsetneq}
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\newcommand{\psubf}{\subset}
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\newcommand{\ext}{\subseteq}
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\newcommand{\cyc}[1]{\langle #1 \rangle}
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\newcommand{\iso}{\cong}
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\newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}}
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\newcommand{\otto}{\longleftrightarrow}
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\newcommand{\hasnor}{\vartriangleright}
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\newcommand{\br}{\biggr}
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\newcommand{\fr}{\dfrac}
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\DeclareMathOperator{\floor}{floor}
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\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
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\DeclareMathOperator{\cm}{cm}
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\undef\sin
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\DeclareMathOperator{\sin}{sen}
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\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
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\DeclareMathOperator{\imp}{\implies}
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\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
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\newcommand{\dx}{\ dx}
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\newcommand{\ds}{\ ds}
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\DeclareMathOperator{\csch}{csch}
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\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}
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\newcommand{\fdiff}{\fr{dy}{dx}}
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\newcommand{\sdiff}{\fr{d^2 y}{dx^2}}
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% lattice tools
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\newcommand{\edge}[1]{\ar@{-}[#1]}
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\newcommand{\node}{*+[o][F-]{ }}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{caption}
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\usepackage{lipsum}
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% title and dudes
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\author{Charlie Root \& wife}
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\title{Notes on Calculus}
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\date{Jan 10, 2006}
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\begin{document} \fontfamily{cmr}\selectfont \maketitle
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%% \setlength{\parskip}{7pt}
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%% \setlength{\parindent}{0pt}
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\section{Introdução}
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O habilidoso uso de ferramentas é condição {\em sine qua non} pra
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análise matemática. Começamos por ferramentas que certamente usaremos
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na empreitada.
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\subsection{O sistema Hindu-Arábico de numerais}
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\newcommand{\al}{al-Khow\={a}rism\={\i}}
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Os numerais que usamos são um fantástico sistema de raciocínio ---
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|
provavelmente a maior contribuição matemática de todos os tempos. O
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|
sistema foi disseminado por Ab\={u}'Abd All\={a} Muhammad ibn
|
|
M\={u}s\={a} al-Khow\={a}rism\={\i}'', nome que literalmente significa
|
|
pai de Abdullah, Mohammed, filho de Moisés, nativo de Khow\={a}rizm.
|
|
Os termos ``algarismo'' e ``algoritmo'' vêm do nome dele, \al. Por
|
|
volta do ano 825, al-Khow\={a}rism\={\i} escreveu o livro {\em Kitab
|
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al jabr wa'l-muq\={a}bala}, que essencialmente significa ``regras
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para recuperar e equacionar''~\cite[capítulo~1, seção~1.1,
|
|
página~1]{knuthv1}. O livro explica como usar os numerais. Mais
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|
tarde foi traduzido e apareceu em latim sob o título ``Liber
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Algorismi'', que significa ``o livro de
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al-Khow\={a}rism\={\i}''~\cite[página~21]{eti}. Khow\={a}rism\={\i}
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hoje é a cidade de Khiva no Uzbequistão. O termo {\em al} é o
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equivalente ao artigo ``o'' da língua portuguesa. Então o nome
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``al-Khow\={a}rism\={\i}'' significa, efetivamente, ``o (livro)
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daquele que vem de Khiva''.
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A essência do sistema é usar os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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na expressão de um número natural. Por exemplo, o número quatro mil
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trezentos e vinte um pode ser expresso pela soma $4000 + 300 + 20 +
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1$, o que podemos (também) abreviar por $4321$. Observemos então que
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os naturais têm um nome completo e um nome abreviado. O nome completo
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de quatro mil trezentos e vinte um é
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%
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\[1\cdot10^0 + 2\cdot10^1 + 3\cdot 10^2 + 4\cdot 10^3 = 4321.\]
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|
%
|
|
Quando usamos o nome completo, não precisamos nos preocupar com
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qualquer ambiguidade de leitura --- não precisamos informar ao leitor
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que o algarismo menos significativo encontra-se na direita. Já quando
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usamos o nome abreviado, precisamos informar o fato --- em ``4321'', o
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algarismo 4 representa o número quatro mil. O nome abreviado exige do
|
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leitor que conte a quantidade de algarismos usados pelo número para
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compreender seu algarismo mais à esquerda --- o mais significativo.
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Já o nome completo pode ser escrito de várias formas. Por exemplo,
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quatro mil trezentos e vinte um também pode ser escrito tanto por
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%
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\[4\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 2\cdot10^1 + 1\cdot10^0\]
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|
%
|
|
quanto por
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|
%
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\[2\cdot10^1 + 1\cdot10^0 + 4\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2,\]
|
|
%
|
|
dentre outras expressões.
|
|
|
|
Agora fica evidente a suprema importância do algarismo zero. Ele
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|
serve pra demarcar uma potência de dez, isto é, uma ``casa decimal''.
|
|
Se o número que desejamos escrever não é composto de qualquer centena,
|
|
mas é composto de alguns milhares, então escrevemos ``0'' quando
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|
desejamos informar a quantidade de centenas e, assim, o algarismo que
|
|
escrevermos à esquerda do zero expressa a quantidade de milhares.
|
|
|
|
Com essas ideias, \al\ nos ensina a raciocinar sobre números enormes
|
|
por via de considerar apenas cada uma de suas partes, ou seja, cada um
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|
de seus algarismos. Podemos raciocionar sobre trilhões como se
|
|
algumas unidades fossem. A aritmética de \al, portanto, é
|
|
provavelmente a mais enfática ilustração científica de modularização e
|
|
análise. (``Enfática'' porque as aplicações são absolutamente
|
|
pervasivas.) Por exemplo, pra somar dois números, fazemos a soma em
|
|
cada algarismo correspondente, ou seja, unidade com unidade, dezena
|
|
com dezena, centena com centena e assim sucessivamente, como ilustra a
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-sum} (na página~\pageref{fg-alkw-sum}).
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\begin{figure}[H]
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\centering
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|
\begin{verbatim}
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|
1234
|
|
+ 4321
|
|
----
|
|
5555
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{Como computar uma soma segundo \al. Com quatro algarismos,
|
|
operamos quatro somas, algarismo a algarismo.}
|
|
\label{fg-alkw-sum}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Subtração é um caso levemente mais complicado. Subtrair significa
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|
computar a distância entre dois números. Se desejamos 49 menos 17,
|
|
temos um caso fácil porque o algarismo 7 é menor que o algarismo 9 e o
|
|
algarismo 1 é menor que o algarismo 4. Assim obtemos a distância 2
|
|
entre 7 e 9 bem como a distância 3 entre 1 e 4, logo $49 - 17 = 32$.
|
|
O caso mais complicado é quando o subtraendo não é menor que o
|
|
minuendo, que é o que ocorre em $37 - 19$, ilustrado pela
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-diff}.
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\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
|
|
37 20 + 17
|
|
- 19 equivalente a - 10 - 9
|
|
--- -- --
|
|
18 10 + 8
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{Subtração segundo \al. Se o algarismo do subtraendo é maior
|
|
que o algarismo do minuendo, use o sistema de \al\ e transfira um
|
|
potência de dez para simplificar o trabalho. Basta a
|
|
transferência de uma única potência de dez. A subtração desenhada
|
|
à esquerda desta figura é equivalente às duas subtrações e soma
|
|
desenhadas na direita. O número 37 é substituído por 20 + 17,
|
|
sendo que subtraímos 9 de 17 e depois 10 de 20. Por fim, somamos
|
|
as subtrações, obtendo $10 + 8 = 18$.}
|
|
\label{fg-alkw-diff}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Como é frequente no trabalho matemático, a subtração é reescrita de
|
|
forma que o trabalho seja facilitado no sentido de que cada tarefa
|
|
preliminar seja mais simples que o problema original, embora sob a
|
|
pena de que o problema original será resolvido com um maior número de
|
|
passos.
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|
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|
Vejamos agora a multiplicação segundo \al. Para multiplicar 322 por
|
|
27, usaremos a distribuição da multiplicação sobre uma soma. Em
|
|
outras palavras, como $322\times27 = 322 \times 20 + 322 \times 7$,
|
|
computaremos cada problema em separado e somaremos o resultado, como
|
|
ilustra a Figura~\ref{fg-alkw-prod}. Os algarismos {\tt 644}
|
|
representam o número $6440 = 322 \times 20$, mas tipicamente omiti-se
|
|
o zero já que $322 \times 20 = 322\times 2 \times 10$ e multiplicação
|
|
por dez é trivial.
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\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
|
|
322
|
|
x 27
|
|
---
|
|
2254
|
|
+ 644
|
|
------
|
|
8694
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{Como computar um produto segundo \al. Dado que 322 vezes 27
|
|
é o mesmo que 322 vezes 7 mais 322 vezes 2 vezes 10, podemos
|
|
modularizar a computação de um produto por via de uma série de
|
|
somas.}
|
|
\label{fg-alkw-prod}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Como exercício, considere computar a multiplicação entre 123456789 e
|
|
987654321. É um trabalho perfeitamente executável com a ajuda de \al,
|
|
apesar de trabalhoso. A Figura~\ref{fg-alkw-long-prod} ilustra o que
|
|
acontece. Os fatores têm nove algarismos cada um, o que nos gera uma
|
|
soma envolvendo nove termos, cada um deles com nove algarismos ---
|
|
sugerindo um crescimento quadrático do volume de trabalho da
|
|
multiplicação convencional, isto é, da multiplicação de \al.
|
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
|
|
(*) A multiplicação de 123456789 por 987654321
|
|
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|
123456789
|
|
x 987654321
|
|
---------
|
|
123456789
|
|
246913578
|
|
370370367
|
|
+ 493827156
|
|
617283945
|
|
740740734
|
|
864197523
|
|
1987654312
|
|
1111111101
|
|
001221433341222100 transferências
|
|
-----------------
|
|
121932631112635269
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{A multiplicação entre 123456789 por 987654321 segundo \al.
|
|
Dedicamos esta conta a Leonardo Pisano. Obrigado, Fibonacci!}
|
|
\label{fg-alkw-long-prod}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Pra tornar tolerável o trabalho ilustrado pela
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-long-prod}, é preciso auxiliar a memória humana.
|
|
Usamos uma linha de transferências onde anotamos as transferências
|
|
entre casas decimais. Por exemplo, na segunda casa decimal temos a
|
|
soma de 8 + 8 = 16; anotamos o algarismo 6 em seu lugar no produto
|
|
final e escrevemos o algarismo 1 na linha das transferências,
|
|
indicando assim que a soma da casa decimal anterior resultou-se em 16.
|
|
Em outras palavras, toda a informação necessária pra se continuar o
|
|
trabalho está no papel. Sendo assim, podemos trabalhar com números de
|
|
quaisquer tamanhos porque podemos interromper a operação depois de um
|
|
dia de trabalho e continuar no dia seguinte depois de um merecido
|
|
descanso.
|
|
|
|
A divisão entre inteiros segundo \al\ é reduzida a um problema de
|
|
multiplicação e subtração. A Figura~\ref{fg-alkw-long-div} (na página
|
|
\pageref{fg-alkw-long-div}) ilustra o algoritmo chamado divisão longa.
|
|
Similar à estratégia exibida pela multiplicação longa da
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-long-prod}, queremos uma estratégia que exponha no
|
|
papel toda a informação necessária para a execução da operação em
|
|
múltiplas etapas, já que os números não são minúsculos. Os símbolos
|
|
{\tt x} que marcamos no topo do dividendo representam os algarismos do
|
|
dividendo que já operamos na divisão. Por exemplo, se estivéssemos no
|
|
momento que em calculamos apenas o primeiro algarismo do quociente ---
|
|
que é 1 ---, teríamos marcado um {\tt x} só nos algarismos {\tt
|
|
123456}, indicando que ainda consideraremos os algarismos {\tt
|
|
789123456789} ao longo da computação do algoritmo.
|
|
|
|
Por que se chama divisão longa? Pra ser constrastada com divisão
|
|
curta. Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do
|
|
quociente pelo divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida,
|
|
efetuamos a subtração. Na divisão curta, omitimos a subtração tal que
|
|
escrevemos abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração,
|
|
tornando a verificação do trabalho mais difícil. Também exibida pela
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-long-div} (na página \pageref{fg-alkw-long-div}),
|
|
desenhamos uma seta indicando o produto do algarismo corrente do
|
|
quociente (corrente durante a execução do algoritmo) que deu origem ao
|
|
minuendo. Assim, o quociente escrito abaixo do divisor poderia ser
|
|
omitido da Figura~\ref{fg-alkw-long-div}.
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
|
|
(*) A divisão de 123456789123456789 por 123123
|
|
|
|
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
|
|
123456789123456789 / 123123
|
|
-123123 --> 1 1002711021689
|
|
------
|
|
3337
|
|
-0 --> 0
|
|
----
|
|
33378
|
|
-0 --> 0
|
|
-----
|
|
333789
|
|
-246246 --> 2
|
|
-------
|
|
875431
|
|
-861861 --> 7
|
|
-------
|
|
135702
|
|
-123123 --> 1
|
|
-------
|
|
125793
|
|
-123123 --> 1
|
|
-------
|
|
26704
|
|
-0 --> 0
|
|
-----
|
|
267045
|
|
-246246 --> 2
|
|
-------
|
|
207996
|
|
-123123 --> 1
|
|
-------
|
|
848737
|
|
-738738 --> 6
|
|
-------
|
|
1099998
|
|
-984984 --> 8
|
|
--------
|
|
1150149
|
|
-1108107 --> 9
|
|
--------
|
|
42042 --> resto
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{A multiplicação entre 123456789 por 987654321 segundo \al.
|
|
O quociente é 1002711021689 e o resto, 42042. Se tivéssemos
|
|
interromido o algoritmo em qualquer momento, teríamos no papel
|
|
tudo que precisamos pra continuá-lo. Por falta de espaço,
|
|
exibimos a tabuada de 123123 na
|
|
Figura~\ref{fg-alkw-tabuada-123123}, que deve ser pré-computada
|
|
pra que evitemos a busca na escolha de algarismos do quociente.}
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\label{fg-alkw-long-div}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!htb]
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\centering
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\begin{verbatim}
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(*) A tabela de multiplicação por 123123
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| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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|--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+---------|
|
|
| 123123 | 246246 | 369369 | 492492 | 615615 | 738738 | 861861 | 984984 | 1108107 |
|
|
\end{verbatim}
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\caption{Uma base de dados útil à divisão por 123123. Sem ela,
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precisaríamos buscar cada algarismo do quociente a cada etapa,
|
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correndo o risco de fazer escolhas incorretas, acarretando em mais
|
|
perda de tempo e momento.}
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\label{fg-alkw-tabuada-123123}
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|
\end{figure}
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|
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|
\begin{figure}[!htb]
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|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
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|
(*) A verificação do quociente de 123456789123456789 / 123123
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1002711021689
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x 123123
|
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-------------
|
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3008133065067
|
|
2005422043378
|
|
+ 1002711021689
|
|
3008133065067
|
|
2005422043378
|
|
1002711021689
|
|
000110111222321100 transferências
|
|
------------------
|
|
123456789123414747
|
|
+ 42042 resto
|
|
------------------
|
|
123456789123456789
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{A verificação da divisão de 123456789123456789 por 123123.}
|
|
\end{figure}
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|
Estudemos agora a divisão entre 322 e 37. A tabuada
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(Figura~\ref{fg-alkw-322-37} na página \pageref{fg-alkw-322-37})
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|
revela imediatamente que o primeiro algarismo do quociente é 8. O
|
|
resto de $26 < 37$ revela que terminamos. Desejando a parte
|
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fracionada da expansão decimal da divisão, continuamos. O zero que
|
|
justamos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
|
|
10. Por causa disso, precisaremos corrigir o quociente por via de uma
|
|
divisão por 10 --- o que é feito imediatamente com a adição do ponto
|
|
decimal. Encontramos o algarismo 7 e como resto obtemos $1 <
|
|
37$. Justapomos então um zero ao algarismo 1, obtendo o dividendo $10
|
|
< 37$, revelando o algarismo zero da parte fracionada. Adicionamos
|
|
então novo zero, produzindo o algarismo 2 na parte fracionada.
|
|
Computando-se o resto, obtemos 26 novamente, revelando a dízima
|
|
periódica. O termo ``dízima'' significa a décima parte de alguma
|
|
coisa, mas no contexto em que estamos significa uma quantidade menor
|
|
que 1. O termo ``periódica'' é evidenciado pelo fato de que temos um
|
|
ciclo, o que representamos pelos colchetes --- ou seja, $322 \div 37 =
|
|
8.702[702] = 8.[702]$. A justificativa para esse sistema de
|
|
computação em papel é
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%
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\begin{align*}
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\frac{322}{37} &= 8 + \frac{26}{37}\\
|
|
&= 8 + \frac{260}{37} \cdot\frac{1}{10}\\
|
|
&= 8 + \left(7 + \frac{1}{37}\right) \cdot\frac{1}{10}\\
|
|
&= 8 + 7\cdot\frac{1}{10} + \frac{1}{37} \cdot\frac{1}{10}\\
|
|
&= 8 + 7\cdot\frac{1}{10} + \left(\frac{100}{37} \cdot\frac{1}{100}\right) \cdot\frac{1}{10}\\
|
|
&= 8 + 0.7 + (2 \cdot \frac{1}{100} + \frac{26}{37} \cdot\frac{1}{100}) \cdot\frac{1}{10}\\
|
|
&= 8 + 0.7 + 0.002 + \frac{26}{37} \cdot\frac{1}{1000}\\
|
|
&= 8 + 0.7 + 0.002 + 0.702 \cdot\frac{1}{1000}\\
|
|
&= 8 + 0.702 + 0.000702 + \cdots
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
\begin{figure}[!htb]
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|
\centering
|
|
\begin{verbatim}
|
|
(*) A divisão de 322 por 37
|
|
|
|
322 / 37
|
|
-296 --> 8.[702]
|
|
----
|
|
260 --> ponto decimal
|
|
-259 --> 7
|
|
----
|
|
10 --> 0
|
|
-0
|
|
--
|
|
100 --> 2
|
|
-74
|
|
---
|
|
260 --> dízima periódica
|
|
|
|
(*) A tabuada de 37
|
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|
|
|----+----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----|
|
|
| 37 | 74 | 111 | 148 | 185 | 222 | 259 | 296 | 333 |
|
|
\end{verbatim}
|
|
\caption{A divisão de 322 por 37.}\label{fg-alkw-322-37}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsection{A aritmética dos números racionais}
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|
Uma fração é uma espécie de número inteiro com uma unidade de medida
|
|
diferente da unidade universal. A ``unidade universal'' a que nos
|
|
referimos é o número 1. Por exemplo, o numeral 2 representa duas
|
|
unidades universais. Suponha que desejamos trabalhar com uma unidade
|
|
diferente --- por exemplo, seja nossa unidade a metade da unidade
|
|
universal. Então duas da nossa nova unidade faz uma unidade
|
|
universal. Se tenho 7 unidades da nossa nova unidade e quero somá-la
|
|
com mais 7 unidades da nossa nova unidade, então tenho 7 unidades da
|
|
unidade universal. Em outras palavras, existe uma clara conversão
|
|
possível entre unidades desde que todas sejam definidas em função da
|
|
unidade universal.
|
|
|
|
O fato
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%
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$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ab}{cd}$$
|
|
%
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decorre de definição matemática~\cite[capítulo~1, seção~3,
|
|
página~5]{mccoy}. O que fazemos a seguir é motivar essa definição,
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|
mostrando que ela pode ser vista como natural --- pra alguma definição
|
|
de ``natural''.
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|
|
|
Definamos, por exemplo, que $1/4$ represente o inverso multiplicativo
|
|
do natural $4$, ou seja, $\inv(4) = 1/4$ é o número $x$ que soluciona
|
|
a equação $4x = x + x + x + x = 1$, o que é o mesmo que dizer que se
|
|
agruparmos quatro partes dessa parte chamada $1/4$, obtemos a unidade
|
|
universal inteira. Decorre imediatamente daí que o inverso
|
|
multiplicativo de $1/4$ é $\inv(1/4) = 4$. Assim temos
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%
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|
$$ 4 \times \inv(4) = \inv(4) \times 4 = 1,$$
|
|
%
|
|
assumindo que multiplicação é comutativa.
|
|
|
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\begin{notation*}
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Adotamos a convenção de não precisar escrever o símbolo da
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|
multiplicação, que é o símbolo $\times$, sempre que estiver claro que
|
|
a justaposição de símbolos expressa o produto entre dois ou mais
|
|
termos.
|
|
\end{notation*}
|
|
|
|
Assim, podemos deduzir
|
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%
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\begin{align*}
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4 \inv(4) &= 1\\
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|
(4 \inv(4)) (4 \inv(4)) &= 1\\
|
|
16 (\inv(4))^2 &= 1,
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
e logo $\inv^2(4)$ é o inverso multiplicativo de 16, que é o mesmo que
|
|
dizer $(1/4)^2 = (1/4)(1/4) = 1/16$, já que $1/4$ é só uma segunda
|
|
notação para $\inv(4)$.
|
|
|
|
Estendemos a definição pra que $5/4$, por exemplo, seja uma forma de
|
|
escrever cinco vezes o inverso multiplicativo de quatro, o que é o
|
|
mesmo que tomar cinco unidades universais e dividi-las em quatro
|
|
partes iguais. Fica determinado assim o significado de se tomar um
|
|
número natural $m$ e multiplicá-lo pelo inverso multiplicativo de um
|
|
número natural $n$. Em símbolos, a definição determina o significado
|
|
de
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|
%
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|
$$m \inv(n) = m \times \frac{1}{n}.$$
|
|
%
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|
|
|
Agora perguntamos --- quanto é $5/4 \times 7/3$?
|
|
|
|
Por definição, $5/4$ é a soma de cinco peças de tamanho $1/4$, ou
|
|
seja, $5 \times (1/4)$. Similarmente, $7/3 = 7 \times (1/3)$. Usemos
|
|
uma barra de sabão como ilustração da unidade universal. Repartindo a
|
|
barra em três partes iguais, qualquer uma delas é representada pelo
|
|
numeral $1/3$. Se partirmos cada um desses $1/3$ em quatro partes
|
|
iguais, teremos um total de $4 + 4 + 4 = 12$ partes novas, menores que
|
|
as anteriores --- o tamanho exato delas é $1/12$ porque com 12 delas
|
|
obtemos a barra de sabão inteira. Observamos que $1/3$, expresso por
|
|
essas partes novas menores, exige quatro delas, ou seja, $1/3 = 1/12 +
|
|
1/12 + 1/12 + 1/12$. Similarmente, repartimos as partes de tamanho
|
|
$1/4$ em três partes, obtendo uma novo pedaço da barra de sabão que
|
|
vem a ser também de tamanho $1/12$. Logo, $(1/4) = 1/12 + 1/12 +
|
|
1/12$. Assim, computamos
|
|
%
|
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\begin{align*}
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|
\frac{5}{4} \times \frac{7}{3} &= 5 \times \frac{1}{4} \times 7 \times \frac{1}{3}\\
|
|
&= 5\times7\times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\\
|
|
&= 35 \times 3 \times \frac{1}{12}\times 4\times\frac{1}{12}\\
|
|
&= 35 \times 3 \times 4 \times \frac{1}{12}\times \frac{1}{12}\\
|
|
&= 420 \times \frac{1}{12}\times \frac{1}{12}\\
|
|
&= 420 \times \inv(12) \times \inv(12)\\
|
|
&= 420 \times \inv^2(12) = 420 \times \inv(12^2) = 420 \times \inv(144)\\
|
|
&= 420 \times \frac{1}{144}\\
|
|
&= \frac{420}{144}\\
|
|
&= \frac{35}{12},
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
como desejado.
|
|
|
|
Com a multiplicação definida, a divisão de frações é reduzida à
|
|
multiplicação. Em símbolos, definimos que
|
|
%
|
|
$$\frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b}\frac{d}{c},$$
|
|
%
|
|
o que é natural, visto que $\inv(c/d) = d/c$.
|
|
|
|
Agora perguntamos --- quanto é $3/4 + 7/6$? Com unidades diferentes,
|
|
não podemos somar. Mas $3/4 = 18/24$ e $7/6 = 28/24$, logo $3/4 + 7/6
|
|
= 46/24$. Subtração é similar. Isso mostra que a aritmética de
|
|
frações não é diferente da aritmética de inteiros. Quando colocamos
|
|
as frações em unidades equivalentes, podemos operará-las como se
|
|
inteiros fossem.
|
|
|
|
\subsection{A aritmética dos números irracionais}
|
|
|
|
Os números irracionais são de difícil aritmética. A matemática nunca
|
|
conseguiu oferecer uma linguagem expressiva o suficiente pra manipular
|
|
os números irracionais respeitando a tradição matemática em que
|
|
computações são executadas por via da escrita em função de uma
|
|
linguagem composta por um conjunto finito de símbolos. O número
|
|
$\sqrt{2}$, por exemplo, é um caso feliz no sentido de que usamos os
|
|
símbolos $\sqrt{\cdot}$ e $2$ como forma de expressá-lo. Em outras
|
|
palavras, apesar dos símbolos 0--9 não serem suficientes para escrever
|
|
$\sqrt{2}$ de forma finita, como a tradição matemática efetivamente
|
|
normatiza, conseguimos um resultado satisfatório ao introduzir ``novos
|
|
verbos'' em nossa linguagem --- como ``$\sqrt{\cdot}$''. É, aliás,
|
|
por isso que os matemáticos definem que $\sqrt{2}$ é um número
|
|
algébrico: pode ser expresso por uma linguagem algébrica. Outros
|
|
irracionais como $e$ ou $\pi$ são chamados de transcendentais porque
|
|
transcendem qualquer linguagem algébrica, ou seja, cada um deles
|
|
precisaria de um novo símbolo. É notório, entretanto, que os
|
|
trancendentais são vastamente mais abundantes na linha real (pra
|
|
alguma definição de ``abundantes'') que os algébricos. (Matemáticos
|
|
costumam dizer ``quase todos os números da linha real são
|
|
transcendentais'', sendo ``quase todos'' um termo definido na Teoria
|
|
da Medida.) Portanto, não ter uma linguagem com a qual escrever esses
|
|
números significa que a vasta maior parte dos números escapa a nosso
|
|
poder de expressão, ou seja, nossos sistemas operam um conjunto ínfimo
|
|
de números. Em 1936--1937, por exemplo, Alan Turing surpreende o
|
|
mundo com a descoberta dos números não-computáveis, números
|
|
transcendentais cujos algarismos jamais poderiam ser obtidos por um
|
|
programa de computador. A relevância do fato é que programa de
|
|
computador é apenas uma realização da expressibilidade dos nossos
|
|
sistemas de cálculo. Logo, a limitação se aplica a nós --- porque os
|
|
computadores são apenas uma realização do nossos sistemas de
|
|
raciocínio. Temos números ``demais'' na linha real no sentido de que
|
|
não temos (e não teremos) uma linguagem expressiva o suficiente pra
|
|
alcançá-los, o que nos leva a questionar nossa concepção intelectual
|
|
de ``número'' --- problema difícil.
|
|
|
|
\subsection{O teorema fundamental da aritmética}
|
|
|
|
Decorre do lema de Euclides. Essa é maior evidência de que Euclides
|
|
já conhecia o teorema fundamental. Ele provavelmente não o escreveu
|
|
como Gauss o fez em 1801 porque ele não tinha linguagem suficiente pra
|
|
isso, mas devia ter uma clara noção de que a teoria dos números
|
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estaria implicada em seu lema.
|
|
|
|
\begin{axiom*}[da boa ordem]
|
|
Todo subconjunto não-vazio dos números naturais possui um elemento mínimo.
|
|
\end{axiom*}
|
|
|
|
\begin{lemma*}[de Euclides]
|
|
Se $p$ é um primo que divide $ab$, então $p$ divide $a$ ou $p$ divide $b$.
|
|
\end{lemma*}
|
|
|
|
\begin{theorem*}[fundamental da aritmética]
|
|
Qualquer número natural é expresso unicamente por um produto de
|
|
números primos exceto pela ordem desses fatores.
|
|
\end{theorem*}
|
|
|
|
\begin{proof}
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|
Primeiro provamos a expressão por primos. Só depois nos preocupamos em
|
|
mostrar que é unica. Seja $E$ o conjunto de todos os naturais que não
|
|
podem ser expressos por um produto de primos. ($E$ é o conjunto dos
|
|
naturais \underline{e}stranhos.) Pelo axioma da boa ordem, existe um
|
|
natural mínimo $m$ em $E$. Esse $m$ não é primo: se fosse, não
|
|
estaria em $E$. Mas se $m$ é composto, então $m = m_1 m_2$ e $1 < m_1
|
|
< m$ e $1 < m_2 < m$, implicando que nem $m_1$ nem $m_2$ estão em
|
|
$E$. Se não estão em $E$, então eles podem ser expressos por um
|
|
produto de primos, implicando que $m$ também pode. Logo, $m \in E$ é
|
|
uma contradição.
|
|
|
|
A parte difícil do teorema é provar que são únicos. É difícil porque
|
|
a escrita dela é difícil, mas não é difícil compreender o que acontece
|
|
nela.
|
|
|
|
Queremos mostrar que a fatoração é única no sentido especificado pelo
|
|
teorema. Assuma que existam naturais que possuam pelo menos duas
|
|
fatorações primas distintas. Seja $E$ (de ``\underline{e}stranhos'') o conjunto
|
|
composto por esses naturais. Então $E$ possui um menor elemento,
|
|
chame-o de $m$. Pela definição de $E$, o número $m$ pode ser escrito como
|
|
%
|
|
$$p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r} = m = q_1^{d_1} \cdots q_s^{d_s},$$
|
|
%
|
|
sendo $p_i, q_i$ primos tal que tenhamos acima duas formas distintas
|
|
de escrever $m$.
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Observe que podemos escrever a equação acima sem potências --- por
|
|
exemplo, se $e_1 = 3$, podemos escrever $p_1 p_1 p_1$ em vez de
|
|
$p_1^3$, mas aí o segundo $p_1$ deve ser escrito com índice $2$, já que é
|
|
o segundo a aparecer e, logo, $p_1^3$ é escrito como $p_1 p_2 p_3$,
|
|
sendo certo neste exemplo que $p_1 = p_2 = p_3$. Assim obtemos
|
|
%
|
|
$$p_1 p_2 \cdots p_r = m = q_1 q_2 \cdots q_s$$
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Comentário. Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto
|
|
é, nada se afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas
|
|
fatorações.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
Agora observe que $p_1$ é um primo que divide $m$. Portanto, $p_1$ tem
|
|
que dividir o lado direito da equação também, implicando que $p_1$ divide
|
|
tanto $m$ quanto a fatoração prima do lado direito --- ou seja, acabamos
|
|
de satisfazer as condições do Lema de Euclides.
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Veja por quê. Escreva o Lema de Euclides na sua forma típica. Se $p$
|
|
divide $ab$ e $p$ não divide $a$, então $p$ divide $b$. Seja $m$ o
|
|
produto $ab$. (Basta pegar qualquer uma das fatorações de $m$ e
|
|
escrevê-la como apenas dois fatores $a$, $b$ de forma que o fator $a$
|
|
não contenha o primo $p$.) Então $p$ não divide $a$, mas vai ter que
|
|
dividir $b$ e $b$ é composto de primos $q_i$. Portanto, $p$ tem que
|
|
dividir algum primo $q_i$, que é a dedução que fazemos em seguida.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
Logo, Euclides garante que $p_1$ divide algum $q_i$, implicando que $p_1
|
|
= q_i$ pra algum $i$ satisfazendo $1 \leq i \leq s$.
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Podemos tranquilamente assumir que $i = 1$. Basta pegar o
|
|
primo $q_i$ e escrevê-lo primeiro na fatoração-$q$ de $m$.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
Logo, $p_1$ aparece em ambas fatorações primas de $m$, o que nos permite
|
|
cancelá-lo em ambas, obtendo
|
|
%
|
|
$$\frac{m}{p_1} = p_2 ... p_r = q_2 ... q_s$$
|
|
%
|
|
implicando, assim, que $m/p_1$ tem duas fatorações primas distintas e,
|
|
logo, $m/p_1$ pertence ao conjunto $E$. Mas $m/p_1$ é certamente
|
|
menor que $m$, violando o fato de que $m$ é o menor elemento de $E$.
|
|
Então $E$ não possui um menor elemento e, portanto, tem que estar
|
|
vazio. Logo, a fatoração de $m$ é única, como desejado.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\subsection{A versão {\em inversa} do teorema de Pitágoras}
|
|
|
|
O teorema de Pitágoras afirma que se um triângulo tem um ângulo de
|
|
noventa graus, então seus lados satisfazem $c^2 = a^2 + b^2$, sendo
|
|
$c$ a hipotenusa. O {\em converso} do teorema de Pitágoras afirma que
|
|
se os lados de um triângulo qualquer satisfizerem $c^2 = a^2 + b^2$,
|
|
então o triângulo possui um ângulo de noventa graus. Infelizmente, o
|
|
converso do teorema também é chamado no Brasil e em Portugal de ``o
|
|
recíproco do Teorema de Pitágoras''. O problema é que existe um
|
|
terceiro teorema chamado ``{\em the reciprocal Pythagorean theorem}''
|
|
que relaciona a altura $h$ de um triângulo retângulo relativo ao
|
|
ângulo reto, afirmando que
|
|
%
|
|
$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.$$
|
|
|
|
A tradução (para português) do livro ``Calculus'' de James Stewart,
|
|
feita pela Cengage Learning em 2009, que é uma tradução da sexta
|
|
edição norte-americana, traduz ``{\em converse of the Pythagorean}''
|
|
para ``a recíproca do teorema de Pitágoras''~\cite[problema~12,
|
|
apêndice~B, página~A14]{calculo}, o que me fez inicialmente achar
|
|
que se tratava do ``{\em the reciprocal Pythagorean theorem}''.
|
|
Felizmente, o mundo anglofônico também chama o {\em reciprocal
|
|
Pythagorean theorem} de {\em inverse Pythagorean theorem}, o que
|
|
traduzo --- a partir de agora --- para o ``inverso do teorema de
|
|
Pitágoras'', evitando assim uma tremenda confusão.
|
|
|
|
O inverso do teorema de Pitágoras relaciona o inverso multiplicativo
|
|
do quadrado de cada cateto com a altura uma altura do triângulo. Pra
|
|
conhecê-lo, precisamos desenhar um triângulo para nomear seus lados e
|
|
escrever o teorema. Desenhe um triângulo com lados $a, b, c$ de forma
|
|
que $c$ seja a hipotenusa e $a, b$ os catetos. Trace a altura do
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triângulo relativa ao ângulo reto e chame-a de $d$, ou seja, trace um
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segmento de reta perpendicular à hipotenusa a partir do ângulo reto.
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Agora olhe para o triângulo de duas perspectivas diferentes: na
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perspectiva (1), tome o segmento $d$ como a altura do triângulo e,
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assim, sua área é $cd/2$, já que $c$ é a base; na perspectiva (2),
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tome $b$ como a altura do triângulo e, assim, sua área é $ab/2$. As
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duas perspectivas dizem a área de um mesmo triângulo, logo $cd/2 =
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ab/2$, que implica $cd = ab$.
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O teorema de Pitágoras afirma que $c^2 = a^2 + b^2$, o que implica
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$1/b^2 + 1/a^2 = c^2(a^2 b^2)$. Mas como inferimos acima que $ab =
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cd$, então $a^2b^2 = c^2 d^2$. Logo, $1/b^2 + 1/a^2 = c^2(c^2 d^2) =
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1/d^2$, que é a afirmação do teorema. Em palavras, a soma dos
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inversos (multiplicativos) do quadrado dos catetos é o inverso
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(multiplicativo) do quadrado da altura $d$.
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%% Uma aplicação da recíproca é provar que um ângulo é reto? O
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%% Teorema de Pitágoras já não faz isso? Faz. Não sei pra que serve
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%% esse teorema.
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Eis uma versão trigonométrica da obtenção da recíproca do teorema de
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Pitágoras. Seja $x$ o ângulo entre $a$ e $c$. Então $\sin x = d/a$ e
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$a = d/\sin x$. Como uma segunda perspectiva, $\sin x = b/c$ e $b = c
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\sin x$. Agora $$ab = \frac{d c\sin x }{\sin x} = cd,$$ como
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desejado.
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\begin{exercise*}
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Um triângulo retângulo tem catetos $y$ e $4$, hipotenusa $h$ e altura
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$a$ perpendicular à hipotenusa. Expresse a altura com respeito a $h$.
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\sol. O inverso do teorema de Pitágoras nos dá $1/a^2 = 1/y^2 +
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1/16$. O teorema de Pitágoras nos dá $h^2 = y^2 + 16$, logo $y =
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\sqrt{h^2 - 16}$. Assim,
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\begin{align*}
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\frac{1}{a^2} &= \frac{16 + y^2}{16y^2}\\
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a^2 &= \frac{16y^2}{16 + y^2}\\
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a &= \frac{4y}{\sqrt{16 + y^2}}\\
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&= \frac{4 \sqrt{h^2 - 16}}{\sqrt{h^2}},
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\end{align*}
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%
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como desejado.
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\end{exercise*}
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\begin{exercise*}
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Um triângulo retângulo tem uma altura de 12 cm relativa ao ângulo
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reto, ou seja, a altura de 12 cm é perpendicular à hipotenusa.
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Expresse o tamanho da hipotensua com respeito ao perímetro do
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triângulo.
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O perímetro $P = a = b + c$, sendo $c$ a hipotenusa. Então $c = P - a
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- b$. Queremos eliminar $a$ e $b$. A versão inversa do teorema de
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Pitágoras nos dá $1/12^2 = 1/a^2 + 1/b^2$. E agora?
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\end{exercise*}
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\subsection{Fatoração {\em et cetera}}
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Descrevemos aqui uma série de fatos que usaremos inúmeras vezes.
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\subsubsection{Fatoração de polinômios quadráticos por completar o quadrado}
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Uma técnica pra se fatorar um polinômio quadrático é completar o
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quadrado. Alguns polinômios são quadrados perfeitos. Por exemplo,
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$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Logo, são fatoráveis por ``produtos
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notáveis'', como são tipicamente chamados. Outros não são perfeitos
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como $$p(t) = t^2
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+ \frac{7}{2}t + \frac{3}{2},$$ mas podemos adicionar uma constante a
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eles que os torna produtos notáveis. A ideia é a seguinte. O termo
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$t^2$ é claramente um quadrado de lado $t$. Se você estender um
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retângulo pra cima e outro pra direita do quadrado $t$, você obterá
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dois retângulos em que um lado tem tamanho $t$. O outro lado precisa
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ser um número em que a área ocupada pelos retângulos resultem em
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$\sfrac{7}{2}t$. Esse número é a metade de $\sfrac{7}{2}$. Assim
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temos $t^2 + \sfrac{7}{4}t$, que ainda não é um quadrado perfeito
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porque está faltando a área de um quadrado de lado $\sfrac{49}{16}$,
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que é o quadrado da metade de $\sfrac{7}{2}$. Daí terminamos
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com $$t^2 + \frac{7}{2}t + \frac{49}{16} = \left(t +
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\frac{7}{4}\right)^2.$$ Como o polinômio original possui o termo
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$\sfrac{3}{2}$, precisamos adicioná-lo ao quadrado e também subtrair o
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termo \sfrac{49}{16} que adicionamos. Assim obtemos a igualdade
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%
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$$t^2 + \frac{7}{2}t + \frac{3}{2} = p(t) = \left(t + \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{3}{2} - \frac{49}{16},$$
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%
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como desejado.
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\subsubsection{Fatoração de polinômios quadráticos com coeficiente líder}
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Precisaremos calcular números como
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$$\lim \frac{t^2 - 9}{2t^2 + 7t + 3}.$$
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%
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Será preciso fatorar numerador e denominador aí. O numerador é uma
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{\em diferença entre dois quadrados} em que se tem o produto dos
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conjugados $(t + 3)(t - 3)$.
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%% \footnote{Não se deve chamar isso de um produto de conjugados. É
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%% uma terminologia problemática nesse caso. De uma forma geral, t^2 -
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%% n = (t - \sqrt{n})(t + \sqrt{n}) pra todo $n$ inteiro e daí podemos
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%% definir uma função $f$ tal que $f(a + b\sqrt{n}) := a -b\sqrt{n}$,
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%% sendo $a, b$ números racionais --- digamos. Essa função é
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%% tipicamente chamada de conjugação. Ela pode ser vista como uma
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%% generalização da conjugação complexa restrita a inteiros
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%% gaussianos, que não números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
|
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%% b$ inteiros. A generalização, portanto, é relaxar os inteiros
|
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%% gaussianos e permitir racionais. Se definirmos $f$ assim, obtemos
|
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%% uma contradição quando $n$ é um quadrado perfeito. Por exemplo,
|
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%% seja $n = 9$. Então $f(1 + 2\sqrt{9}) := 1 - 2\sqrt{9} = 1 - 6 =
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%% -5$. Agora compute $f(1 - 2\sqrt{9}) := 1 + 2\sqrt{9} = 1 + 6 =
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%% 7$.}
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O denominador é menos claro. Quando se tem uma constante no
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coeficiente líder, pode-se procurar por uma fatoração da forma $(2t +
|
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a)(t + b)$. Observe que o problema é o mesmo que fatorar um polinômio
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quadrático mônico, que é um polinômio de coeficiente líder igual a 1.
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Em mais detalhes, se
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%
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$$Lt^2 + 7t + 3 = (Lt + a)(t + b) = Lt^2 + (Lb + a)t + ab,$$
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%
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então, pra encontrarmos uma fatoração (se existir), a pista mais
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relevante é o termo $ab$. Se, por exemplo, $ab = 3$, deduzimos que só
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há duas possibilidades --- $a = 1, b = 3$ ou $a = 3, b = 1$ porque 3 é
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|
primo. É o caso acima. Queremos $ab = 3$ e $(2b + a) = 7$. Se
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|
tentarmos $b=1$, não conseguimos porque $2b + a$ vai dar 5. Se
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|
tentarmos $a=1$, conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$. Logo, $2t^2 +
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|
7t + 3 = (2t + 1)(t + 3)$. Em outras palavras, o coeficiente líder
|
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maior que 1 não chega a modificar o método de fatoração --- é só uma
|
|
pequena perturbação. O maior problema é quando o termo $ab$ oferece
|
|
muitas possibilidades. Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se
|
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complica um pouco mais porque $24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 =
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8\times3$, sendo que cada produto aí oferece duas possibilidades.
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Várias possibilidades a verificar --- oito nesse caso.
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\subsubsection{Fatoração de soma e diferença de cubos}
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Outros produtos notáveis são a {\em soma de cubos} e a {\em diferença
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de cubos}. Por exemplo,
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\begin{align*}
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a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\
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|
a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2)
|
|
\end{align*}
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%
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|
Se lembrarmos de um, provavelmente lembramos do outro por inverter os
|
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sinais nos lugares certos e fazendo a expansão pra confirmar o
|
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resultado. Se esquecermos de ambos, podemos recuperá-los efetuando a
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|
divisão longa de, por exemplo, $a^3 + b^3$ dividido por $a + b$:
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\begin{verbatim}
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a^3 + b^3 dividido por a + b
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a^3 + a^2b a^2 + b^2 - ab
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----------
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b^3 - a^2 b
|
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b^3 + a b^2 Logo, a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
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-------------
|
|
-a^2 b - a b^2
|
|
-a^2 b - a b^2
|
|
--------------
|
|
0
|
|
\end{verbatim}
|
|
%
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|
Se for útil, observe que quando queremos a soma, o termo linear é uma
|
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soma. Quando queremos a diferença, o termo linear é uma subtração.
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Se o termo linear é uma soma, o quadrático é uma subtração. Se o termo
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|
linear é uma subtração, o quadrático é uma soma. Os sinais têm que se
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inverter que é pra ocorrer uma cancelamento de termos não cúbicos: de
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outra forma, não teríamos a identidade.
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\subsubsection{Fatoração envolvendo cubos e quadrados}
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Às vezes encontramos mais de uma identidade na mesma expressão. Por
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exemplo, $x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$. É uma diferença de cubos,
|
|
mas também é uma diferença de quadrados, afinal
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%
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$$(x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3,$$
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%
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isto é, exponenciação é comutativa --- embora não associativa.
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Percebendo um caso desses, é preciso ver qual fatoração é mais
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interessante. Tente ambas.
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\subsubsection{O teorema das raízes racionais}
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Dado um polinômio de coeficientes inteiros, o teorema garante que
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qualquer raiz racional $p/q$ reduzida implica que $p$ é fator do termo
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constante e que $q$ é fator do coeficiente líder. É possível, então,
|
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--- fazendo uma busca por fatores --- saber se há raízes racionais.
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Por exemplo, suponha que desejamos pelo máximo local de $f(x) = -x^3 +
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7x^2 -11x + 5$. Se houver uma raiz racional $\pm p/q$ de $f(x)$,
|
|
então $p$ divide $5$ e $q$ divide 1, logo $p \in \{\pm 1, \pm 5\}$, $q
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= \pm 1$, o que nos dá candidatos $r \in \{\pm 1, \pm 5\}$ e assim
|
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descobrimos que são raízes $r = 1$ e $r = 5$. Então $(x - 1)$ fatora
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$f(x)$. Dividindo $f(x)$ por $(x - 1)$, obtemos
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%
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\begin{align*}
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-x^3 + 7x^2 -11x + 5 &= (x - 1)(-x^2 + 6x - 5)\\
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&= -(x - 1)(x^2 - 6x + 5)\\
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|
&= -(x - 1)(x - 1)(x - 5)\\
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|
&= -(x - 1)^2 (x - 5),
|
|
\end{align*}
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|
%
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|
o que significa que $x = 1$ é uma raiz de multiplicidade 2, o que
|
|
significa que $x = 1$ é um mínimo local, logo o máximo local está
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|
entre em (1, 5). Pra descobrir o máximo local exatamente, precisamos
|
|
das raízes de $f'(x) = -3x^2 + 14x - 11$. O fato de $x = 1$ ser um
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mínimo local revela que $x=1$ é raiz de $f'(x)$, o que nos permite
|
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fatorar $f'(x)$. Obtemos
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%
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$$-3x^2 + 14x - 11 = (x - 1)(-3x + 11),$$
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|
%
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implicando que o máximo local tem que estar em $x = 11/3$.
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\subsubsection{O método de Horner}
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\lipsum[1]
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\subsubsection{Manipulação algébrica por racionalização}
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Para calcular
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$$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h},$$
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%
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podemos multiplicar pelo conjugado do numerador, que é $\sqrt{4 + h} +
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2$. Obtemos
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%
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$$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}
|
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= \lim \frac{4 + h - 4}{h\sqrt{4+h}+2}
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= \lim \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}.$$
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%
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Compreenda a cultura matemática. Por que se chama ``racionalização''?
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Seria talvez por que a operação transforma a expressão numa função
|
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racional? (Qual a definição de função racional?) O termo
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``racionalização'' poderia se chamar ``derradicalização'' porque o
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objetivo é remover um {\em radical} e não transformar a expressão numa
|
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função racional. Entretanto, às vezes essa ``derradicalização''
|
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ocorre no numerador e às vezes, no denominador. Muitas vezes o
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|
executor da álgebra não explicita exatamente que racionalização ele
|
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deseja, assumindo que a audiência compreenderá.
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Trocamos um radical no numerador por um radical no denominador, o que
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parece lucro nenhum. Obtém-se o lucro ao perceber que, no exemplo
|
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acima, a racionalização é claramente desejada no numerador porque o
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objetivo ali é computar um limite, o que não é possível quando ambos
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numerador e denominador se aproximam de zero. Com a racionalização, o
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limite é trivialmente obtido --- $\sfrac{1}{4}$.
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\begin{remark*}
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Quando se racionaliza uma expressão, sempre se obtém uma diferença de
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quadrados. Memorizando o fato, não precisamos calculá-lo.
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\end{remark*}
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\subsection{Desigualdades}
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Precisamos de bastante intimidade com desigualdades. Por que não
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podemos multiplicar uma desigualdade por $-1$? Porque não produz
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verdades: por exemplo, $2 < 3$ não implica $-2 < -3$, mas certamente
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implica $-3 < -2$: a relação se inverte no lado negativo.
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Multiplicação por números positivos maiores que um pode ser feita. Já
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computar inversos multiplicativos inverte as desigualdades, mas só se
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o inverso for positivo. Por exemplo, $2 < 3$, mas multiplicar essa
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desigualdade por $-1/2$ produziria a falsidade $-1 > -3/2$.
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\subsubsection{A desigualdade triangular}
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Uma desigualdade famosa é a tringular~\cite[teorema~7, apêndice~A,
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página~A8]{calculo}. Se $x$ e $y$ são dois números positivos, então
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certamente $|x + y| = |x| + |y|$. Se ambos forem negativos, também
|
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teremos $|x + y| = |x| + |y|$. Agora, se os sinais deles se invertem,
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isso faz com com que $x + y$ seja um número menor que $|x| + |y|$.
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Assim,
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%
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$$|x + | \leq |x| + |y|,$$
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%
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como desejado.
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\subsubsection{O uso de desigualdades em limites}
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Provar limites requer habilidade com desigualdades. Por exemplo,
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provar que $\lim 4 - \sfrac{3x}{5} = 7$ à medida que $x\to -5$ requer
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mostrar que $|4 - \sfrac{3x}{5} - 7| < e$. Some $4 - 7$, fatore o
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|
$-3$, coloque-o em evidência fora do valor absoluto, divida a
|
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desigualdade por $3$. Abra o valor absoluto em duas desigualdades.
|
|
Multiplique ambas por 5 e obtenha $|x - (-5)| < \sfrac{5e}{3}$.
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Agora considere provar $\lim 1/x = 1$ com $x\to 1$. Teremos que nos
|
|
restringir ao redor de $x=1$, mas --- sem tomar cuidado ---
|
|
terminaremos indo ao lado negativo do domínio, o que faz a função
|
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descer sem limite, prejudicando nossas desigualdades. Por exemplo,
|
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restrinja $|x - 1| < 1$ e observe que a restrição implica $0 < x < 2$,
|
|
produzindo $1/2 < 1/x < \text{{\tt indefinido}}$. Em outras palavras,
|
|
a restrição $|x - 1| < 1$ é folgada demais e nos leva ao ponto $x = 0$
|
|
de discontinuidade da função. Basta nos restringirmos de forma mais
|
|
apertada --- um raio de 1/2 resolveria. Mas podemos sempre ser mais
|
|
conservador usando, por exemplo, um raio de 1/4. Obteríamos $-1/4 < x
|
|
- 1 < 1/4$ implicando $4/5 < 1/x < 4/3$, o que nos dá a restrição
|
|
$1/|x| < 4/3$. Daí $d = \min(4/3, 3e/4)$ servirá bem.
|
|
|
|
Estamos fora de contexto aqui: nem definimos o que é limite e já
|
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estamos falando das dificuldades com eles. A mensagem é ---
|
|
desenvolva-se com desigualdades porque elas são fundamentais na
|
|
análise matemática, especialmente se você se interessa por um estudo
|
|
além-Cálculo.
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No problema 36 da Seção 2.3~\cite[página~96]{stewart}, precisamos
|
|
provar que $\lim 1/x = 1/2$ com $x \to 2$. Uma estratégia pra este é
|
|
muito parecida com a do problema anterior. Restrinja $|x - 2| < 1/4$
|
|
e obtenha $1/|2x| < 2/7$. Daí $d = \min(2/7, 7e/2)$ servirá bem.
|
|
|
|
Aproveite o momento e observe a dica do problema
|
|
37~\cite[página~96]{stewart}. O problema é provar que $\sqrt{x} \to
|
|
\sqrt{a}$ com $x \to a$, assumindo $a > 0$. A dica é que $|\sqrt{x} -
|
|
\sqrt{a}| = |x - a|/(\sqrt{x} + \sqrt{a})$. O problema não elabora
|
|
porque elaborar consome parágrafos e parágrafos, mas a dica pode até
|
|
ser omitida porque ela é uma simples manipulação algébrica. Estamos
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interessados em mostrar $|\sqrt{x} - \sqrt{a}| < e$, mas precisamos de
|
|
uma conexão com $|x - a|$. Racionalize a expressão $\sqrt{x} -
|
|
\sqrt{a}$, obtendo $(x - a)/(\sqrt{x} + \sqrt{a})$. O numerador pode
|
|
ser negativo, mas sempre que ele for, também será a expressão
|
|
$\sqrt{x} - \sqrt{a}$. Essas duas expressões também são sempre
|
|
positivas sempre que uma delas for positiva. Então $|\sqrt{x} -
|
|
\sqrt{a}|$ é positiva se e somente se $|x - a|$ também for, o que nos
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dá a equação da dica.
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Eis uma prova elegante do fato. Seja $d = e\sqrt{a}$. Então
|
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%
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$$|\sqrt{x} - \sqrt{a}| = \left|\frac{x - a}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}\right|
|
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= \frac{|x-a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}
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\leq \frac{|x - a|}{\sqrt{a}}
|
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< \frac{d}{\sqrt{a}}
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< e.$$
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%
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Essa prova nos leva a conclusões importantes. A restrição não precisa
|
|
ser simétrica: observe que a prova acima toma $d$ {\em menor} que um
|
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fator de $e$. Devemos ler a prova da direita pra esquerda. É lá na
|
|
direita que está a assunção de que $|x - a| < d$. Daí manipulação
|
|
algébrica nos leva ao lado esquerdo, provando que $|\sqrt{x} -
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|
\sqrt{a}| < e$, como desejado.
|
|
|
|
Elaboremos a observação sobre simetria relativa a $d$. Suponha que
|
|
digamos que $d = 1$. Então assumimos que $|x - a| < 1$, o que implica
|
|
$-1 < x - a < 1$, mas isso não nos ajuda porque valores negativos não
|
|
pertencem ao domínio de $\sqrt{x}$. A definição de limite não nos
|
|
obriga a trabalhar com restrições simétricas como $-1 < x - a < 1$.
|
|
Podemos tranquilamente restringir $a/2 < |x - a| (a + 1)/2$, que não é
|
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simétrica --- o raio direito da desigualdade é maior que o raio
|
|
esquerdo. Essa restrição nos garante que
|
|
%
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$$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} < \frac{1}{\sqrt{4a/3} - \sqrt{a}},$$
|
|
%
|
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o que eventualmente nos daria $|\sqrt{x} - \sqrt{a}| < e$, usando-se a
|
|
dica do problema. Mas observe que essa solução é muito menos elegante
|
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que a primeira. Essa prova bem arrumadinha, lida da direita pra
|
|
esquerda, é sempre importante à educação matemática porque bagunça faz
|
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tudo mais difícil de entender. Se a solução elegante é difícil de
|
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ler, então devemos estudar cada detalhe dela e aos poucos vê-la como
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natural porque essa prática facilita a análise (ao invés de
|
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complicá-la).
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\begin{exercise*}
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Prove que $\lim \sqrt[4]{9 -x} = 0$ com $x \to 9$ pela esquerda.
|
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Agora a ausência de simetria no intervalo delta é solicitada pelo
|
|
problema. Queremos assumir $9 - d < x < 9$ e mostrar que $|\sqrt[4]{9
|
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-x}| < e$, ou seja, $|\sqrt[4]{9-x}| < e$ implica $0 < \sqrt[4]{9-x}
|
|
< e$, que implica $0 < 9-x< e^4$, que implica $-e^4 < x - 9 < 0$, que
|
|
implica $-e^4 +9 < x < 9$. Tomando-se $d = e^4$, assumimos $9 - e^4 <
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x < 9$ de forma assimétrica: estamos provando um limite pela esquerda.
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Manipulação algébrica nos leva a $|\sqrt[4]{9 -x} - 0| <e$, como
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desejado.
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\end{exercise*}
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\begin{exercise*}
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Prove $\lim x^3 = 8$ com $x \to 2$. Fatore $x^3 - 8$ em $(x -2)(x^2 +
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2x +4)$. Se não lembramos da diferença de cubos, observe que
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desejamos por $|x - 2|$ como algum fator, então fazemos a divisão
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longa. Agora precisamos colocar uma restrição em $x^2 + 2x +4$ com
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uma conexão com $|x - 2|$. Se completarmos o quadrado, obteremos $x^2
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+ 2x +4 = (x + 1)^2 + 4 - 1$ e $x + 1$ tem uma clara conexão com $x -
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2$. Restringindo $|x - 2| < 1$, obtemos $2 < x + 1 < 4$, implicando
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$4 < (x + 1)^2 < 16$, o que nos leva a $x^2 +2x + 4 < 19$. Daí $d =
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\min(1, e/19)$ servirá bem.
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\end{exercise*}
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\begin{exercise*}
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Qual é o maior delta para $\lim x^2 = 9$ com $x \to 3$? Queremos o
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maior delta tal que $|x^2 - 9| < e$, o que implica $|x - 3|<\sqrt{9
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+e} - 3$. Então o maior delta é $\sqrt{9+e} - 3$. Por que não há
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maior delta possível? Experimente. Tome $e = 7$ e obtenha $d =
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\sqrt{16} - 3 = 1$, que é um delta que serve bem ao propósito de
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provar o limite usando $e = 7$. Experimentemos, entretanto, provar o
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limite com $d = 2$ e $e = 7$ --- obteremos $|x^2 - 9| < 16$, sendo que
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16 está a nove unidades acima de $7 = e$. Experimente $d=1.1$ pra
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$e=7$ e obteremos $|x^2 - 9| < 7.80$, o que está $0.80$ acima de onde
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deveria, ilustrando que $d=1$ é o maior delta possível pra $e=7$.
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\end{exercise*}
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\subsection{Trigonometria}
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É assunto difícil. Uma parte do problema é o fato de que as noções
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trigonométricas são transcendentais, ou seja, ``a maquinaria'' das
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funções trigonométricas não são algébricas: são séries infinitas.
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Assim nos limitamos a calcular manualmente apenas uma quantidade
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medíocre de exemplos fáceis. Outra parte é a dificuldade de se obter
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resultados preliminares. Por exemplo, afirmar que o ângulo central de
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um setor do círculo é proporcional ao arco requer calcular o
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comprimento do arco ou a área do setor, o que não é fácil de ser feito
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sem ferramentas poderosas, como o teorema fundamental de Cálculo.
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\subsubsection{Como construir a tabela de ângulos}
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Os ângulos populares são 0, 30, 45, 90, 120, 135, 150, 180, 270, 360
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graus, ou seja, 0, $\sfrac{\pi}{6}$, $\sfrac{\pi}{4}$,
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$\sfrac{\pi}{3}$, $\sfrac{\pi}{2}$, $\sfrac{2\pi}{3}$,
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$\sfrac{3\pi}{4}$, $\sfrac{5\pi}{6}$, $\pi$, $\sfrac{3\pi}{2}$,
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$2\pi$. As razões trigonométricas desses ângulos são todas obtidas a
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partir de dois triângulos. Vamos calculá-los. É óbvio que o seno de 0
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é zero e que o cosseno de zero é 1. Passemos a 30.
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O primeiro triângulo importante é o equilátero de lado 1. Ele tem
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três ângulos internos de 60 graus, o que é $\sfrac{\pi}{3}$. Se
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bisectarmos um desses ângulos, obteremos dois ângulos de
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$\sfrac{\pi}{6}$. A bisecção divide o lado oposto em duas partes
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iguais de tamanho $\sfrac{1}{2}$. Logo, a altura do triângulo
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satisfaz $1^2 = 1 = \sfrac{1}{4} + h^2$, sendo $h$ a altura. Daí $h =
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\sfrac{\sqrt{3}}{2}$, implicando $\sin \sfrac{\pi}{6} = \sfrac{1}{2}$
|
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e $\sin \sfrac{\pi}{3} = \sfrac{\sqrt{3}}{2}$.
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O segundo triângulo retângulo importante é o isósceles de catetos com
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comprimento 1. A hipotenusa então tem tamanho $\sqrt{2}$. Os ângulos
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agudos então têm tamanhos iguais e somam $\sfrac{\pi}{2}$, logo cada
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um deles tem tamanho $\sfrac{\pi}{4}$. Daí $\sin \sfrac{\pi}{4} =
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\sfrac{1}{\sqrt{2}}$.
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Resta nos agora os ângulos obtusos\footnote{É certo que $\sin
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\sfrac{\pi}{2} = 1$. Já podemos ir aos obtusos.}, isto é, os maiores
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que $\sfrac{\pi}{2}$. Acontece que o seno de $\sfrac{2\pi}{3}$,
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ângulo que é 120 graus, tem a mesma magnitude que o seno de
|
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$\sfrac{\pi}{3}$, ou seja, $|\sin \sfrac{2\pi}{3}| = \sin
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\sfrac{\pi}{3}$. Logo, basta saber qual é sinal do seno de
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$-\sfrac{2\pi}{3}$ pra deduzirmos $\sin \sfrac{2\pi}{3}$. Os sinais
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podem ser observados olhando-se os gráficos das funções seno e
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cosseno. Stewart nos conta que a frase ``{\em {\underline A}ll
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{\underline S}tudents {\underline T}ake {\underline C}alculus}'' nos
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ajuda a lembrar em que quadrantes as funções trigonométricas são
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positivas. No primeiro quadrante, todas são. No segundo, só
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{\underline S}eno. No terceiro, só {\underline T}angente. No quarto,
|
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só {\underline C}osseno. Como $\sfrac{2\pi}{3}$ está no segundo
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quadrante, então seu sinal é positivo, logo $\sin \sfrac{2\pi}{3} =
|
|
\sfrac{\sqrt{3}}{2}$. Similarmente, obtemos $\sin \sfrac{3\pi}{4} =
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|
\sfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \sfrac{5\pi}{6} = \sfrac{1}{2}$, $\sin \pi
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= 0$, $\sin \sfrac{3\pi}{2} = -1$, $\sin 2\pi = 0$. Assim construímos
|
|
a Tabela~\ref{tb:trig}.
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\begin{table}[htb]
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\centering
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\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
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graus & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 120 & 135 & 150 & 180 & 270 \\\toprule
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rad & 0 & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ & $2\pi/3$ & $3\pi/4$ & $5\pi/6$ & $\pi$ & $3\pi/2$\\\toprule
|
|
sin & 0 & $\sfrac{1}{2}$ & $\sfrac{1}{\sqrt2}$ & $\sfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & $\sfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\sfrac{1}{\sqrt2}$ & $\sfrac{1}{2}$ & 0 & $-1$ \\
|
|
cos & 1 & $\sfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\sfrac{1}{\sqrt2}$ & $\sfrac{1}{2}$ & 0 & $-\sfrac{1}{2}$ & $-\sfrac{1}{\sqrt2}$ & $-\sfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $-1$ & 0 \\
|
|
tg & 0 & $\sfrac{1}{\sqrt3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & ind & $-\sqrt{3}$ & $-1$ & $-\sfrac{1}{\sqrt3}$ & 0 & ind \\\midrule
|
|
csc & ind & 2 & $\sqrt2$ & $\sfrac{2}{\sqrt3}$ & 1 & $\sfrac{2}{\sqrt3}$ & $\sqrt{2}$ & 2 & ind & $-1$ \\
|
|
sec & 1 & $\sfrac{2}{\sqrt{3}}$ & $\sqrt2$ & 2 & ind & $-2$ & $-\sqrt2$ & $-\sfrac{2}{\sqrt{3}}$ & $-1$ & ind \\
|
|
ctg & ind & $\sqrt3$ & 1 & $\sfrac{1}{\sqrt3}$ & ind & $-\sfrac{1}{\sqrt3}$ & $-1$ & $-\sqrt3$ & ind & ind \\\bottomrule
|
|
\end{tabular}
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\caption{As razões trigonométricas para os ângulos fáceis de calcular.
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O símbolo ``ind'' representa a palavra ``indefinido'', quando a
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razão trigonométrica não existe.}
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\label{tb:trig}
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\end{table}
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\begin{exercise*}
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Encontre as razões trigonométricas no plano cartesiano relativo ao
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ângulo $\sfrac{2\pi}{3}$. O ângulo se encontra no segundo quadrante.
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|
Então nosso {\em ângulo de referência} é $\sfrac{\pi}{3}$. A
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|
magnitude do raio pode ser qualquer uma que desejarmos. Seja 1 o
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tamanho do raio, que é a hipotenusa do triângulo que estamos
|
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construindo. Seja $\sfrac{1}{2}$ o tamanho do cateto. Isso nos dá o
|
|
outro cateto de tamanho $\sfrac{\sqrt3}{2}$ e, logo, $\sin
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|
\sfrac{2\pi}{3} = \sfrac{\sqrt3}{2}$. Poderíamos ter tomado uma
|
|
hipotenusa de tamanho de 2 e um cateto de tamanho $1$. Mesmo
|
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resultado. As outras razões saem por raciocínio similar.
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\end{exercise*}
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\subsubsection{O tamanho de um arco em função do ângulo}
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O ângulo de um setor do círculo é proporcional ao arco. Podemos
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encontrar a constante de proporcionalidade usando tamanhos que já
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conhecemos. Se alongarmos o arco até fechar o círculo, obtemos a
|
|
circurferência, que é $2\pi r$. O ângulo que fecha o círculo é
|
|
$2\pi$. Logo, se temos um ângulo de comprimento $\theta$ radianos, o
|
|
arco $a$ satisfaz
|
|
%
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$$\frac{2 \pi r}{2 \pi} = \frac{a}{\theta} \quad\text{implicando}\quad a = \theta r$$
|
|
%
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|
porque, por hipótese, ``[o] ângulo de um setor do círculo é
|
|
proporcional ao arco''. Observe que não provamos o fato: não é tão
|
|
simples como gostaríamos que fosse.
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\begin{definition*}[de proporcionalidade direta]
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|
Uma quantidade cujo crescimento é determinado por $M(x)$ é diretamente
|
|
proporcional a uma quantidade cujo crescimento é determinado por
|
|
$m(x)$ se a razão $\sfrac{M(x)}{m(x)}$ é uma constante.
|
|
\end{definition*}
|
|
|
|
Estamos dizendo que o comprimento do arco cresce proporcionalmente ao
|
|
produto do raio pelo ângulo. No circulo unitário, quando $r=1$, o
|
|
arco cresce proporcionalmente ao ângulo. Provar esse fato não é fácil
|
|
porque nos exige definir ``ângulo'', o que nos exige calcular áreas ou
|
|
medir o tamanho do arco, o que só conseguimos fazer satisfatoriamente
|
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usando o teorema fundamental de Cálculo.
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|
|
Pra haver uma relação de proporcionalidade entre ângulo e arco, é
|
|
preciso que ângulos sejam capazes de medição --- antes de qualquer
|
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coisa. Proporcionalidade é uma relação numérica; se não fossem
|
|
números, seria absurdo falar em relação de proporcionalidade. Godfrey
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|
Harold Hardy explica~\cite[capítulo~VII, parágrafo~163]{hardy-pure}
|
|
que é tipicamente assumido que existe um número real associado a essas
|
|
aberturas, que são os ângulos. Não é imediatamente claro como medir
|
|
ângulos. Stewart, por exemplo, assume que a medida de um ângulo é o
|
|
tamanho do arco do setor produzido pelo ângulo no círculo unitário.
|
|
(No círculo unitário, $r=1$ e, assim, $\theta = a$.) O problema aqui
|
|
é que não sabemos qual é o tamanho de um arco. Stewart só calculará o
|
|
tamanho de um arco em aplicações de integração~\cite[capítulo~9,
|
|
seção~9.1, páginas~561--562]{stewart}. Hardy já tem as integrais
|
|
definidas e as usa pra solucionar o impasse: ele define um ângulo como
|
|
o dobro da {\em área} do setor do círculo unitário. Um setor tem dois
|
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raios. Hardy posiciona um raio na altura $y = 0$ e o outro é
|
|
determinado por uma função linear $mx$. A área do setor é determinada
|
|
por uma função $\Phi(m)$. Ele determina que $$\Phi(m) =
|
|
\frac{1}{2}\int_0^m \frac{\dt}{1 + t^2}$$ e define que a medida de um
|
|
ângulo é o dobro dessa área. Nós, entretanto, ainda estamos
|
|
construindo ferramentas para o início do estudo, logo não podemos dar
|
|
solução alguma por aqui. Mas a situação parece complicada para o
|
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estudante de trigonometria: pra afirmar que ângulos são proporcionais
|
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aos arcos, precisamos definir a medição de um ângulo e teremos que
|
|
saber calcular a área de um setor ou o comprimento do arco.
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\begin{definition*}[de proporcionalidade inversa]
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|
Uma quantidade cujo crescimento é determinado por $M(x)$ é
|
|
inversamente proporcional a uma quantidade cujo crescimento é
|
|
determinado por $m(x)$ se o produto $M(x) m(x)$ é uma constante.
|
|
\end{definition*}
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\subsubsection{Identidades trigonométricas}\label{sec:trig-identities}
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Há uma série de identidades trigonométricas.
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A identidade do círculo unitário é óbvia: aplicando a definição de
|
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$\sin$ e $\cos$ e usando o Teorema de Pitágoras, obtemos $\sin^2 x +
|
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\cos^2 x = 1$. Se divirmos ambos os lados da equação por $\cos^2 x$,
|
|
obtemos $$\tg^2 x + 1 = \sec^2 x.$$ Se, em vez disso, dividirmos por
|
|
$\sin^2 x$, obtemos $$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x.$$
|
|
|
|
A função $\sin x$ é ímpar e $\cos x$ é par, o que significa dizer
|
|
$\sin(-x) = - \sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$. O período de ambas é
|
|
$2\pi$. Logo, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
|
|
|
|
Stewart sugere que todas as identidades que podem aparecer pelo livro
|
|
podem ser obtidas das {\em fórmulas da adição}, que são $$\sin(x + y)
|
|
= \sin x \cos y + \cos x \sin y \qquad\text{e}\qquad \cos(x + y) =
|
|
\cos x \cos y - \sin x \sin y.$$ Por exemplo, colocando $x = y$ nelas,
|
|
obtemos as {\em fórmulas dos ângulos duplos} $$\sin(2x) = 2\sin x \cos
|
|
x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.$$
|
|
|
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\begin{definition*}
|
|
Relativo a um dado ângulo, o {\em ângulo de referência} é o menor
|
|
ângulo agudo que se pode formar (com o eixo $x$) e, por definição, ele
|
|
é sempre positivo em $[0, \sfrac{\pi}{2}]$.
|
|
\end{definition*}
|
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\begin{exercise*}
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Encontre todos os valores de $x$ tal que $\sin(2x) = \sin x$ e $x \in
|
|
[0,2\pi]$. Usando a fórmula dos ângulos duplos, sabemos que $2\sin x
|
|
\cos = \sin x$, logo $2\sin x \cos - \sin x = 0$ e então $\sin x
|
|
(2\cos x - 1) = 0$. Daí estamos interessados em $\sin x = 0$, em que
|
|
são soluções $0, \pi, 2\pi$. Estamos também interessados em $2\cos x
|
|
- 1 = 0$ em que $\cos x = \sfrac{1}{2}$, em que uma solução é
|
|
$\sfrac{\pi}{3}$ --- e a última é $\sfrac{5\pi}{3}$ porque o ângulo de
|
|
referência relativo a $\sfrac{5\pi}{3}$ é $\sfrac{\pi}{3}$. Coletando
|
|
as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
|
|
2\pi\}.$
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\begin{exercise*}
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|
Se $\sin x = \sfrac{1}{3}$ e $\sec y = \sfrac{5}{4}$, calcule $\sin(x
|
|
+ y)$, sendo ambos $x, y$ ângulos agudos positivos. Aplicando a
|
|
fórmula da adição, obtemos $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin
|
|
y$ e daí
|
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%
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$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \cos x \sin y,$$
|
|
%
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já que $\sec y = \sfrac{5}{4}$ implica $\cos y = \sfrac{4}{5}$.
|
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Falta-nos conhecer $\cos x$ e $\sin y$. Mas se $\sin x =
|
|
\sfrac{1}{3}$, então aplicando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, obtemos
|
|
%
|
|
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1,$$
|
|
%
|
|
que implica $\cos x = \pm \sfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Similarmente, $\sin
|
|
y = \pm \sfrac{3}{5}.$ Precisamos decidir que sinal nos interessa.
|
|
Como $x, y$ estão restritos ao primeiro quadrante, então $\cos x =
|
|
\sfrac{2\sqrt{2}}{3}$ e $\sin y = \sfrac{3}{5}$. Logo,
|
|
%
|
|
$$\sin(x + y) = \frac{1}{3}\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{5},$$
|
|
%
|
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como desejado.
|
|
\end{exercise*}
|
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\subsubsection{Sobre as palavras ``seno'' e ``cosseno''}\label{sec:sine-cosine}
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Parece que a palavra ``seno'' origina-se em uma má tradução de grego
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antigo para a língua árabe antiga. Eventualmente apareceu em Latim
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sob a ortografia de {\em sinus} e foi traduzida para o inglês como
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{\em sine}. Devemos tomar ``seno'' como primitiva, então, já que não
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há boas razões em sua etimologia. Já ``cosseno'' vem do fato de que o
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|
o seno do complemento de um ângulo é exatamente o cosseno do ângulo,
|
|
ou seja, o ``co'' de cosseno vem de ``\underline{co}mplemento do
|
|
seno''. Por exemplo, o seno de 30 graus é $\sfrac{1}{2}$. O
|
|
complemento de 30 graus é 60 graus. Logo, o cosseno de 60 graus é
|
|
$\sfrac{1}{2}$. Em outras palavras, o cosseno é o complemento do
|
|
seno, o que é observável na Tabela~\ref{tb:trig}.
|
|
|
|
\subsubsection{Sobre a imprecisão de ``simplificar''}
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Considere o problema de ``simplificar'' $\cos(\tg^{-1} x)$. O que
|
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seria ``simplificar''? O que o problema quer é a resposta
|
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$1/\sqrt{x^2 + 1}$. Simplificou? Simplificação é noção ambígua. Pra
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resolver um problema desse, precisamos inferir a psicologia do autor,
|
|
o que requer cultura matemática. Grande parte da dificuldade de se
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estudar um assunto matemático é não compreender a cultura.
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\begin{exercise*}
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Reescreva $\cos(\tg^{-1} x)$ de outra forma. Seja $y = \tg^{-1} x$.
|
|
Então $\tg y = x$. Se a tangente de $y$ é $x$, então o seno de $y$
|
|
sobre o cosseno de $y$ é $x$, ou seja, desenhe o triângulo com
|
|
cateto-base 1, cateto-altura $x$ e hipotenusa $\sqrt{x^2+1}$. (A
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|
hipotenusa obtemos pelo Teorema de Pitágoras.) Marque o ângulo $y$ no
|
|
triângulo entre hipotenusa e altura. Esse ângulo $y$ é $\tg^{-1} x$.
|
|
Agora calcule o cosseno dele, que é o lado adjacente de tamanho 1,
|
|
sobre a hipotenusa, que é $\sqrt{x^2 + 1}$. Conclua então que
|
|
%
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$$\cos(y) = \cos(tg^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$
|
|
\end{exercise*}
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%% \begin{remark*}
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%% Experimente escrever um programa que simplifica expressões
|
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%% matemáticas. Você vai programá-lo pra fazer uma coisa e vai se
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%% irritar quando ele fizer exatamente o que você pediu --- e não o que
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%% você queria. Já vi isso em um programa que computa derivadas
|
|
%% simbólicas. Computar derivadas é fácil. Difícil é ``simplificá-las''
|
|
%% porque às vezes queremos uma coisa e às vezes outra --- o programa não
|
|
%% adivinha o que queremos.
|
|
%% \end{remark*}
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\subsection{Como descrever uma elipse}
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Uma elipse é uma generalização de um círculo. A fórmula geral de uma
|
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elipse é
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%
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$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$
|
|
%
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Quanto maior é $a^2$, mais larga (horizontalmente) fica a elipse: a
|
|
velocidade de varredura do eixo $x$ é atrasada em função do fato
|
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$1/a^2$. Similarmente, quanto maior é $b^2$, mais alta
|
|
(verticalmente) fica a elipse.
|
|
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|
Quando a elipse intercepta o eixo $x$ em $(1/9)x^2 + y^2 = 1$?
|
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Coloque $y=0$, obtendo $(1/9)x^2 = 1$, implicando $x = \pm 3$. Onde
|
|
ela intercepta o eixo $y$? Coloque $x=0$, obtendo $y = \pm 1$.
|
|
|
|
\begin{exercise*}
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Descreva o gráfico da equação $9x^2 + 16y^2 = 144$. Note que $144 =
|
|
12^2 = (4\times 3)^2 = 16 \times 9$. Logo, a equação é equivalente a
|
|
$(1/16)x^2 + (1/9)y^2 = 1$. O gráfico é uma elipse que intercepta o
|
|
eixo $x$ em $\pm 4$ e intercepta o eixo $y$ em $\pm 3$.
|
|
\end{exercise*}
|
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\section{Definitions, limits and continuity}
|
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\masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
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|
distance from 0 to $x$ on the real line. Distances are always positive,
|
|
so $|x| \geq 0$ for all $x \in \reals$. The function $f(x) = |x|$ is
|
|
defined as \[
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|
%
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f(x) = \begin{cases}
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-x & \text {if $x < 0$},\\
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x & \text {if $x \geq 0$}.
|
|
\end{cases}
|
|
\]\defend
|
|
|
|
\begin{remark*}
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|
Ao solucionar a equação $x^2 = 4$, observe como deduzir soluções a
|
|
partir da função raiz quadrada: $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$ implica $|x| =
|
|
2$ e não $x = 2$ porque $x = -2$ também é solução.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\masciidef{} An even function is a function $f:A \to B$ such that $f(-x)
|
|
= f(x)$ for every $x \in A$. An odd function is a function $f:A \to B$
|
|
such that $f(-x) = - f(x)$ for every $x \in A$.\defend
|
|
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|
\masciidef{} A function $f$ is increasing on an interval $I$ if $f(x_1)
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< f(x_2)$ whenever $x_1 < x_2$ in I. A function $f$ is decreasing on an
|
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interval $I$ if $f(x_1) > f(x_2)$ whenever $x_1 < x_2$ in I.\defend
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\masciidef{} Let $f:A \to Y$, $g: B \to W$ be functions. Then we define
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$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ where the domain is $A \cap B$. We define $(f -
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g)(x) = f(x) - g(x)$ where the domain is $A \cap B$. We define $(fg)(x)
|
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= f(x)g(x)$, where the domain is $A \cap B$. We define $(f/g)(x) =
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f(x)/g(x)$, where the domain is $\{x \in A \cap B : g(x) \neq
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0\}$.\defend
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\masciidef{} Let $f: A \to B$, $g: X \to Y$. We define the composite function
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$f \circ g$ as $(f \circ g)(x) = f( g(x) )$. The domain of the
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composition is all $x \in X$ in which $g(x)$ is defined which goes to an
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$a \in A$ in which $f(a)$ is defined. So, the domain is the intersection
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of a subset of $Y$, the range of $g(x)$, and the set $A$; that is, the
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domain of $f \circ g$ is $\text{Range}(g) \cap A$.\defend
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\subsection{Limits}
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\masciidef{} We say that $f$ approaches $L$ as $x$ approaches $a$ if and
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only if for each $e > 0$ given, there is a $d > 0$ such that
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%
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$$0 < |x - a| < d \implies |f - L| < e.$$\defend
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\begin{remark*}
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Em vez de letras $d$ e $e$, o típico é escrever $\delta$ e $\epsilon$,
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mas não temos essas letras num teclado usual de hoje. Quando
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começarmos a trabalhar com o número transcendental
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$2.7182845904523536...$, também usaremos a letra $e$ pra
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representá-lo. Não haverá nenhuma confusão porque o contexto deixa
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bem claro a quem nos referimos.
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\end{remark*}
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\masciidef{} We say that $f$ approaches $L$ from the left as $x$
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approaches $a$ from the left if and only if for each $e > 0$ given,
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there is a $d > 0$ such that $$a - d < x < a \implies |f - L| <
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e.$$\defend
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\masciidef{} We say that $f$ approaches $L$ from the right as $x$
|
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approaches $a$ from the right if and only if for each $e > 0$ given,
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|
there is a $d > 0$ such that $$a < x < a + d \implies |f - L| <
|
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e.$$\defend
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Uma coisa se aproxima de outra se e somente se a distância entre elas
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disaparece ``à medida que o tempo passa''. Note que se a distância
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entre $x$ e $a$ se tornar pequena, então torna-se pequena também a
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distância entre $f$ e $L$. Se isso ocorre pra qualquer pequena
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distância arbitrada, então o limite de $f$ é $L$.
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\begin{exercise*}
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Provar limites pela definição é muito difícil na maioria das vezes.
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Por exemplo, prove que $\lim x^2 - 1 = 3$ com $x \to -2$. Precisamos
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de um $d$ que possa nos levar à desigualdade $$|x^2 - 1 - 3| = |x^2 -
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4| = |(x + 2)(x - 2)| = |x + 2||x - 2| < e$$ pra todo $e$ positivo.
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|
Pra ultrapassar o obstáculo desse produto, observe que estamos
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|
interessados em valores de $x$ {\em muito} próximos de $-2$.
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Portanto, podemos tranquilamente nos restrigir ao universo de busca em
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que $d$ não é maior que 1, ou seja, podemos assumir que $|x + 2| < 1$,
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obtendo $-1 < x + 2 < 1$, o que nos dá $-5 < x - 2 < -3 < 5$. Daí
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deduzimos que $|x - 2|<5$, que é fator do produto que nos complica. O
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outro fator é $|x + 2|$ e queremos que esse produto de distâncias seja
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menor que $e$. Agora compreender a estratégia ficou mais fácil: se
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assumirmos que $|x + 2| < e/5$, o que ocorre com o produto? O produto
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nos dá o que desejamos: $$|x + 2||x - 2| < \frac{e}{5} \times 5 =
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e.$$Logo, podemos tomar $d = \min(e/5, 1)$. Eis a prova. Seja $d =
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|
\min(e/5, 1)$. Assuma que $|x - (-2)| < d = \min(e/5, 1)$. Se $e >
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|
5$, então $d = 1$ e aí $|x - (-2)| = |x + 2| < 1$ e $|x+2||x-2| < 1 <
|
|
e$, como desejado. Já se $e \leq 5$, então $|x - (-2)| < e/5$ e aí
|
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$|x + 2| < 1$. Como estamos interessamos em valores muito próximos de
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$-2$, podemos restringir $x$ tal que $|x - (-2)| = |x + 2| < 1$, ou
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seja, não nos afastamos uma unidade do valor $-2$. Nesse intervalo
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restrito, podemos afirmar que $-1 < x + 2 < 1$ e $-5 < x - 2 < -3 <
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5$, logo $|x - 2| < 5$. Multiplicando ambas desigualdades importantes
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aqui, obtemos
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%
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$$|(^2 - 1) -3|= |(x + 2)(x - 2)|= |x + 2||x - 2| < e/5 \times 5 = e,$$
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%
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como desejado. Isso prova. A leitura da prova também requer
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cuidados.
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Como ler a prova? O delta escolhido é o menor valor dentre $e/5$ e
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$1$. Se o adversário escolhe um $e$ muito grande --- maior ou igual a
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5, por exemplo ---, escolhemos $d = 1$, partindo de $|x - (-2)| < 1$,
|
|
que implica $|x - 2| < 5$ e, assim, obtemos $|x + 2||x - 2| < 5$, como
|
|
desejado. Se o adversário escolhe $e$ pequeno --- menor que 5, por
|
|
exemplo ---, então tomamos um quinto desse $e$, partindo de $|x -
|
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(-2)| < e/5$. Precisamos também da desigualdade $|x + 2| < 1$. Quando
|
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próximo de $-2$, temos $|x + 2| < 1$ e podemos chegar perto o quanto
|
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quisermos. Essa restrição implica $|x - 2| < 5$ --- subtraia 4 e
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observe que $-3 < 5$. Daí multiplicamos as duas desigualdades,
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obtendo $$|x + 2||x - 2| < 5\times\frac{e}{5} = e.$$
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Isso é uma segunda escrita da prova, sem dúvida. Enfim, a função é
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simples, mas a prova envolve habilidade com desigualdades, valor
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absoluto e a definição epsilon-delta.
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\qed\end{exercise*}
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\masciidef{} The line $x = a$ is called a vertical asymptote of the
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curve $y = f(x)$ if at least one of the following statements is true:
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$\lim f = \infty$ as $x \to a$, $\lim f = \infty$ as $x \to a^-$, $\lim
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f = \infty$ as $x \to a^+$, $\lim f = - \infty$ as $x \to a$, $\lim f =
|
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- \infty$ as $x \to a^-$, $\lim f = \infty$ as $x \to a^+$.\defend
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\begin{remark}
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Em palavras, pra descobrir assíntotas, basta procurar por quais
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valores do domínio a função tende a $\pm \infty$, ou seja, quais
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valores (do domínio) fazem a função crescer ou decrescer sem limite.
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\end{remark}
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\masciith{} Let $c$ be a constant and suppose $\lim f$ and $\lim g$ as $x \to
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a$ exist. Then the following are true: (1) $\lim(f + g)$ = $\lim f +
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\lim g$; (2) $\lim(f - g)$ = $\lim f - \lim g$; (3) $\lim(c f)$ = $c
|
|
\lim f$; (4) $\lim(fg)$ = $\lim f \lim g$; (5) $\lim f/g$ = $(\lim
|
|
f)/(\lim g)$ as long as $\lim g \neq 0$; (6) $\lim f^n = (\lim f)^n$,
|
|
where $n > 0$; (7) $\lim c = c$; (8) $\lim x = a$ (as $x \to a$); (9)
|
|
$\lim x^n = a^n$, as $x \to a$ and $n > 0$; (10) $\lim \sqrt[n]{x}$ =
|
|
$\sqrt[n]{a}$ as $x \to a$ and $n > 0$, and once $n > 0$, assume $a >
|
|
0$. (11) $\lim \sqrt[n]{f}$ = $\sqrt[n]{\lim f}$ as $x \to a$ and $n >
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0$, and once $n$ is even, assume $f > 0$.\theend
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\begin{remark*}
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|
Observe que essas propriedades só se aplicam quando $\lim f$ e $\lim
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g$ existem. Se não existirem, o teorema não procede. Em outras
|
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palavras, antes de sair aplicando essas verdades, verifique que as
|
|
condições procedem. Por exemplo, suponha que $\lim f(x)/x^2 = 5$ com
|
|
$x \to 0$. Encontre $\lim f(x)$. O que se pode fazer aí? Não se
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pode assumir que o limite de $f(x)$ existe porque isso não foi dado; o
|
|
que foi dado é que o quociente tem limite 5. Entretanto, sabemos que
|
|
$\lim x^2 = 0$ existe e é zero. Assim, podemos deduzir:
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%
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\begin{align*}
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|
0 &= 5 \times 0\\
|
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&= \lim \frac{f(x)}{x^2} \lim x^2\\
|
|
&= \lim \frac{f(x)}{x^2}x^2 \qquad\text{porque ambos limites existem}\\
|
|
&= \lim f(x).
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
Pode-se pedir também por $\lim f(x)/x$, mas a mesma estratégia acima
|
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resolve: sabemos que $\lim x = 0$.
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\end{remark*}
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\begin{remark*} Esse é o problema 56 da Seção 2.3 de Stewart, edição 6. Na
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|
versão brasileira do livro, há um erro de digitação em que se dá um
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limite com $x\to 1$ e se pede por $x\to 0$. Esse erro é interessante
|
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porque é preciso se convencer de que o problema não tem solução. O
|
|
que acontece num ponto do domínio não garante nada do que acontece num
|
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outro ponto {\em qualquer}. Provar o fato é fácil --- só mostrar um
|
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contra-exemplo.
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\end{remark*}
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\masciiexe{} If $p$ is a polynomial, show $\lim p(x)$ = $p(m)$ as $x \to
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m$. \pit The general formula for a polynomial is
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%
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$$p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n.$$
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%
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We now apply the limit laws
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%
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\begin{align*}
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\lim p(x) &= \lim a_0 + \lim a_1 x + \lim a_2x^2 + ... + \lim a_n x^n\\
|
|
&= a_0 + a_1 m + a_2 m^2 + ... + a_n m^n\\
|
|
&= p(m)
|
|
\end{align*}
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%
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This shows that every polynomial is continuous, but we define continuity
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a little later. Before, we do exercises to practice our understanding of
|
|
limits.\exeend
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\masciiexe{} If $r$ is a rational function, show that $\lim r(x) =
|
|
r(m)$, as $x \to m$, for every number $m$ in the domain of $r$. \pit
|
|
From the previous exercise, we have that every polynomial is
|
|
continuous. A rational function is the quotient of two polynomials; so,
|
|
the problem is very similar. We can represent the limit of a rational
|
|
function as
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|
%
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\begin{align*}
|
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\lim r(x) &= \lim \bigg(
|
|
\frac{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n}
|
|
{b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + ... + b_n x^n} \bigg)\\
|
|
&= \frac{\lim a_0 + \lim a_1x + \lim a_2 x^2 + ... + \lim a_n x^n}
|
|
{\lim b_0 + \lim b_1x + \lim b_2 x^2 + ... + \lim b_n x^n}\\
|
|
&= \frac{a_0 + a_1 m + a_2 m^2 + ... + a_n m^n}
|
|
{b_0 + b_1 m + b_2 m^2 + ... + b_n m^n}\\
|
|
&= r(m)
|
|
\end{align*}
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciith{} A function $f \to L$ as $x \to a$ if and only if $f \to L$
|
|
as $x \to a^-$ and $f \to L$ as $x \to a^+$.\theend
|
|
|
|
\masciith{} If $f \leq g$ when $x$ is near $a$, but $x \neq a$, and
|
|
the $\lim f$ and $\lim g$ both exist as $x \to a$, then $\lim_{x \to
|
|
a} f \leq \lim_{x \to a} g$.\theend
|
|
|
|
\begin{theorem*}[do Confronto]
|
|
Se $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ quando $x$ está próximo de $a$, exceto
|
|
possivelmente em $a$, e $\lim f(x) = L = \lim h(x)$, então $\lim g(x)
|
|
= L$.
|
|
\end{theorem*}
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|
\begin{remark*}
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Esse é o Teorema do Confronto, também chamado de Teorema do Sanduíche.
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|
Parece que alguns também o chamam de Teorema do Imprensamento.
|
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\end{remark*}
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|
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|
Um caso bem fácil de aplicação desse teorema é quando se pede o limite
|
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de uma função trigonométrica multiplicada por um outra função --- cujo
|
|
limite seja fácil calcular. Por exemplo, calcule $\lim q(x) \cos
|
|
20\pi x$ com $x\to 0$ sabendo-se que $\lim q(x) = 0$. O trabalho é
|
|
fácil porque sabemos que $ -1 < \cos 20 \pi x < 1$. Logo, se
|
|
multiplicarmos essa desigualdade por $q(x)$, obtemos $-q(x) < q(x)\cos
|
|
20\pi x < q(x)$ e daí o Teorema do Confronto implica $\lim q(x) \cos
|
|
20\pi x = 0$, como desejado.
|
|
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\begin{remark*}
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Às vezes um problema nos pede um limite que podemos reconhecer com
|
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experiência. Por exemplo,
|
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%
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$$\lim \frac{(4 + h)^2 - 16}{h}$$
|
|
%
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|
é a derivada de $x^2$ no ponto $x = 4$, ou seja, em $(4, 16)$. Então
|
|
o limite é $f'(4) = 2x = 8.$ O que Stewart espera, entretanto, é que
|
|
cancelemos o $h$ do denominador.
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|
\end{remark*}
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\begin{exercise*}
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Existe número real $a$ tal que
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%
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$$\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 +ax + a + 3}{x^2 + x - 2}$$
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%
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exista? O exercício pede que identifiquemos em que situação um limite
|
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existe ou não existe. Se o denominador tende a zero e o numerador não
|
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tende a zero (com $x \to -2$), então essa função racional sobe ou
|
|
desce sem limite. A única chance pro limite existir então é quando o
|
|
numerador é igual a zero, ou seja, $3x^2 +ax + a + 3 = 0$ com $x =
|
|
-2$. Queremos então $12 -a + 3 = 0$ ou $a = 15$. Essa é a chance.
|
|
Precisamos agora ter certeza de que o limite existe quando $a = 15$,
|
|
ou seja, investiguemos
|
|
%
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|
$$\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 +15x + 18}{x^2 + x - 2}.$$
|
|
%
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|
O denominador é fatorável com $(x + 2)(x - 1)$ e o numerador é
|
|
fatorável com $(3x + 9)(x + 2)$. (Divida $3x^2 +15x + 18$ por $x + 2$
|
|
por divisão longa e obtenha $3x + 9$.) Assim obtemos
|
|
%
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$$\lim_{x \to -2} \frac{3x + 9}{x - 1} = \frac{3}{-3} = -1.$$
|
|
%
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|
Existe $a = 15$ em que o limite é $-1$.
|
|
\end{exercise*}
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\begin{exercise*}
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Prove $\lim f(x) = 0$ com $x \to 0$ sendo
|
|
%
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\[f(x) = \begin{cases}
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|
x^2 & \text {se $x$ é racional},\\
|
|
0 & \text {se $x$ é irracional}.
|
|
\end{cases}\]
|
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%
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|
O exercício parece querer uma aplicação do Teorema do Confronto. A
|
|
função é claramente descontínua em todos os pontos, mas o limite na
|
|
origem existe provavelmente porque a reta de pontos isolados $f(x) =
|
|
0$ se encontra com a parábola de pontos isolados $f(x) = x^2$. Os
|
|
pontos se aglutinam infinitamente lá, sem deixar buracos. É o que
|
|
sugere minha intuição.
|
|
|
|
São fatos que $\lim 0 = 0 = \lim x^2$. Logo,
|
|
%
|
|
$$0 \leq f(x) \leq x^2$$
|
|
%
|
|
pra todo $x$ real. Assim,
|
|
%
|
|
$$0 = \lim 0 \leq \lim f(x) \leq \lim x^2 = 0$$
|
|
%
|
|
e então o Teorema do Confronto implica $\lim f(x) = 0$, como desejado.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\begin{exercise*}
|
|
Seja
|
|
%
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|
\[f(x) = \begin{cases}
|
|
0 & \text {se $x$ é racional},\\
|
|
1 & \text {se $x$ é irracional}.
|
|
\end{cases}\]
|
|
%
|
|
Prove que $\lim f(x)$ não existe quando $x \to a$, sendo $a$ um número
|
|
real. O autor quer que a gente saiba como provar que um limite não
|
|
existe pela definição precisa de limite. Fazemos isso por
|
|
contradição. Se o limite exitisse, a desigualdade-delta implicaria a
|
|
desigualdade-epsilon pra qualquer epsilon. Como o limite não existe,
|
|
algum epsilon fracassa a desigualdade. Suponha que o limite existe e
|
|
é $L$. Seja $e = 1/2$. Então $|x| < d$ implica $|f(x) - L| < 1/2$, o
|
|
que implica $- 1/2 < f(x) - L < 1/2$. Tome um $x$ racional em $(-d,
|
|
d)$. Daí $f(x) = 0$ e obtemos $L < 1/2$. Agora tome um $x$
|
|
irracional e deduza $1/2 < L$. Nenhum número $L$ é capaz de
|
|
satisfazer essa contradição, então $L$ não existe. Logo, não há
|
|
limite.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Quando um limite não existe, há a evidência de que --- à medida que
|
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nos aproximamos de um ponto $a$ do domínio ---, a função $f(x)$ tende
|
|
a uma coisa de um jeito e tende a outra coisa de outro jeito. Na
|
|
linha real, os dois jeitos típicos de se aproximar de um ponto no
|
|
domínio é pela esquerda e pela direita.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
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\begin{exercise*}
|
|
Mostre um exemplo em que $\lim f(x)g(x)$ existe, mas $\lim f(x)$ e
|
|
$\lim g(x)$ não existem. Pegue uma função $f(x)$ que seja $-1$ pra
|
|
$x$ negativo e 1 pra $x$ positivo. O limite em zero não existe.
|
|
Inverta o sinal na definição de $g(x)$. Agora, se multiplicamos
|
|
$f(x)g(x)$, obtemos a função constante $-1$, cujo limite em zero
|
|
obviamente existe.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\begin{exercise*}
|
|
Um disco precisa ser fabricado com área $1000 \cm^2$. Logo seu raio é
|
|
$10\sqrt{10/\pi} \cm$. Queremos permitir um erro de $5 \cm^2$ na
|
|
fabricação, ou seja, pode-se produzir com área no intervalo $(995,
|
|
1005) \cm^2$. Qual o erro que se permite no raio? A área tem que
|
|
satisfazer $995 < \pi r^2 < 1005$. Isolando $r$,
|
|
obtemos $$\sqrt{\frac{995}{\pi}}<r<\sqrt{\frac{1005}{\pi}}.$$ O que
|
|
esse exercício quer mostrar é que isso é essencialmente o trabalho de
|
|
se provar limites pela definição epsilon-delta. À medida que o raio
|
|
do disco se aproxima de $10\sqrt{10/\pi} \cm$, a área se aproxima de
|
|
$1000\cm^2$.
|
|
|
|
A função é $f(x) = \pi r^2$, o limite é $ L = 1000 \cm^2$, o número
|
|
$a$ de que $x$ se aproxima é $a = 10\sqrt{10/\pi}$, o erro é $e = 5
|
|
\cm^2$ e $d(e)$ restringe o raio ao intervalo especificado acima em
|
|
destaque.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
%% \begin{exercise*}
|
|
%% Se existir, encontre número real $a$ que faça com que
|
|
%% %
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%% $$\lim_{x\to -2} \frac{3x^2 + ax + a + 3}{x^2 + x + 2}$$$$
|
|
%% %
|
|
%% exista. Seja $n(x)$ o numerador e $d(x)$, o denominador. Fatore o
|
|
%% denominador em $(x + 2)(x - 1)$. Agora reconheça que se $d(x)$ tender
|
|
%% a zero e $n(x)$ não, então a função sobe ou desce sem limite. Observe
|
|
%% que $d(x)$ de fato tende a zero porque $x \to -2$. Resta a nós saber
|
|
%% o que ocorre com $n(x)$ quando $x \to -2$. O que ocorre é que $n(-2)
|
|
%% = -a + 15$. Logo, a única chance em que pode haver limite é se $a =
|
|
%% 15$ porque é só assim que $n(x)$ tende a zero. E o que acontece com a
|
|
%% função quando $a = 15$? Oops, já anotei isso.
|
|
%% \end{exercise*}
|
|
|
|
\subsection{Continuity}
|
|
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|
\begin{definition}\label{def:continuous}
|
|
A function is continuous if and only if lim $f(x)$ = $f(a)$ as $x \to
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a.$
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\end{definition}
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\masciidef{} A function is continuous from the right at a number $a$ if and
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|
only if lim $f(x)$ = $f(a)$ as $x \to a$ from the right. A function is
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|
continuous from the left at $a$ if and only if lim $f(x)$ = $f(a)$ as $x
|
|
\to a$ from the left.\defend
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\begin{exercise}\label{ex:identity}
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Se existir alguma discontinuidade removível em
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%
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$$\frac{x^4 - 1}{x - 1},$$
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%
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encontre-a. A função é descontínua em $x = 1$ porque é indefinida lá.
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|
Mas o numerador contém o termo $x - 1$, o que nos permite fatorar e
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encontrar o limite. Obtemos
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%
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$$\frac{x^4 - 1}{x - 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x - 1} = (x + 1)(x^2 + 1).$$
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%
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|
Obtido o limite, podemos especificar que $f(-1) = \lim f(x)$ com $x
|
|
\to 1$ e assim removemos a descontinuidade da função.
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\end{exercise}
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\begin{remark*}
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|
O exercício \ref{ex:identity} revela a identidade
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%
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\begin{align*}
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\frac{x^{2^n} - 1}{x - 1} &= (x^{2^{n - 1}} + 1)(x^{2^{n - 2}} + 1)(x^{2^{n - 3}} + 1) \cdots (x^2 + 1)(x + 1)\\
|
|
&= x^{2^n - 1} + x^{2^n - 2} + x^{2^n - 3} + \cdots + x + 1.
|
|
\end{align*}
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Por exemplo,
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%
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$$ \frac{x^8 - 1}{x - 1} = (x^4 + 1)(x^2 + 1)(x + 1)
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= x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.
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$$
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|
%
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%% O termo de maior grau precisa ser uma potência de 2 e o outro termo
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%% precisa ser $-1$. Um quadrado qualquer não vai servir.
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\end{remark*}
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\begin{theorem*}
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Let $f$ be continuous at $b$. Let lim $g(x)$ = $b$ as $x \to a$. Then
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%
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$$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$$
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|
%
|
|
as $x \to a$.
|
|
\end{theorem*}
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%% \begin{remark*}
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|
%% Já usei esse teorema tantas vezes.
|
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%% \end{remark*}
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\begin{theorem*}\label{thm:compose-continuous}
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|
Let $g$ be continuous at $a$. Let $f$ be continuous at $g(a)$. Then $f
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\circ g$ is continuous at $a$. That is, $f(g(x))$ is continuous at
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|
$a$.
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|
\end{theorem*}
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\begin{remark*}
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Em palavras, o teorema afirma que uma composição de funções contínuas
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|
é contínua.
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\end{remark*}
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\begin{theorem}\label{thm:continuity-alternative}
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|
Uma função $f$ é contínua em $a$ se e somente se $\lim f(a + h) = f(a)$
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|
com $h \to 0$.
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|
\end{theorem}
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\begin{proof}
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|
Sendo contínua, partimos de $\lim f(x) = f(a)$. Aplicando o
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|
Teorema~\ref{thm:compose-continuous} à função $g(h) = a + h$ nos dá
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%
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$$
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|
\lim_{h \to 0} f(a + h) = f(\lim_{h \to 0} a + h) = f(a),
|
|
$$
|
|
%
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|
o que prova a implicação direta. Pra provar a implicação conversa,
|
|
partiremos de $\lim f(a + h) = f(a)$ com $h \to 0$ e usaremos a
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|
definição de limite pra mostrar que o limite existe e é igual a
|
|
$f(a)$, que é a Definição~\ref{def:continuous}. Seja $e > 0$. Por
|
|
hipótese, $\lim f(a + h) = f(a)$, então existem $d > 0$ tal que $0 <
|
|
|h| <d$ implica $|f(a + h) - f(a)| < e$. Agora coloque $h = x - a$ e
|
|
observe que $0 < |x - a| < d$ implica
|
|
%
|
|
$$|f(a + x - a) - f(a)| = |f(x) - f(a)| < e,$$
|
|
%
|
|
de onde deduzimos que $\lim f(x) = f(a)$ com $x \to a$, isto é, $f$ é
|
|
contínua em $a$.
|
|
\end{proof}
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\begin{theorem}
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|
A função seno e cosseno são contínuas.
|
|
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Pra provar que seno é contínua, precisamos mostrar que $\lim \sin(x) =
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|
\sin(a)$ com $x \to a$ pra todo número real $a$. O
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Teorema~\ref{thm:continuity-alternative} afirma que uma função é
|
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contínua em $a$ se e somente se $f(a + h)$ = $f(a)$ com $h \to
|
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0$. Usaremos o fato de que $\lim \cos(x) = 1$ com $x \to 0$ and $\lim
|
|
\sin(x) = 0$ com $x \to 0$ pra mostrar que $\sin(x)$ é contínua.
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|
O que precisamos fazer é aplicar a identidade abaixo e fazer as
|
|
deduções, obtendo
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%
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\begin{align*}
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\lim_{h\to 0}\sin(a + h) &= \sin a \cos h + \cos a\sin h\\
|
|
&= \sin a \cos h + \cos a\times 0\\
|
|
&= \sin a,
|
|
\end{align*}
|
|
%
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|
como desejado. O cosseno pode ser provado pela mesma estratégia
|
|
usando-se a identidade $\cos(a + h) = \cos(a)\cos(h) -
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|
\sin(a)\sin(h)$. Veja Seção~\ref{sec:trig-identities}.
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|
\end{proof}
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\begin{exercise*}
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For what values of $x$ is $f$ continuous? \[
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f(x) = \begin{cases}
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0 & \text {if $x$ is rational},\\
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1 & \text {if $x$ is irrational}
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|
\end{cases}
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|
\]
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|
Surely for no value because there are rationals and irrationals
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anywhere you look on the real line, so the limit of $f$ as $x\to a$,
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|
any real $a$, will never exist. (But we should practice and prove
|
|
this with a technical argument.)
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|
\end{exercise*}
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|
\begin{exercise*}
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|
Mostre que $|x|$ é contínua em toda a linha real. Depois prove que se
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|
$f$ é contínua em um intervalo, então $|f|$ também é. Por fim
|
|
responda se a continuidade de $|f|$ num intervalo implica a
|
|
continuidade de $f$. Se não for, encontre um contra-exemplo.
|
|
|
|
Que $|x|$ é contínua em toda a linha é certamente verdadeiro: a quina
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|
em $x=0$ não é qualquer problema porque ambos os lados de $x=0$ estão
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|
o quão próximo desejarmos de zero.
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|
|
|
O converso do teorema é falso. Por exemplo, seja $f$ uma função com
|
|
valor $-1$ para $x < 0$ e valor $1$ para $x \geq 0$, que é discontínua
|
|
em $x = 0$, mas $|f|$ é a função constante de valor $1$, que é
|
|
contínua em toda a linha real, ou seja, a continuidade de $|f|$ não
|
|
implica a continuidade de $f$. Mas se $f$ for contínua em um
|
|
intervalo e, caso ela tenha um valor negativo num pedaço desse
|
|
intervalo, a função $|f|$ poderá no máximo ter uma quina, o que não
|
|
prejudica a continuidade de $f$, como ocorre com $|x|$.
|
|
|
|
O projeto do exercício é isso aí: perceba que a quina de $|x|$ não
|
|
viola a continuidade da função e como isso se generaliza pra uma
|
|
função $f$ contínua qualquer, observando que o converso não ocorre.
|
|
\end{exercise*}
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|
\begin{theorem}[do valor intermediário]\label{thm:ivt}
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|
Suppose that $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$ and let
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|
$N$ be any number between $f(a)$ and $f(b)$. Then there there exists a
|
|
number $c$ in $[a,b]$ such that $f(c)$ = $N$.
|
|
\end{theorem}
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|
\begin{exercise*}
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|
Existe número real que seja exatamente um a mais que seu cubo? Em
|
|
símbolos, existe $x$ tal que $x = x^3 + 1$? Aplicamos o
|
|
Teorema~\ref{thm:ivt}. Quais as raízes da função $x - x^3 - 1$? Se
|
|
houver uma raiz real, então existe tal número. Compute $f(-2) = -2 +
|
|
8 - 1 = 5 > 0$. Compute $f(0) = -1 < 0$. A função é contínua, então
|
|
ela tem que cruzar o eixo $x$ em $[-2, 0]$.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\begin{exercise*}
|
|
Suponha $f$ contínua em $[1,5]$ e que as únicas soluções da equação
|
|
$f(x) = 6$ são $x = 4$ e $x = 1$. Se $f(2) = 8$, prove que $f(3) >
|
|
6$. Prove por contradição. Suponha que $f(3) \leq 6$. Faça um
|
|
desenho do gráfico. Desenho o ponto (1, 6), (2, 8) e (4, 6). A
|
|
função é contínua. Se $f(3) = 6$, violamos a hipótese das únicas
|
|
soluções. Se $f(3) < 6$, então o Teorema~\ref{thm:ivt} implica que
|
|
tem que haver $c$ em $(2, 3)$ tal que $f(c) = 6$: a função teria que
|
|
descer de $f(2)=8$ até $f(3) < 6$, o que faz com que ela
|
|
necessariamente passe por um ponto $c$ satisfazendo $f(c) = 6$.
|
|
\end{exercise*}
|
|
|
|
\section{Derivatives}
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\masciidef{} The derivative of a function $f$ at a point $x = a$, written
|
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$f'(a)$ is defined to be
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%v
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\begin{equation}\label{def:derivative}
|
|
f'(a) = \lim_{h \to 0} \fr{f(a + h) - f(a)}{h}.
|
|
%e
|
|
\end{equation}
|
|
\defend
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|
This definition comes from a similar one. The derivative is the
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|
function that describes the slope of a tangent to a curve in some
|
|
point. If we consider a curve $f$ at some point $a$ and draw a tangent
|
|
to $f$ at the point $a$, then you can estimate the slope by
|
|
$$\fr{f(x) - f(a)}{x - a},$$ for some $a$ near $x$. That's an
|
|
estimate. We would get a closer estimate if we choose a number $x$
|
|
closer to $a$ than the previous. If we choose $x$ exactly equal to
|
|
$a$, we get a division by zero and we go beyond what the definition of
|
|
limit lets us do. Considering the limit of the expression as $x$
|
|
approaches $a$, we get $$f'(a) = \lim_{x \to a} \fr{f(x) - f(a)}{x -
|
|
a},$$ which is the derivative of the function $f$ at a point $a$
|
|
with a substitution of $h$ for $x - a$.
|
|
|
|
Let $h = x - a$, then $x = h + a$. Notice that as $x$ approaches $a$,
|
|
$x - a$ approaches 0. So if $x$ approaches $a$, then $h$ approaches
|
|
0. So replace $x$ by $h + a$ noticing that $h$ approaches 0 as $x$
|
|
approaches $a$ and we get Equation~\ref{def:derivative}. So both
|
|
definitions are equivalent.
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\newcommand{\Dx}{\Delta x}
|
|
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
|
|
\newcommand{\D}[1]{\Delta{#1}}
|
|
\newcommand{\Du}{\Delta u}
|
|
\newcommand{\Dv}{\Delta v}
|
|
|
|
\begin{theorem*}
|
|
A derivada de $ax$ é $a$.
|
|
\end{theorem*}
|
|
\begin{proof}
|
|
Por definição,
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} &= \lim \frac{a(x + h) - ax}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{ax + ah - ax}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{a h}{h}\\
|
|
&= a \lim \frac{h}{h}\\
|
|
&= a,
|
|
\end{align*}
|
|
como desejado.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{theorem*}
|
|
A derivada de $ax^2$ é $2ax$.
|
|
\end{theorem*}
|
|
\begin{proof}
|
|
Por definição,
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
|
|
&= \lim \frac{a(x + h)^2 - ax^2}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{a(x^2 + 2xh + h^2) - ax^2}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{\cancel{ax^2} + 2axh + ah^2 - \cancel{ax^2}}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{\cancel{h}(2ax + ah)}{\cancel{h}}\\
|
|
&= \lim 2ax + ah\\
|
|
&= \lim 2ax\\
|
|
&= 2ax,
|
|
\end{align*}
|
|
como desejado.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{theorem*}
|
|
A derivada de $ax^3$ é $3ax^2$.
|
|
\end{theorem*}
|
|
\begin{proof}
|
|
Por definição,
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
|
|
&= \lim \frac{a(x + h)^3 - ax^3}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{a(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - ax^3}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{\cancel{ax^3} + 3ax^2h + 3axh^2 + ah^3 - \cancel{ax^3}}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{\cancel{h}(3ax^2 + 3axh + ah^2)}{\cancel{h}}\\
|
|
&= \lim 3ax^2 + 3axh + ah^2\\
|
|
&= 3ax^2,
|
|
\end{align*}
|
|
como desejado.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Relevante é o Teorema Binomial.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Os dados coletados são
|
|
|
|
\begin{table}[htb]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{r|c}
|
|
função & derivada \\\toprule
|
|
$ax^1$ & $ax^0 = a$\\
|
|
$ax^2$ & $3ax^1 = 2ax$\\
|
|
$ax^3$ & $3ax^2$\\
|
|
$\vdots$ & $\vdots$\\
|
|
$ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\caption{A regra da potência.}
|
|
\label{tb:regra-potência}
|
|
\end{table}
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\undef\d\newcommand{\d}{\frac{d}{\dx}}
|
|
|
|
\begin{theorem*}[regra da soma]
|
|
Se $f$ e $g$ são deriváveis, então
|
|
%
|
|
$$\d (f(x) + g(x)) = \d f(x) + \d g(x)$$
|
|
%
|
|
\end{theorem*}
|
|
\begin{proof}
|
|
Seja $F(x) = f(x) + g(x)$. Por definição,
|
|
%
|
|
\begin{align*}
|
|
\d (f(x) + g(x)) &= \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{f(x + h) + g(x + h) - (f(x) + g(x))}{h}\\
|
|
&= \lim \frac{f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)}{h}\\
|
|
&= \lim \left(\frac{f(x + h) - f(x) + g(x + h) - g(x)}{h}\right)\\
|
|
&= \lim \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim \frac{g(x + h) - g(x)}{h}\\
|
|
&= \d f(x) + \d g(x),
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
como desejado.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
A regra do produto é mais envolvente. Stewart oferece uma analogia
|
|
que é bem útil. Suponha que $f$ e $g$ sejam sempre positivas, o que
|
|
nos permite pensar em $fg$ como uma área, como uma a área de um
|
|
retângulo. É uma analogia pra dar um sentido geométrico à variação
|
|
$\Delta (fg)$ e nos ajudar a escrever a prova do fato.
|
|
|
|
\begin{theorem*}[regra do produto]
|
|
Se $u = f(x)$ e $v = g(x)$ são diferenciáveis, então
|
|
%
|
|
$$\d f(x)g(x) = (uv)' = u'v + u v' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$
|
|
%
|
|
\end{theorem*}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Se $x$ variar uma quantidade pequena, como $\Dx$, então as variações
|
|
de $u$ e $v$ são $\Du = f(x + \Dx) - f(x)$ e $\Dv = g(x + \Dx) -
|
|
f(x)$. Logo, a variação do produto é
|
|
%
|
|
\begin{align*}
|
|
\D{(uv)} &= (u + \Du)(v + \Dv) - uv\\
|
|
&= \cancel{uv} + u\Dv + v\Du + \Du\Dv - \cancel{uv}\\
|
|
&= u\Dv + v\Du + \Du\Dv,
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
Agora divida essa equação por $\Dx$ e compute o limite à medida que
|
|
$\Dx \to 0$. Obtemos
|
|
%
|
|
\begin{align*}
|
|
(uv)' &= \lim_{\Dx \to 0} \frac{\D{(uv)}}{\Dx}\\
|
|
&= \lim_{\Dx \to 0} \frac{u\Dv + v\Du + \Du\Dv}{\Dx},\\
|
|
&= \lim_{\Dx \to 0} \left(\frac{u\Dv}{\Dx} + \frac{v\Du}{\Dx} + \frac{\Du\Dv}{\Dx}\right),\\
|
|
&= \lim_{\Dx \to 0} \left(u\frac{\Dv}{\Dx} + v\frac{\Du}{\Dx} + \Du\frac{\Dv}{\Dx}\right),\\
|
|
&= u\lim_{\Dx \to 0}\frac{\Dv}{\Dx} + v\lim_{\Dx \to 0}\frac{\Du}{\Dx} + \left(\lim_{\Dx \to 0}\Du\right)\frac{\Dv}{\Dx},\\
|
|
&= u\lim_{\Dx \to 0}\frac{\Dv}{\Dx} + v\lim_{\Dx \to 0}\frac{\Du}{\Dx} + \cancel{0 \cdot \frac{\Dv}{\Dx}},\\
|
|
&= uv' + vu',
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
como desejado.\end{proof}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Por que $\Du \to 0$? Porque $\Du = f(x + \Dx) - f(x)$. Em palavras,
|
|
$\Du$ vai pra zero quando $\Dx$ vai pra zero.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Observe que parte da sequência de equações foi escrita de trás pra
|
|
frente. Pra expressar o limite de uma soma como uma soma de limites,
|
|
precisamos saber se o limite dos termos de fato existe. Mas, se
|
|
soubermos que o limite dos termos de fato existe, a prova está
|
|
essencialmente terminada.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
A regra do quociente também aparece com aplicação direta da definição
|
|
de derivada como o limite da razão de variações. Suponha uma pequena
|
|
variação em $x$, o que implica uma pequena variação em $u$ e $v$.
|
|
Compute então a variação do quociente $u/v$ e deixe a álgebra
|
|
trabalhar --- que é computar a subtração das frações já que temos uma
|
|
diferença de quocientes envolvida aqui.
|
|
|
|
\begin{theorem*}[regra do quociente]
|
|
Se $u = f(x)$ e $v = g(x)$ são diferenciáveis, então
|
|
%
|
|
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}.$$
|
|
%
|
|
\end{theorem*}
|
|
\begin{proof}
|
|
Comece considerando a variação do quociente, que por definição é
|
|
%
|
|
\begin{align*}
|
|
\D{\left(\frac{u}{v}\right)}
|
|
&= \frac{u + \Du}{v + \Dv} - \frac{u}{v}\\
|
|
&= \frac{v(u + \Du) - u(v + \Dv)}{v(v + \Dv)}\\
|
|
&= \frac{\cancel{uv} + v\Du - \cancel{uv} - u\Dv}{v(v + \Dv)}\\
|
|
&= \frac{v\Du - u\Dv}{v(v + \Dv)}.
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
Agora divida tudo por $\Dx \to 0$ e obtenha
|
|
%
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim \frac{\D{\left(\frac{u}{v}\right)}}{\Dx}
|
|
&= \lim \left(\frac{1}{\Dx} \frac{v\Du - u\Dv}{v(v + \Dv)}\right)\\
|
|
&= \lim \left(\frac{v\frac{\Du}{\Dx} - u\frac{\Dv}{\Dx}}{v(v + \Dv)}\right)\\
|
|
&= \frac{\lim\left(v\frac{\Du}{\Dx} - u\frac{\Dv}{\Dx}\right)}{\lim v(v + \Dv)}\\
|
|
&= \frac{v\lim\frac{\Du}{\Dx} - u\lim\frac{\Dv}{\Dx}}{v\lim(v + \Dv)}\\
|
|
&= \frac{vu' - uv'}{v^2},
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
como desejado.
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\end{proof}
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\begin{exercise*}
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Encontre o ponto onde duas retas perpendiculares entre si, tangentes à
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parábola $x^2$, se encontram no eixo $y$. O ponto existe, como
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ilustra a Figura~\ref{fg-x2-perpendicular-tangents}.
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%
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\begin{figure}[!htb]
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\centering
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\includegraphics[width=0.8\textwidth, angle=0]{images/x2-perpendicular-tangents.pdf}
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\caption{O ponto $(0, -1/4)$ é a interseção entre as tangentes à
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curva $x^2$ que são perpendiculares.}
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\label{fg-x2-perpendicular-tangents}
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\end{figure}
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%
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\sol. Sendo perpendiculares, o produto das inclinações das tangentes
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é $-1$, ou seja, no lado positivo a inclinação é $2a$ e no lado
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negativo, $- 1/(2a)$. Seja $a > 0$. A reta tangente no lado positivo
|
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é $y - a^2 = 2a(x - a) = 2ax - 2a^2$, implicando $y = 2ax - a^2$.
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Similarmente, no lado negativo, obtemos a reta tangente $y - (-a)^2 =
|
|
(-1/(2a))(x - (- a))$, implicando $y = (-1/(2a)x) + a^2 -1/2$.
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|
Estamos interessados no ponto de encontro entre as tangentes no eixo
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$y$, se elas de fato se encontram lá. Iguale as equações de ambas
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tangentes e coloque $x = 0$, obtendo
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%
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\begin{align*}
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2ax - a^2 &= -\frac{1}{2a}x + a^2 -\frac{1}{2}\\
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2a^2 &= \frac{1}{2}\\
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a^2 &= \frac{1}{4}\\
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a &= \pm \frac{1}{2},
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\end{align*}
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%
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o que nos revela que as tangentes relativas aos pontos $x = - 1/2$ e
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$x = 1/2$ são perpendiculares se encontram no eixo $y$. Elas têm
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inclinação $-1$ e $1$, logo quando $x=0$, obtemos $y = - 1/4$, como
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desejado.
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\end{exercise*}
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\begin{exercise}\label{exe:hiperbole}
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Considere a hipérbole $xy = c$. Marque qualquer ponto na curva.
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Trace a reta tangente à curva ao ponto. Essa reta forma um triângulo
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retângulo sendo os eixos $x, y$ os catetos. Mostre que a coordenada
|
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$x$ do ponto é o ponto médio entre a origem a inserseção entre a reta
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tangente e eixo $x$. Em seguida, mostre que a área do triângulo é uma
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constante~\cite[exercício~76, seção~3.1]{calculo}.
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\begin{figure}[!htb]
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\centering
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/hyperbole-triangle-constant-area.pdf}
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\caption{Não importa que ponto na tangente escolhemos, a área do
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triângulo é sempre $2c$.}
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\label{fg-hyperbole-triangle}
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\end{figure}
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\sol. Mostraremos primeiro que a coordenada da interseção entre a
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tangente e o eixo $x$ é $2p$, sendo $p$ a coordenada $x$ do ponto
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escolhido. Seja o que ocorrer no lado positivo da hiperbóle, ocorrerá
|
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no lado negativo porque a hipérbole é uma função ímpar. Seja $p > 0$.
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|
A derivada é $y' = - c/x^2$, logo $y'(p) = -c/p^2$. A reta tangente tem
|
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equação
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\begin{align*}
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y - \frac{c}{p} &= - \frac{c}{p^2}(x - p)\\
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y &= -\frac{cx}{p^2} + \frac{2c}{p}
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|
\end{align*}
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%
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|
e intercepta o eixo $x$ quando $y = 0$. Logo,
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%
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\begin{align*}
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0 &= -\frac{cx}{p^2} + \frac{2c}{p}\\
|
|
\frac{cx}{p^2} &= \frac{2c}{p}\\
|
|
x &= 2p,
|
|
\end{align*}
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%
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como desejado. Pra mostrar que a área do triângulo é constante,
|
|
precisamos da altura dele. A altura é obtida quando $x = 0$. Obtemos
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%
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\begin{equation}\label{eq:hiperbole-altura}
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y = 2c/p.
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\end{equation}
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%
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|
Logo, a área do triângulo é
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%
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$$\frac{1}{2} 2p \frac{2c}{p} = 2c,$$
|
|
%
|
|
uma constante.
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\end{exercise}
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|
|
\begin{exercise}\label{exe:hiperbole2}
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Let $t(x)$ be the equation of the tangent line to the curve $1/x$ at
|
|
the point $(x, 1/x)$. Let $u(x)$ be the function that maps $x$ to the
|
|
intersection that $t(x)$ makes with the $y$-axis. Compute the
|
|
derivative of $u(x)$ at the point $x=1$.
|
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%
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\begin{figure}[!htb]
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\centering
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\includegraphics[width=0.8\textwidth, angle=0]{images/tangent-intercepts-vertical-axis.pdf}
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\caption{À medida que o ponto $A$ se move pra direita, o ponto $B$
|
|
desce em direção à origem. O problema está perguntando --- quão
|
|
rápido $B$ está descendo quando $A$ passa pelo ponto $x = 1$?}
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\label{fg:how-fast-B-goes-down}
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\end{figure}
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%
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|
The problem is asking me to find out how fast the intersection between
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the $y$-axis and the tangent $t(x)$ is going down as it passes by $x =
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1$ as we move $x$ to the right, as depicted by
|
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Figure~\ref{fg:how-fast-B-goes-down}.
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\sol. The derivative of $1/x$ is $- 1/x^{2}$. It looks like I need
|
|
to use a general point $x = a$, otherwise I can't get an algebraic
|
|
formula for $u(x)$. The slope of the tangent at $(a, 1/a)$ will be
|
|
$-1/a^2$. Now the tangent line is
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%
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\begin{align*}
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t(x) - \frac{1}{a} &= -\frac{1}{a^2}(x - a)\\
|
|
t(x) &= -\frac{x}{a^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{-x + 2a}{a^2}.
|
|
\end{align*}
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|
%
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|
It turns out the function $u(x)$ being the function that measures how
|
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high $t(x)$ intercepts the vertical axis, we'll end up having $u(a)$
|
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and not $u(x)$ because we'll fix $x$ and let $a$ vary, since the
|
|
interception happens at $x = 0$. Therefore,
|
|
%
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|
$$u(a) = t(0) = \frac{2a}{a^2} = \frac{2}{a}.$$
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|
%
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|
I want the derivative of $u(a)$ at $a = 1$,
|
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%
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\begin{align*}
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u'(a) = \frac{-2}{a^2}.
|
|
\end{align*}
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|
%
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|
At $a=1$, we get $u'(1) = 1$. The slope of $u(a)$ looks reasonable
|
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because it is always negative and because it goes to zero as $a$ grows
|
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without a bound.
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\end{exercise}
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\begin{remark*}
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Usando o exercício~\ref{exe:hiperbole}, sabemos que a tangente à curva
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$1/x$ toca o eixo $y$ na altura $y = 2/p$ já que $c=1$ na hipérbole
|
|
$1/x$. Assim, o exercício~\ref{exe:hiperbole2} é solucionado
|
|
meramente computando a derivada de $2/p$, que é $-2/p^2$ e quando
|
|
$p=1$, a derivada é $-2$, como desejado.
|
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\end{remark*}
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\subsection{The chain rule}
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Suppose I write
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%
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$$f(x) = x^2.$$
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%
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This means that $f$ is a function of $x$. Now, if I say: differentiate
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|
$f$ with respect to $t$, someone would write
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%
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$$\fr{df}{dt} = 2x \fr{dt}{dx}$$
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%
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because
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%
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$$\fr{df}{dt} = \fr{df}{dx} \fr{dx}{dt}.$$
|
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%
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|
I'd like to justify this. Looking at Stewart, he says that it's
|
|
reasonable to consider derivatives as rates of change; that's alright
|
|
with me.
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|
|
Also, he says that the derivative of a composition of functions
|
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$h(g(x))$ is the product of the derivatives $h$ and $g$. So
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%
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$$[h(g(x)]' = h'(g(x)) g'(x) x'$$
|
|
%
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|
but since we're differentiating with respect to $x$, we get
|
|
%
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|
$$[h(g(x)]' = h'(g(x)) g'(x)$$
|
|
%
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|
because $x' = 1$.
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|
|
In the function $f$, however, where's $t$? I think that we have to
|
|
suppose that $x$ is a function of $t$: $x(t)$. So we rewrite $f$ as
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%
|
|
$$f(x) = x(t)^2.$$
|
|
%
|
|
Now, differentiating it, we need the chain rule which would say
|
|
%
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|
$$\fr{df}{dt} = 2x(t) \fr{dx}{dt}.$$
|
|
%
|
|
But, the truth is that here $x$ has no relationship with $t$ --- we
|
|
didn't specify any, so it doesn't make any sense to draw such a
|
|
relationship here. However, these relationships exist in related
|
|
rates problems, so there to express the chain rule using Leibniz
|
|
notation is useful and that's why we do it.
|
|
|
|
Now, I'd like to investigate why the chain rule is as it is,
|
|
without resorting to a formal proof of it. I want an intuitive
|
|
idea of why the rate of change of a composition is the product of
|
|
the rate of change of each of the functions involved in the
|
|
composition.
|
|
|
|
It's funny that the for a function $a(x) = b(x)c(x),$ the derivative of
|
|
$a(x)$ is not the product of the derivatives of $b(x)$ and $c(x)$, but
|
|
if $a(x) = b(c(x))$, then it is --- the derivative of $a(x)$ is the
|
|
product of the derivatives of $b(x)$ and $c(x)$.
|
|
|
|
Consider $f(x(t))$; that is, the composition of $f$ and $x$ and $t$. I
|
|
want the rate of change of $f$ with respect to $t$. But $f$ is related
|
|
to $t$ through $x(t)$. So I reason: if $x$ changes twice as fast
|
|
compared to the changes in $t$, and $f$ changes three times as fast
|
|
compared to the changes in $x(t)$, then we would expect $f$ to change
|
|
six times as fast compared to $t$.
|
|
|
|
If $t$ causes a double change in $x$, and $x$ causes a triple change in
|
|
$f$, then $t$ causes a ``sixple'' change in $f$. This is a principle of
|
|
mathematics. I think that this is called the Counting Principle.
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The chain rule expresses a chain of dependences between functions. Such
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|
dependence is resolved by the operation of multiplication because the
|
|
dependence is an instance of the counting principle.
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|
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|
The same does not happen to the product of two functions. The derivative
|
|
of $f(x)g(x)$ cannot be obtained by an application of the chain rule. If
|
|
so, then in order for us to be able to differentiate any function, we
|
|
need the product rule, and the chain rule.
|
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\subsection{Related rates}
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Related rates involve direct applications of the chain rule. Suppose
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that oxygen is being pumped into a balloon --- let it be spherical, so
|
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that we can use the volume of a sphere which is widely known. Suppose
|
|
that the rate which oxygen goes in is 10 cubic meters per second ---
|
|
whatever. Now, as the balloon grows in volume, the volume grows ---
|
|
evidently --- and the radius of the balloon also grows. We may ask: how
|
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fast is the radius growing when the diameter of the balloon is 1 meter?
|
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|
The rate at which oxygen is pumped is a derivative
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%
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$$\fr{dV}{dt} = 10 \fr{m^3}{s}.$$
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%
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We know that volume of a sphere is described by
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%
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$$V = \fr{4}{3} \pi r^3$$
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%
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|
which connects volume to the radius. We want the rate of growth of the
|
|
radius, so we're looking for a derivative of the volume with respect to
|
|
the radius; we were given the derivative of the volume with respect to
|
|
time. We then express the change in volume with respect to the change in
|
|
the radius by using the chain rule. That is,
|
|
%
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\begin{align*}
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\fr{dV}{dt} &= \fr{dV}{dr} \fr{dr}{dt}\\
|
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&= 4 \pi r^2 \fr{dr}{dt}
|
|
\end{align*}
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%
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|
Connection established. We now solve for $dr/dt$.
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%
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$$\fr{dV}{dt} \fr{1}{4 \pi r^2} = \fr{dr}{dt}.$$
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%
|
|
But since $\fr{dV}{dt} = 10 \fr{m^3}{s}$, we have
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|
%
|
|
$$\fr{{10 m^3/s}}{4 \pi r^2} = \fr{dr}{dt}.$$
|
|
%
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|
When the diameter is 1 meter, the radius is 0.5 meters, so
|
|
%
|
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\begin{align*}
|
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\fr{{10 \frac{m^3}{s}}}{4 \pi (0.5)^2} &= \fr{dr}{dt}\\
|
|
\fr{10}{\pi} &= \fr{dr}{dt},
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
so the radius of the balloon is growing at a speed of $\fr{10}{\pi}$
|
|
meters per second.
|
|
|
|
\subsection{Linearizations}\label{sec:linearization}
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Suppose that we want to find the tangents to
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$$\fr{x}{x + 1}$$ that touch the point (1,2). We would first compute
|
|
the derivative of the curve which is
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%
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$$\fr{1}{(x + 1)^2}.$$
|
|
%
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Now, these tangents will look like
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%
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$$y - f(a) = f'(a) (x - a).$$
|
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%
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This is the point-slope formula of a line. We know that the slope of a
|
|
line is found by using two points of the line and computing
|
|
%
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$$\fr{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = s,$$
|
|
%
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|
so $y_2 - y_1 = s (x_2 - x_1).$ Here, however, we only have one point,
|
|
but we also have a form for the slope. At a point $x = a$, we have
|
|
%
|
|
$$y_2 - f(a) = \fr{1}{(a + 1)^2} (x_2 - a),$$
|
|
%
|
|
so for these tangents to touch (1,2) it must be true that
|
|
%
|
|
$$2 - \fr{a}{(a + 1)} = \fr{1}{(a + 1)^2} (1 - a).$$
|
|
%
|
|
Now, which numbers $a$ are solutions to this equation? They're $-2 -
|
|
\sqrt{3}$, and $-2 + \sqrt{3}$. This gives us two lines; they are
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|
%
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\begin{align*}
|
|
y - \fr{(-2 - \sqrt{3})}{(-2 - \sqrt{3} + 1)} &=
|
|
\fr{(x - (-2 - \sqrt{3}))}{(-2 - \sqrt{3} + 1)}^2\\
|
|
y - \fr{(-2 + \sqrt{3})}{(-2 + \sqrt{3} + 1)} &=
|
|
\fr{(x - (-2 + \sqrt{3}))}{(-2 + \sqrt{3} + 1)}^2.
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
Now, because these two lines are tangents to the curve, they share
|
|
nearby points when $x$ is close enough to 1. So, under these
|
|
circumstances, we may say that
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|
%
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|
$$f(x) = L(x) = f(a) + f'(a)(x - a),$$
|
|
%
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for $x$ nearby $x = a.$
|
|
|
|
\subsection{Sobre a palavra ``tangente''}
|
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|
A linearização de uma curva, o que analisamos na
|
|
Seção~\ref{sec:linearization}, é a obtenção de uma reta tangente a uma
|
|
curva $f(x)$. O nome ``tangente'' é usado primeiramente
|
|
trigonometria. Por que a palavra ``tangente'' reaparece na
|
|
linearização local de uma curva? A palavra vem do Latim {\em tangens}
|
|
que significa tocar. Usando o círculo unitário, desenhe um ângulo
|
|
agudo no primeiro quadrante e chame-o de $\alpha$. A linha reta que
|
|
determina $\alpha$ tem uma inclinação, que é
|
|
%
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$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg \alpha.$$
|
|
%
|
|
Quando calculamos a inclinação de uma reta tangente a uma curva
|
|
$f(x)$, obtemos exatamente a tangente de um ângulo $\alpha$ formado
|
|
pela reta tangente à curva $f(x)$ e o eixo $x$.
|
|
|
|
Quando computamos uma aproximação da inclinação da reta tangente,
|
|
fazemos referência a retas ``secantes''. O termo ``secante'' vem do
|
|
Latim ``secans'', que significa cortar. No círculo unitário, a reta
|
|
secante corta o círculo. Ao estimarmos a inclinação de uma reta
|
|
tangente a uma curva, uma secante tende toca a curva em dois pontos,
|
|
ou seja, corta um pedaço da curva.
|
|
|
|
Veja também a Seção~\ref{sec:sine-cosine} pra compreender o ``co'' em
|
|
``cosseno''.
|
|
|
|
\subsection{Differentials}
|
|
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|
If $y = f(x)$, where $f$ is a differentiable function, then the
|
|
differential $dx$ is an independent variable; that is, $dx$ can be given
|
|
the value of any real number. The differential $dy$ is then defined in
|
|
terms of $dx$ by the equation
|
|
%
|
|
$$dy = f'(x) dx$$
|
|
%
|
|
So $dy$ is a dependent variable; it depends on the values of $x$ and
|
|
$dx.$ If $dx$ is given a specific value and $x$ is taken to be some
|
|
specific number in the domain of $f$, then the numerical value of $dy$
|
|
is determined.
|
|
|
|
Suppose that $P$ is a point on a curve $f(x)$ with coordinates ($x$,
|
|
$f(x)$) and that $Q$ is some point a little further on the curve with
|
|
coordinates $(x + \Delta x, f(x + \Delta x)).$ Let $dx = \Delta
|
|
x$. Then, the change in $y$ is
|
|
%
|
|
$$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x).$$
|
|
%
|
|
Certainly, because $f(x + \Delta x)$ is the height of the point $Q$;
|
|
then, if we subtract the height of the point $P$, we get the change in
|
|
$y$ as we moved from $P$ to $Q$.
|
|
|
|
Now, $dy$ expresses the change in the linearization of $f(x)$, which for
|
|
a concave down curve with positive slope, would be larger than $\Delta
|
|
y$.
|
|
|
|
In a concave down graph with positive slope, for example, let $L(x)$ be
|
|
a tangent to the curve at $P$. So $\Delta y < dy$. The value of $\Delta
|
|
y$ is simply $f(x + \Delta x) - f(x)$, so the value of $dy$ should be
|
|
something like $L(x + \Delta x) - L(x)$. However, the value of $dy$ is
|
|
$f'(x) dx$. So it must follow that
|
|
%v
|
|
$$L(x + \Delta x) - L(x) = f'(x) \dx.$$
|
|
%e
|
|
|
|
%% \subsection{Newton's method}
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|
%% Newton's method is a clever way to extract good approximations of roots
|
|
%% of equations if you have a good clue of where the root is. Without the a
|
|
%% good clue, there may not be any good result.
|
|
|
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%% The point slope form of a line is %cm
|
|
|
|
%% y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1),
|
|
|
|
%% where x_1 is a given number. If we set y = 0 in this equation, then we
|
|
%% find the root of it; the number x in which y = 0. If the slope is not
|
|
%% zero, we may write %align by =
|
|
|
|
%% 0 - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)
|
|
%% - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)
|
|
%% - f(x_1)/f'(x_1) = x - x_1
|
|
%% - f(x_1)/f'(x_1) + x_1 = x
|
|
|
|
%% \fr{- f(x_1)}{f'(x_1)} = x - x_1
|
|
%% \fr{- f(x_1)}{f'(x_1)} + x_1 = x - x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% 0 - f(x_01
|
|
|
|
%% Exercise. Start with x_1 = -1, and find the real root of f(x) = x^3+x+1=0.
|
|
|
|
%% Solution. A formula for the slope is 3x^2 + 1, so a tangent line is %cm
|
|
|
|
%% y - f(-1) = (3x^2 + 1)(x - x_1),
|
|
|
|
%% which in turn gives us easily a root x = -3/4 if we set y = 0. So -3/4
|
|
%% becomes our next guess. We write %cm
|
|
|
|
%% y - f(-3/4) = (3(-3/4)^2 + 1)(x - (-3/4))
|
|
%% 0 - 0.671875 = 2.6875x + 2.015625
|
|
%% 2.6875 = 2.6875x
|
|
%% 1 = x
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\subsection{More on differentiation}
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\masciith{extreme value theorem} If $f$ is continuous on a closed
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interval $[a,b]$, then $f$ attains an absolute maximum value $f(c)$ and
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an absolute minimum value $f(d)$ at some numbers $c$ and $d$ in
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$[a,b]$.\theend
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\masciith{fermat's theorem} If $f$ has a local maximum or minimum at
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$c$, and if $f'(c)$ exists, then $f'(c) = 0$. \theend
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\masciiproof We need to assume a local maximum and show the conclusion,
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then a local minimum and show the conclusion, but both phases are
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similar, so we'll write only one.
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Let $f(c)$ be a local minimum. So $f(c) \leq f(x).$ Later.\profend
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\masciidef{} A critical number of a function $f$ is a number $c$ in the
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domain of $f$ such that $f'(c)$ or $f'(c)$ does not exist. \defend
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\masciith{fermat's theorem} If has a local maximum of minimum at $c$,
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then $c$ is a critical number of $f$. \theend
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From this, and supposing that we have implemented an algorithm to
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compute derivatives of functions, then we can write a program that can
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answer the critical numbers of a function.
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\masciith{} Let $f(x)$ be continuous on a closed interval $[a,b]$. (1)
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Compute all critical points in $(a,b)$. (2) Compute the values of $f$ at
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%
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$$x = a \text{ and } x = b.$$
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%
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Now, the largest computed value in (2) and (3) is the absolute maximum;
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the smallest is the absolute minimum. \theend
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%e
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\masciiexe{} Show that 5 is a critical number of
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%v
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$$g(x) = 2 + (x - 5)^3,$$
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%e
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and show that $g(x)$ has no local extremum at $5.$
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{\em Solution.} A critical number $c$ is one in which $g'(c) = 0$ or $g'(c)$
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does not exist. We have $g'(5) = 0,$ so $5$ is a critical number.
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Assume that $5$ is a local maximum. Then $g(5) \geq g(x)$ for all $x$ in
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some open interval $(5 - d, 5 + d),$ where $d > 0.$ Let $x < 5.$ Then
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%align by <
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%v
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\begin{align*}
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x - 5 &< 0\\
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(x - 5)^3 &< 0\\
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2 + (x - 5)^3 &< 2.
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\end{align*}
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%e
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Let $x > 5.$ Then
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%v
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\begin{align*}
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x - 5 &> 0\\
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(x - 5)^3 &> 0\\
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2 + (x - 5)^3 &> 2.
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\end{align*}
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%e
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So there's no neighborhood of $5$ such that $g(5) \geq 2.$ \exeend
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\masciiexe{} Prove that $x^3 + x - 1 = 0$ has exactly one real root.
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{\em Solution.} Let $f(x) = x^3 + x - 1.$ Notice that $f(0) = -1$ and that $f(1) =$
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$1.$ Since polynomials are continuous, then there is a $c$ in $(0,1)$ such
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that $f(c) = 0,$ so $c$ is a root.
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Now, suppose that there are two roots, a and $b.$ Since they're roots,
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it's true that $f(a) = 0 = f(b).$ Notice that $f$ is continuous on $[a,b]$ and
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differentiable at $(a,b)$ so there's a number $d$ in $[a,b]$ such that $f'(d) =$
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$0.$ But $f'(x) = 3x^2 + 1 \geq 0$ for all $x,$ so no real $d$ is possible, and
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therefore, it's false that there are two roots, so there's only
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one. \exeend
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\masciiexe{} If $f(x)$ has a minimum value at $c,$ show that $-f(x)$ has
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a maximum value at $c.$
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{\em Solution.} If $f$ has a minimum at $c,$ then $f(c) \leq f(x)$ for all $x$
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in the domain of $f.$ Multiply this inequality by $-1$ to get $-f(c)
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\geq -f(x)$ for all $x$ in the domain of $f.$ So $c$ is a maximum for
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$-f(x).$ \exeend
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\masciiexe{} A cubic function is a polynomial of degree $3;$ that is, it
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has the form $f(x) = mx^3 + nx^2 + ox + p$, where $m \neq 0.$ Show that a
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cubic function can have no more than two critical numbers. How many
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local extrema can a cubic function have?
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{\em Solution.} Polynomials are differentiable, so there is no real number $c$
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to which $f'(c)$ does not exist. Notice that $f'(x) = 3mx^2 + 2nx + o$
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which is is a quadratic equation which has only two roots maximum, so no
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more than two critical numbers is possible. Every local extremum is a
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critical number, so no more than two would be possible. \exeend
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\subsection{The mean value theorem}
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Rolle's theorem says that a differentiable function that goes up and
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down has some $c$ such that $f'(c) = 0.$ The up and down criteria is that
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$f(a) = f(b)$ for a domain $[a,b].$ So let's write the theorem.
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\masciith{} Let $f$ be a function that satisfies: $f$ is continuous on the
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closed interval $[a,b], f$ is differentiable on the open interval $(a,b),$
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$f(a) = f(b).$ Then there is a number $c$ in $(a,b)$ such that $f'(c) = 0.$
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\masciiproof{} We prove in three cases. Case one: let $f(x)$ be a
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constant $k.$ Then $f'(x) = 0$ and so any number $c$ in $(a,b)$ can be
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taken. Case two: let $f(x) > f(a)$ for some $x$ in $(a,b).$ I'm bored
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here. Let's move on. \profend
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The Mean Value Theorem should be called perhaps the Same Slope Theorem.
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I don't really know why the word ``mean'' was chosen; perhaps there's
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more to it than what I know right now. The theorem says that if $f$ is
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very nice on $[a,b],$ then there is a number in the interval to which a
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tangent to the curve has the same slope as the secant $AB$ --- that is,
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a secant line from the $a$ to $b.$ The tangent would be parallel to this
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secant line, then.
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\masciith{mean value theorem} Let $f$ be continuous on $[a,b]$ and
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differentiable on $(a,b).$ There is a $c$ in $(a,b)$ such that $$f'(c) =
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\fr{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ \theend
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\masciiexe{} Suppose that $f(0) = -3$ and $f'(x) \leq 5$ for all $x.$ How
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large can $f(2)$ possibly be?
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{\em Solution.} We're given one point and a restriction for the slope of the
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function. Then we're asked how large can $f(2)$ be? Geometrically, plot
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the number $(0,-3)$ and take your ruler and position it as if you were
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going to draw a line with slope $5$ --- the maximum slope you can. Then,
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see how large $f(2)$ could be.
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Now, precisely. In the interval $[0,2],$ there is a number $c$ such that
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%align by =
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%v
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\begin{align*}
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f'(c) &= \fr{f(2)-f(0)}{2-0}\\
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&= \fr{f(2)+3}{2}.
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\end{align*}
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%e
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But we're looking for the highest value of $f(2),$ so we will use our
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highest slope possible: $5.$ That is,
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%v
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\begin{align*}
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5 &= \fr{f(2)+3}{2}\\
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10 &= f(2) + 3\\
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7 &= f(2).
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\end{align*}
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%e
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Très mignon, non? \exeend
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\masciith{} Let $f'(x) = 0$ for all $x$ in $(a,b).$ Then $f$ is constant. \theend
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\masciiproof{} Let $x_1$ and $x_2$ be any two distinct numbers in
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$(a,b),$ so $x_1 < x_2.$ Since $f$ is differentiable on $(a,b)$ it is
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differentiable on $(x_1, x_2)$ and therefore continuous on $[x_1, x_2].$
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By the mean value theorem, there's $c$ in $[x_1, x_2]$ such that $$f'(c)
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= \fr{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$
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Since $f'(x) = 0$ for all $x,$ then $f'(c) = 0.$ So
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%v
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\begin{align*}
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0 &= \fr{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\
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&= f(x_2) - f(x_1)\\
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|
f(x_1) &= f(x_2).
|
|
\end{align*}
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%e
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|
So $f$ has the same value at any two distinct numbers $x_1, x_2$ in $(a,b),$
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which by definition means that $f$ is constant. \profend
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\masciicor{} Let $f'(x) = g'(x)$ for all $x$ in $(a,b).$ Then $f - g$ is
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constant on $(a,b).$ That is, $f(x) = g(x) + c$ where $c$ is a
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constant. \corend
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\masciiproof{} Let $F(x) = f(x) - g(x).$ Then
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%v
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$$F'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$$
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%e
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for all $x$ in $(a,b).$ So $f(x) - g(x)$ is constant.\profend
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\masciiexe{} Let $f(x) = 1 - x^{2/3}.$ Show that $f(-1) = f(1)$ but
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there is no number $c$ in $(-1, 1)$ such that $f'(c) = 0.$ \exeend
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\masciiexe{} Let $f(x) = \sqrt[3]{x}$ be defined on $[0,1].$ Find all
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values that satisfy the mean value theorem.
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{\em Solution.} The function is differentiable on $(0,1),$ so by the
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mean value theorem there is a $c$ in $(0,1)$ such that
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%v
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\begin{align*}
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f'(c) &= \fr{f(0)-f(1)}{-1}\\
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|
f'(c) &= 1.
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|
\end{align*}
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%e
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Which number $c$ would be this one? It's true that $f'(x) =
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\fr{x^{-2/3}}{3}.$ So
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%v
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\begin{align*}
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\fr{c^{-2/3}}{3} &= 1\\
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c^{-2/3} &= 3\\
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\fr{1}{\sqrt[3]{c^2}} &= 3\\
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\fr{1}{c^2} &= 27\\
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|
\fr{1}{27} &= c^2\\
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|
\pm \sqrt{\fr{1}{27}} &= c.
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|
\end{align*}
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%e
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But only $\sqrt{\fr{1}{27}}$ is applicable because $0 < c < 1.$
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\exeend
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\masciiexe{} Show that $x^5 + 10x + 3 = 0$ has exactly one real root.
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{\em Solution.} Let $p(x) = x^5 + 10x + 3.$ We first show that there is a real
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root. Notice that $p(-1) = -8$ and $p(1) = 14.$ By the intermediate value
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theorem, there is a $c$ in $(-1,14)$ such that $p(c) = 0,$ so $c$ is a root.
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Now suppose that there are two roots: $a$ and $b.$ Since they're roots,
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|
it's true that $f(a) = 0 = f(b).$ So, by Rolle's theorem, there is a $d$
|
|
in $(a,b)$ such that $f'(d) = 0.$ Let's find $d.$ Since $p'(x) = 5x^4 +
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10 \geq 0$ for all $x,$ it turns out that no such $d$ is
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possible. Therefore, there is no two real roots $a$ and $b.$ So there's
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only one. \exeend
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\masciiexe{} Show that $x^5 -6x + c = 0$ has only one root in $[-1,1].$
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|
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{\em Solution.} Let $f(x) = x^5 -6x + c.$ Suppose $f(x) = 0$ has two roots a
|
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and $b$ in $[-1,1].$ Then $f(a) = 0 = f(b)$ so by Rolle's theorem there
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|
is a $d$ in $(a,b)$ with $f'(d) = 0.$ So $0 = f'(d) = 5d^4 - 6$ which
|
|
implies $$d = \pm \sqrt[4]{\fr{6}{5}}$$ which are both outside $(a,b)$
|
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because $(a,b)$ subset $[-1,1]$ and $d$ is not in $[-1,1].$ So $f(x)$
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can have at most one root in $[-1,1].$
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This problem is different from the previous one because in the previous
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one, we're supposed to show that there is one root, and here there could
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be none in that particular interval. For example, if $c = 5,$ we have
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$f(x) = x^5 - 6x + 5,$ so $x = 1$ is a root, but if $c > 5,$ then there
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are no more roots in that interval. Similarly, if $c = -5,$ we have
|
|
$f(x) = x^5 -6x - 5$ and so $x = -1$ is a root, but if $c < -5,$ then
|
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there are no more roots in that interval.
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A good exercise here is to ponder how someone would come up with a
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question like that. That is, how to construct equations from roots in a
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particular interval such that the equation has a particular degree?
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Take a function such as $f(x) = x^2 - 1.$ We know that the roots of this
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function are $-1$ and $1,$ so
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%
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$$F(x) = \int f(x)\ dx = \fr{x^3}{3} -x + c$$
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|
%
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will have local extrema at $-1$ and $1.$ Now, if $F(-1) > 0$ and $F(1) <
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0,$ then by the intermediate value theorem, we know that there is a
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number $-1 < d < 1$ such that $F(d) = 0.$ Because we constructed $F(x)$
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from $f(x),$ we know that $F(x)$ has only the local extrema we want, so
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no more roots can exist in that interval.
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Now, how can we make sure that $F(-1) > 0$ and $F(1) < 0?$ Well, at
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$-1,$ we have
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%
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$$\fr{-1^3}{3} + 1 + c > 0,$$
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%
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so
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%
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$$c > \fr{1}{3} - 1 = \fr{-2}{3},$$
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|
%
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|
and at $1,$ we have
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%
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$$\fr{1^3}{3} - 1 + c < 0,$$
|
|
%
|
|
so
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|
%
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$$c < - \fr{1}{3} + 1 = \fr{2}{3}.$$
|
|
%
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So we need a number $c$ such that
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$$- \fr{2}{3} < c < \fr{2}{3}.$$
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Now, suppose that you want your final equation to have a particular
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degree $n.$ Then, look for a derivative of degree $n - 1.$ For example,
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suppose that $n = 101.$ Then we need a function of degree $100.$ For
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example, $x^{100} - 1$ will have roots at $-1$ and $1.$ What if you want
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to work with an arbitrary interval for the root to fall in?
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Suppose you want an interval like $(-m,m).$ Then let $x = m$ and
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%align by =
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%v
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\begin{align*}
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x &= m\\
|
|
x - m &= 0\\
|
|
(x - m)^2 &= 0.
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|
\end{align*}
|
|
%e
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|
So evidently, we have $\pm m$ as a root. Then we integrate the function to
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|
get
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|
%v
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|
$$F(x) = \fr{x^3}{3} - m x^2 + x m^2 + c.$$
|
|
%e
|
|
Now by the intermediate value theorem, this is a function which has a
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|
root in $(-m, m)$ for some particular values of $c.$ To find out which
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|
values of $c$ we need to choose, we compute
|
|
%v
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|
\begin{align*}
|
|
\fr{-m^3}{3} -m (-m^2) + (-m) m^2 + c &< 0\\
|
|
\fr{-m^3}{3} -2 m^3 + c &< 0\\
|
|
c &< \fr{m^3}{3} + 2m^3.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
For the other part,
|
|
%v
|
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\begin{align*}
|
|
\fr{m^3}{3} -m (m^2) + (m) m^2 + c &> 0\\
|
|
\fr{m^3}{3} - m^3 + m^3 + c &> 0\\
|
|
c &> \fr{-m^3}{3}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So,
|
|
%
|
|
$$\fr{-m^3}{3} < c < \fr{m^3}{3} + 2m^3.$$
|
|
|
|
I wouldn't believe this if I were you. This seems rather
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fallacious. \exeend
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\masciiexe{} Show that $x^4 + 4x + c = 0$ has at most two real roots.
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{\em Solution.} A similar reasoning. Assume it has three: $a, b, c.$ Then it's
|
|
true that $0 = f(a) = f(b) = f(c).$ So by Rolle's theorem, there is a
|
|
$d$ in $(a,b)$ such that $f'(d) = 0,$ and there is an $e$ in $(b,c)$
|
|
such that $f'(e) = 0.$ The derivative of the function is $g(x) = x^3 +
|
|
4,$ and we must find two reals roots of this function; they would be $d$
|
|
and e. However, one root of $g(x)$ is $$x = \sqrt[3]{-4},$$ because
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|
%v
|
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\begin{align*}
|
|
x^3 + 4 &= 0\\
|
|
x^3 &= -4\\
|
|
x &= \sqrt[3]{-4}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Now, let $x < \sqrt[3]{-4}.$ Then
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
x^3 &< -4\\
|
|
x^3 + 4 &< 0,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
and let $x > \sqrt[3]{-4},$ so
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
x^3 &> -4\\
|
|
x^3 + 4 &> 0.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So to the left of $\sqrt[3]{-4}, g(x)$ is negative, and to the right
|
|
$g(x)$ is positive. So, $g(x)$ will touch the $x$-axis only once; there
|
|
can't be two real roots, then. Therefore, $f(x)$ has at most two real
|
|
roots. \exeend
|
|
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\masciiexe{} Show that a polynomial of degree $3$ has at most $3$ real
|
|
roots.
|
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{\em Solution.} A polynomial of degree $3$ is of the form
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%v
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$$ax^3 + bx^2 + cx + d.$$
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%e
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|
Assume that it has four real roots. Then it's true that
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|
%v
|
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$$0 = f(a) = f(b) = f(c) = f(d).$$
|
|
%e
|
|
So by Rolle's theorem, there are numbers $p$ in $(a,b), q$ in $(b,c),$
|
|
$r$ in $(c,d)$ such that $0 = f'(p) = f'(q) = f'(r).$ But $f'(x)$ is a
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|
second degree polynomial with three real roots which is not
|
|
possible. \exeend
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|
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\masciiexe{} Show that a polynomial of degree $n$ has at most $n$ real
|
|
roots.
|
|
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{\em Solution.} We know that a polynomial of degree $1$ has $1$ real
|
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root. So, if we try to prove this by induction, at least we know
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that the proposition is true for $n = 1.$
|
|
|
|
Now, suppose that the proposition is true for some $n = k.$ Let $p(x)$
|
|
be of degree $k + 1.$ Suppose that $p(x)$ has more than $k + 1$ real
|
|
roots; they are $r_1, r_2,$ ..., $r_{k+1}, r_{k+2}.$ Then
|
|
%v
|
|
$$0 = p(r_1) = ... = p(r_{k+2})$$
|
|
%e
|
|
and by Rolle's theorem it's true that
|
|
%v
|
|
$$0 = p'(c_1) = ... = p'(c_{k+1}).$$
|
|
%e
|
|
But if $p$ is of degree $k + 1,$ then $p'$ is of degree $k,$ and cannot
|
|
have $k + 1$ roots. So it's not true that $p(x)$ has more than $k + 1$
|
|
real roots. Therefore, it has less or equal to $k + 1$ roots.
|
|
|
|
Proofs by induction may seem fallacious sometimes. One could object here
|
|
that we cannot base our argument on the fact that $p'$ of degree $k$
|
|
cannot have $k + 1$ roots because it is the same thing that we're trying
|
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to prove.
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|
That's an unfair objection, however, because we tested for $n = 1$ and
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it was true; then we assumed to be true for all polynomials of $k$th
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degree that they don't have $k + 1$ roots, so it's true under that scope
|
|
of the proof. From that assumption, we showed that the same could not
|
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happen to $p$ of degree $k + 1$ and with everything altogether, we
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concluded that a polynomial of degree $n$ has at most $n$ roots.
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In fact, I seldom use the letter $n$ twice in a proof by induction;
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instead, I use $k$ for the assumption when I'm trying to show that
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something is true for $k + 1.$ This way I avoid getting confused with
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the $n$ of the proposition and raise the objection that I'm assuming
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what I'm trying to prove. \exeend
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\masciiexe{} Suppose that $f$ is differentiable on $\reals$ and has two
|
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roots. Show that $f'$ has at least one root.
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{\em Solution.} If this proposition is true, then it means that a
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differentiable function of degree $2$ or more changes direction at at
|
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least in one point. Call the roots of $f$ by $a$ and $b.$ So
|
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%v
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|
$$f(a) = 0 = f(b).$$
|
|
%e
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|
By Rolle's theorem, we have that $f'(c) = 0$ for some $c$ in $(a,b).$
|
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\exeend
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\masciiexe{} Suppose that $f$ is twice differentiable on $\reals$ and
|
|
$f$ has three roots. Show that $f''$ has at least one real root.
|
|
|
|
{\em Solution.} Let $a, b,$ and $c$ be in $\complex$. So
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%v
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|
$$0 = f(a) = f(b) = f(c).$$
|
|
%e
|
|
By Rolle's theorem, we have $f'(d) = 0$ for some $d$ in $(a,b)$ and
|
|
$f'(e) = 0$ for some $e$ in $(b,c).$ So these are two real roots of
|
|
$f'.$ Since $f$ is twice differentiable, we can differentiate $f'$ to
|
|
get $f''.$ Since $f'(d) = 0 = f'(e),$ then by Rolle's theorem, there is
|
|
an $i$ in $(d,e)$ such that $f''(i) = 0,$ so $f''$ has at least one real
|
|
root. We may try to generalize this. \exeend
|
|
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|
\masciith{} Suppose that $f$ has $n$ roots, and is differentiable on
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|
$\reals n - 1$ times. Then $f^{(k)}$ has $n - k$ real roots where $0 < k
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|
\leq n - 1.$ \theend
|
|
|
|
Let's test our generalization. Let $f(x) = x^7 - 1.$ This polynomial has
|
|
$7$ roots and is $7 - 1$ times differentiable on $\reals$. Then, by our
|
|
generalization, it must be true that $f'(x) = x^6$ has $7 - 1$ real
|
|
roots, $f''(x) = x^5$ must have $7 - 2$ real roots, $f^{(3)}(x) = x^4$
|
|
must have $7 - 3$ real roots and so on until $f^{(6)} = x$ which must
|
|
have one real root. The generalization seems to work. Can we prove this
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now? Hmm, I don't know. \theend
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%v--
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|
\subsection{Even more on differentiation}
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|
It's interesting to notice that the mean value theorem is used in many
|
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applications. There is a variety of problems in which the mean value
|
|
theorem can be used; one challenge is to recognize when you can use it;
|
|
we'll describe some interesting problems in which the mean value theorem
|
|
can be used as a path to the solution. Let's start by looking at the
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proof of the following theorem.
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\masciith{} If $f'(x) > 0$ on some interval $B,$ then $f$ is increasing
|
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on $B.$ If $f'(x) < 0$ on $B,$ then $f$ is decreasing on $B.$ \theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let $x_1, x_2$ be in $B$ such that $x_1 \neq x_2,$ so we
|
|
may assume that $x_1 < x_2.$ We must show that $f(x_1) < f(x_2).$ Assume
|
|
that $f'(x) > 0,$ and notice that $f$ is differentiable on $[x_1,x_2].$
|
|
So by the mean value theorem, there is a $c$ in $[x_1,x_2]$ such that
|
|
%v
|
|
$$f'(c)(x_2 - x_1) = f(x_2) - f(x_1).$$
|
|
%e
|
|
Notice that $f'(c) > 0$ and notice that $x_2 - x_1 > 0$ too. So the left
|
|
side of the equation above is positive and therefore the right side must
|
|
be as well; that is, $f(x_2) > f(x_1),$ and we're done. For a decreasing
|
|
function, we need only repeat the proof flipping the notation
|
|
around. \profend
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|
|
|
Let's see more problems in which I think that the mean value theorem
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|
would provide a way to a solution. The next three are of a pretty
|
|
interesting type of problem, and we already solved one of the same kind,
|
|
I think.
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\masciiexe{} Suppose $f(1) = 10$ and $f'(x) \geq 2$ for $1 \leq x \leq
|
|
4,$ how small can $f(4)$ possibly be? \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose $f$ is continuous on $[2,5]$ and $1 \leq f'(x) \leq
|
|
4$ for all $x$ in $(2,5).$ Show that $3 \leq f(5) - f(2) \leq 12.$
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Does there exist a function $f$ such that $f(0) = -1, f(2)
|
|
= 4,$ and $f'(x) \leq 2$ for all $x?$ \exeend
|
|
|
|
%v++
|
|
\masciiexe{} Show that $\tan{x} > x$ for $0 < x < \pi/2.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We're going to show that $\tan(x) - x > 0.$ We know that
|
|
%
|
|
$$\tan(x) = \fr{\sin(x)}{\cos(x)}.$$
|
|
%
|
|
As $x \to 0, \tan(x) \to 0.$ As $x \to \pi/2, \tan(x) - x \to \infty$ so
|
|
if I can show that $\tan(x) - x$ is increasing on $(0, \pi/2),$ then we
|
|
know that
|
|
%
|
|
$$f(x) = \tan(x) - x > 0$$
|
|
%
|
|
is true for all $x$ in $(0, \pi/2)$ which makes $\tan(x) > x$ true for
|
|
all $x$ in $(0, \pi/2).$ We look into $f'(x)$ then. We have
|
|
%
|
|
$$f'(x) = \sec^2(x) - 1 = 1/\cos^2(x) - 1$$
|
|
%
|
|
which is only zero when $\cos^2(x) = 1$ which happens at $x = 0,$ but 0
|
|
is not in $(0, \pi/2).$ So, for $x$ in $(0, \pi/2),$ $f'(x)$ is always
|
|
positive. Therefore, $\tan(x) - x > 0$ for all $x$ in $(0, \pi/2)$ and
|
|
so $\tan(x) > x$ for all $x$ in $(0, \pi/2).$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that for all $x > 1,$
|
|
%
|
|
$$2 \sqrt{x} > 3 - \fr{1}{x}.$$
|
|
%v--
|
|
|
|
{\em Solution.} We will show that $2 \sqrt{x} - 3 + 1/x > 0$ for $x >
|
|
1.$ When $x = 1$ we have $f(x) = 0.$ As $x \to \infty, f(x) \to \infty.$
|
|
It's true that
|
|
%v
|
|
$$f'(x) = \fr{1}{\sqrt{x}} - \fr{1}{x^2}.$$
|
|
%e
|
|
Now, when $f'(x) = 0?$ Never. We have that
|
|
%v
|
|
$$\fr{1}{\sqrt{x}} > \fr{1}{x^2},$$
|
|
%e
|
|
for all $x > 1.$ So $f'(x) > 0$ for all $x > 1.$ So $f(x)$ is always
|
|
increasing on $(1,\infty),$ so $2 \sqrt{x} > 3 - 1/x$ for all $x > 1.$
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose that $f$ and $g$ are continuous on $[a,b]$ and
|
|
differentiable on $(a,b).$ Suppose also that $f(a) = g(a)$ and $f'(x) <
|
|
g'(x)$ for $a < x < b.$ Prove that $f(b) < g(b).$
|
|
|
|
{\em Solution.} We're going to consider $h(x) = f(x) - g(x).$ What's
|
|
$h(a)?$ It's
|
|
%v
|
|
$$h(a) = f(a) - g(a) = 0,$$
|
|
%e
|
|
because $f(a) = g(a).$ It's true that $h(x)$ is continuous and
|
|
differentiable on $(a,b),$ so we can apply the mean value theorem to say
|
|
that there exists a number $c$ in $(a, b)$ such that %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
h'(c)&= f'(c) - g'(c)\\
|
|
&= \fr{h(b) - h(a)} {b - a}\\
|
|
&= \fr{f(b) - g(b) - f(a) + g(a)} {b - a}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
We know that $b - a > 0.$ We also know that $f'(c) - g'(c) < 0$ because
|
|
$f'(x) < g'(x)$ for $a < x < b.$ So it must be true that
|
|
%
|
|
$$f(b) - g(b) - f(a) + g(a) < 0,$$
|
|
%
|
|
otherwise $f'(c) - g'(c)$ would be positive. So, we write %align by <
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
f(b) - g(b) - f(a) + g(a) &< 0\\
|
|
f(b) - g(b) - (f(a) - g(a)) &< 0\\
|
|
f(b) - g(b) - 0 &< 0\\
|
|
f(b) &< g(b),
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Show that $\sqrt{ 1 + x} < 1 + x/2$ if $x > 0.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We'll look into $f(x) = \sqrt{1 + x} - 1 - x/2 < 0.$ At
|
|
$0,$ we have $\sqrt{1} - 1 = 0.$ As $x \to \infty,$ we have $f(x) \to
|
|
-\infty.$ So we must show that $f'(x)$ is always decreasing.
|
|
|
|
We have
|
|
%v
|
|
$$f'(x)= \fr{1}{2\sqrt{1+x}}-\fr{1}{2}.$$
|
|
%e
|
|
Is it ever zero? It is when $\sqrt{1 + x} = 1$ which only happens when
|
|
$x = 0,$ but we don't care about $x = 0.$ We must show then
|
|
%v
|
|
$$2 \sqrt{1 + x} > 2.$$
|
|
%e
|
|
That is, we can show that $\sqrt{1 + x} > 1$ for all $x > 0.$ It indeed
|
|
is because $\sqrt{1 + x} > 1$ implies $1 + x > 1$ which is true whenever
|
|
$x >$ $0.$ So $f'(x) < 0$ for all $x > 0.$ So we're done.\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose $f$ is an odd function and is differentiable
|
|
everywhere. Prove that for every positive number $b,$ there exists a
|
|
number $c$ in $(-b,b)$ such that
|
|
%v
|
|
$$f'(c) = \fr{f(b)}{b}.$$
|
|
%e
|
|
|
|
{\em Solution.} By the mean value theorem, there's a $c$ in $(-b, b)$
|
|
such that
|
|
%v
|
|
$$f'(c) = \fr{f(b)-f(-b)}{b+b}.$$
|
|
%e
|
|
But since $f$ is odd, then we may rewrite that as %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(c) &= \fr{f(b)+f(b)}{b+b}\\
|
|
&= \fr{2f(b)}{2b}\\
|
|
&= \fr{f(b)}{b},
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that $|\sin{a} - \sin{b}| \leq |a - b|$ for all $a$
|
|
and $b$ in $\reals$.
|
|
|
|
{\em Solution.} By the mean value theorem, there's a $c$ in $(a, b)$
|
|
such that
|
|
%v
|
|
$$\sin'(c) = \fr{\sin(b)-\sin(a)}{b-a}.$$
|
|
%e
|
|
We know that $\sin'(c) = \cos(c)$ and that $|\cos(c)| \leq 1.$ Now, take
|
|
the absolute value of the equation above to get %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
|\cos(c)| &= \bl|\fr{\sin(b)-\sin(a)}{b-a}\br|\\
|
|
&= \fr{|{\sin(b) - \sin(a)}|}{|{ b - a}|}\\
|
|
|b - a||\cos(c)| &= |\sin(b) - \sin(a)|.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Since $|\cos(c)| \leq 1,$ then it's true that
|
|
%v
|
|
$$|b - a| \geq |\sin(b) - \sin(a)|.$$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} If $f'(x) = m$ for all $x,$ where $m$ is a constant, show
|
|
that $f(x) = mx + n$ for some constant $n.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} A number $m$ is called a fixed point of $f$ if $f(m) = m.$
|
|
Prove that if $f'(x) \neq 1$ for all real numbers $x,$ then $f$ has at
|
|
most one fixed point. \exeend
|
|
|
|
\masciith{} Suppose $f''$ is continuous near $c.$ Then if $f'(c) = 0$
|
|
and $f''(c) > 0,$ then $f$ has a local minimum at $c,$ and if $f'(c) =
|
|
0$ and $f''(c) < 0,$ then $f$ has a local maximum at $c.$ \theend
|
|
|
|
Notice that the theorem does not mention any case when $f''(c) =$ $0.$
|
|
That's because we cannot say much when this is the case. The same
|
|
situation happens when $f''(c)$ does not exist. But the first derivative
|
|
handles all these difficulties.
|
|
|
|
\masciiexe{} Assume that all functions in this proposition are twice
|
|
differentiable and that their second derivatives are never zero. If $f$
|
|
and $g$ are concave upward on $B,$ show that $f + g$ is concave upward
|
|
on $B.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Assume that all functions in this proposition are twice
|
|
differentiable and that their second derivatives are never zero. If $f$
|
|
is positive and concave upward on $B,$ show that $[f(x)^2]$ is concave
|
|
upward on $B.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Assume that all functions in this proposition are twice
|
|
differentiable and that their second derivatives are never zero. If $f$
|
|
and $g$ are positive, increasing, concave upward functions on $B,$ show that
|
|
fg is concave upward on $B.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Assume that all functions in this proposition are twice
|
|
differentiable and that their second derivatives are never zero.
|
|
Suppose that $f$ and $g$ are both concave upward on $(-\infty, \infty).$
|
|
Under what condition on $f$ will the composite function $h(x) = f(g(x))$
|
|
be concave upward? \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Show that a cubic function always has exactly one point of
|
|
inflection. If it has three roots, show that the $x$ coordinate of the
|
|
inflection point is $(x_1 + x_2 + x_3)$ / $3.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that if $(m,f(m))$ is a point of inflection of $f,$
|
|
and $f''$ exists in an open interval containing $m,$ then $f''(m) = 0.$
|
|
Stewart suggests: apply the first derivative test and fermat's theorem
|
|
to the function $g = f'.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Show that if $f(x) = x^4,$ then $f''(0) = 0,$ but $(0,0)$
|
|
is not an inflection point of the graph of $f.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Show that $g(x) = x |x|$ has an inflection point at $(0,0)$
|
|
but $g''(0)$ does not exist. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose that $f''$ is continuous and $f'(m) = f''(m) = 0,$
|
|
but $f''(m) > 0.$ Does $f$ have a local maximum or minimum at $m?$ Does
|
|
$f$ have a point of inflection at $m?$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find a function $f$ whose $f'$ and $f''$ are always
|
|
negative. \exeend
|
|
%
|
|
% Solution. Let f'' be -1, for example. It's always negative. Now, f'
|
|
% could be something like -x, which is always negative too. Now, f can be
|
|
% something like (-x^2)/2. %end
|
|
|
|
\masciiexe{} Find a cubic function $f(x) = mx^3 + nx^2 + px + q$ that
|
|
has a local maximum of $3$ at $-2$ and a local mininum of $0$ at $1.$
|
|
|
|
{\em Solution.} The requirements for $f'(x)$ are $f'(-2) = 0, f'(1) = 0$
|
|
and $f'(x) = 3mx^2 + 2nx + p.$ Also, $f(-2) = 3$ and $f(1) = 0.$ So we
|
|
need %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
-8m + 4n - 2p + q &= 3\\
|
|
m + n + p + q &= 0\\
|
|
12m - 4n + p + 0 &= 0\\
|
|
3m + 2n + p + 0 &= 0.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
This system gives us $m = 2/9, n = 1/3, p = -4/3, q = 7/9.$ So the
|
|
function that we want is $f(x) = (2/9) x^3 + (1/3) x^2 - (4/3) x +
|
|
(7/9).$ \exeend
|
|
|
|
\subsection{Limits at infinity}
|
|
|
|
\masciidef{} Let $f$ be a function defined on some interval
|
|
$(m,\infty).$ Then
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
|
|
%e
|
|
means that for every $e > 0,$ there is a number $n$ such that
|
|
%v
|
|
$$\text{if } x > n \text{ then } |f(x) - L| < e. $$
|
|
%e
|
|
\defend
|
|
|
|
\masciidef{} Let $f$ be a function defined on some interval
|
|
$(-\infty,m).$ Then
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$
|
|
%e
|
|
means that for every $e > 0,$ there is a number $n$ such that
|
|
%v
|
|
$$\text{if } x < n \text{ then } |f(x) - L| < e. $$
|
|
%e
|
|
\defend
|
|
|
|
\masciidef{} Let $f$ be a function defined on some interval
|
|
$(m,\infty).$ Then
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$
|
|
%e
|
|
means that for every positive $M,$ there is a number $n$ such that
|
|
%v
|
|
$$\text{if } x > n \text{ then } f(x) > M. $$
|
|
%e
|
|
\defend
|
|
|
|
\masciith{} If $r > 0$ is a rational number, then
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to \infty} \fr{1}{x^r} = 0.$$
|
|
%e
|
|
If $r > 0$ is a rational number such that $x^r$ is defined for all $x,$
|
|
then
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to \infty} \fr{1}{x^r} = 0.$$
|
|
%e
|
|
\theend
|
|
|
|
\subsection{Drawing functions}
|
|
|
|
We have enough tools to draw functions now. Let's look into the things
|
|
which we need to draw functions. We need the critical numbers. With the
|
|
critical numbers, we break the real line up into intervals delimited by
|
|
the critical numbers. We then look at the first derivative of the
|
|
function at each of these intervals; we then determine whether $f$ is
|
|
increasing on each of these intervals.
|
|
|
|
So we now have a clue of the way that the function travels in the plane
|
|
of Descartes, but we need to know when it goes up and when it comes down
|
|
and when it simply slows down and keeps going: we the extreme values; we
|
|
need the local maxima, local minima and the absolute ones if they exist.
|
|
|
|
But to find the local extrema we need only the first derivative. We
|
|
observe the critical points in which the function changes sign; that is,
|
|
when it changes from increasing to decreasing or from decreasing to
|
|
increasing.
|
|
|
|
\subsubsection{An algorithm}
|
|
|
|
Let $f(x)$ be a function. Determine the domain of $f(x).$ Then look for
|
|
$y$-intercepts, if possible, and find out where the curve touches the
|
|
$y$-axis. Mark these points.
|
|
|
|
Look for symmetry. Is it odd? Is it even? Find out, if you can, and
|
|
keep that in mind making wise decisions: if it's even or odd, we draw
|
|
only for $x \geq 0$ and we use a mirror later.
|
|
|
|
Look for periodicity. Is there a period? Which one?
|
|
|
|
Look for asymptotes. Are there vertical ones? Are there horizontal ones?
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Find them. Are there slant asymptotes? If so, find them.
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Compute $f'(x).$ Find all critical numbers. Solve $f'(x) = 0.$ Break the
|
|
real line into as many intervals as possible from the
|
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solutions. Determine where $f'(x)$ is positive and where $f'(x)$ is
|
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negative. Find all local maxima and all local minima.
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|
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|
Compute $f''(x).$ Find all inflection points by computing whether
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$f''(x) > 0$ or $f''(x) < 0.$ Look at $f'(x)$ when $f''(x) = 0.$
|
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Convince yourself that you need not a new division of the real line to
|
|
look into $f''(x).$
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Draw $f(x);$ sketch the asymptotes; plot the intercepts, maximum and
|
|
minimum points, and inflection points. Make the curve pass through these
|
|
points, rising and falling according to the information given by
|
|
$f'(x),$ and according to the information given by $f''(x).$ If
|
|
additional accuracy is desired near any point, you may compute the value
|
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of $f'(x)$ there, since they should be close enough; notice that the
|
|
tangent indicates the direction in which $f(x)$ goes.
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\subsection{Slant asymptotes}
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\masciidef{} A slant asymptote is a line $y = mx + b$ of a function
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$f(x)$ if and only if
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%v
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$$\lim_{x \to \infty} (f(x) - (mx + b)) = 0.$$
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%e
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This definition says that if the two curves --- $f(x)$ and $y$ --- get
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closer and closer as $x \to \infty,$ then $y$ is a slant asymptote of
|
|
$f(x).$ One way to compute where two curves get closer and closer is to
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find out whether the distance from the points in one curve to the other
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--- that's what the definition does, in fact. \defend
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Perhaps the challenge is when to recognize that we have a slant
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asymptote. For example, we'll have slant asymptotes when the degree of
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the numerator of a rational function is one more than the degree of the
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denominator.
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\masciiexe{} Show that
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%v
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$$f(x) = \fr{x^3}{x^2 + 1}$$
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%e
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has a slant asymptote.
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{\em Solution.} Perform long division to find that
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%v
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$$f(x) = \fr{x^3}{x^2 + 1} = x - \fr{x}{x^2 + 1}.$$
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%e
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Notice that
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%v
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$$- \fr{x}{x^2 + 1} \to 0 \text{ as } x \to \infty.$$
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%e
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So $f(x) - x \to 0$ as $x \to \infty,$ and $y = x$ is a slant asymptote
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of $f(x).$ \exeend
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\masciiexe{} Draw $f(x) = x^{2/3} (6 - x)^{1/3}.$
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|
{\em Solution.} We'll follow exactly what we defined above. We need the
|
|
critical numbers, so we will find out where $f'(x)$ fails to exist, and
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where $f'(x) = 0.$ Let $u = x^{2/3}, v = (6 - x)^{1/3}.$ So %align by =
|
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%v
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\begin{align*}
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|
f'(x)&= u'v + uv'\\
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&= (2/3) x^{-1/3} (6 - x)^{1/3} + x^{2/3} (-1/3) (6 - x)^{-2/3}\\
|
|
&= \fr{4-x}{\sqrt[3]{x(6-x)^2}}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So we now know that the we have critical at $x = 0, x = 4,$ and $x = 6.$
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|
Our intervals are %table
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%v++
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%
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% interval | 4 - x | cbrt{x} | cbrt{(6 - x)^2} | f'(x) | f(x)
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% x < 0 | + | - | + | - | <down>
|
|
% 0 < x < 4 | + | + | + | + | <up>
|
|
% 4 < x < 6 | - | + | + | - | <down>
|
|
% 6 < x | - | + | + | - | <down>
|
|
%
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%v--
|
|
|
|
Now we know where it goes up and down, and so we have the local minima
|
|
and the local maxima. We have a local minimum at $x = 0$ because it goes
|
|
down in the negative side of $x$ and goes up after touching $x = 0.$ We
|
|
have a local maximum at $x = 4$ because note that as it goes over $x =
|
|
4,$ it changes from going up to going down.
|
|
|
|
Now, what does $f(x)$ look like? So far, I can say that it comes down
|
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from the left side and it will have a cusp at $0$ because the $f$ is
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continuous at $x = 0,$ but not differentiable there --- we have a
|
|
vertical tangent there ---, so that's a fair guess. From that point, it
|
|
goes up and to
|
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%v
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$$f(4) = (2 \cdot 2)^{2/3} 2^{1/3} = 2^{5/3} \approx 3.1748,$$
|
|
%e
|
|
and it is differentiable at that $f(4),$ so I can say that it has a
|
|
``smooth'' high point at $y \approx 3.1748,$ and then it comes down
|
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forever with a nondifferentiable point at $x = 6$ which gives us a
|
|
vertical tangent there as well. Let's see if we can get more
|
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information.
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|
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|
Can $f''(x)$ gives us any more clues? Yes, $f''(x)$ can tell us about
|
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the concavities of $f(x).$ Computing $f''(x),$ we get
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%v
|
|
$$f''(x) = \fr{-8}{x^{4/3}(6-x)^{5/3}}.$$
|
|
%e
|
|
Now we check where $f''(x)$ is positive and where it is negative. It is
|
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never zero, but it may be undefined at $x = 0$ and $x = 6.$ Building a
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table, we see the following behavior. %table
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%v++
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%
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% interval | -8 | x^{4/3} | (6 - x)^{5/3} } | f''(x)
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% x < 0 | - | + | + | -
|
|
% 0 < x < 6 | - | + | + | -
|
|
% 6 < x | - | + | - | +
|
|
%
|
|
%v--
|
|
|
|
So it's positive when $x > 6,$ and negative to the left side. So $f$ is
|
|
concave down when $x < 0,$ concave down when $0 < x < 6$ and concave up
|
|
when $x > 6.$ Now we're able to draw a accurate enough graph.\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose you're given a formula for a function $f.$ How can
|
|
you tell where $f$ is increasing or decreasing? How do you determine
|
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where the graph of $f$ is concave upward or concave downward? How do you
|
|
locate the inflection points?
|
|
|
|
{\em Solution.} First, look at $f'.$ Break the real line in as many
|
|
intervals as necessary given by the zeroes of $f'$ and where $f'$ is not
|
|
defined --- the critical numbers of $f.$ If $f'$ has $n$ critical
|
|
numbers, you get $n + 1$ intervals. Pick a number in each of these
|
|
intervals and notice where $f'$ is positive and negative. If positive,
|
|
then $f$ is increasing, if negative, then $f$ is decreasing.
|
|
|
|
Second, look at $f''.$ Find the critical numbers of $f'.$ Break the real
|
|
line into as many intervals as required by the number of critical
|
|
numbers of $f'.$ Notice where it is positive, and where it is
|
|
negative. Where it is positive, $f$ is concave upward; otherwise,
|
|
downward.
|
|
|
|
Third, using the second part, notice where it changes sign; we have an
|
|
inflection point only at the points where it changes sign. \exeend
|
|
|
|
\subsection{Optimizing things}
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|
If you have a function that describes something, then you can look for
|
|
the absolute maximum and mininum and you'll have a clue of where in the
|
|
input of the function you have a maximization or a minimization of the
|
|
output. Finding minima and maxima values is actually not too hard, but
|
|
finding the functions is sometimes tricky, as we should expect, because
|
|
to describe phenomena in the universe requires considerable skills.
|
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\masciiexe{} Find two integers whose difference is $100$ and whose
|
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product is a minimum.
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{\em Solution.} Let $x, y$ be integers with $x < y.$ Then $y - x = 100.$
|
|
We want to minimize $f(x) = xy.$ We know that $y = 100 + x.$ So $f(x) =
|
|
x(100 + x)$ and $f'(x) = 2x + 100.$ Now $f'(x)$ is zero when $x = -50,$
|
|
and there $y = 150.$
|
|
|
|
So $150 - 50 = 100$ and the product is $150 \cdot 50 = 7500.$ We're
|
|
done. We could object to this solution saying that we're not sure
|
|
whether $x = -50$ is a minimum, but possibly a local extremum. That's
|
|
futile, though, because $f(x)$ is a parabola concave upward, so I know
|
|
that where $f'(x) = 0,$ we do have a local mininum. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find the point on the line $y = 4x + 7$ that is closest to
|
|
the origin.
|
|
|
|
{\em Solution.} Here we're required to develop a distance function, and
|
|
for the plane of Descartes, we have the famous
|
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%v
|
|
$$d = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2}.$$
|
|
%e
|
|
We want the distance from a point on y curve to the origin. To find the
|
|
distance, we need the point $(a,b)$ which is common for both functions;
|
|
that is
|
|
%v
|
|
$$d = \sqrt{x^2 + (4x + 7)^2}.$$
|
|
%e
|
|
Now, differentiating $d$ is harder than differentiating $d^2 = x^2 + (4x +
|
|
7)^2$, so we will work with $d^2$ because they both share the same
|
|
minimum --- but notice that this is not true in general; for example,
|
|
$f(x) = x^2 - 1$ and $f(x)^2 = (x^2 - 1)^2$ don't share minima. We have
|
|
$(d^2)' = 2x + 8(4x + 7)$ which has a zero when $x = -28/17,$ so the
|
|
point is $(-28/17, 7/17).$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find the points on the hyperbola $y^2 - x^2 = 4$ that are
|
|
closest to the point $(2,0).$
|
|
|
|
{\em Solution.} I'd like to see the hyperbola first. So I'm going to
|
|
graph it. This hyperbola is symmetric about the $x$-axis and about the
|
|
$y$-axis because $y^2 - x^2 = 4 = (-y)^2 - (-x)^2.$ Let's consider just
|
|
the $y > 0$ of the plane of Descartes.
|
|
|
|
We know that the curve touches $y = 2$ because if $x = 0,$ then $y =
|
|
\sqrt{4}.$ As $x \to \infty,$ $y \to \infty,$ so there's no horizontal
|
|
asymptote --- nor any vertical one. There may be slant asymptotes.
|
|
|
|
We compute
|
|
%v
|
|
$$y' = \fr{x}{\sqrt{4 + x^2}},$$
|
|
%e
|
|
which is zero when $x = 0,$ so $x = 0$ is the only critical number. We
|
|
compute
|
|
%v
|
|
$$y''= \fr{\sqrt{4 + x^2} - x^2 (4 + x^2)^{-1/2}}{4 + x^2},$$
|
|
%e
|
|
which is never negative. From $y'$ and $y'',$ we conclude the following
|
|
table. %table
|
|
|
|
% interval | y' | y''
|
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% x < 0 | - | +
|
|
% 0 < x | + | +
|
|
|
|
So, there's a local minimum at $0,$ and no inflection points. What about a
|
|
slant asymptote? If there's one, and it's $g(x),$ then it must be true
|
|
that
|
|
%v
|
|
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + x^2} - g(x) = 0.$$
|
|
%e
|
|
Suspecting that $g(x) = x$ will do, we let $q(x) = \sqrt{4 + x^2} + x.$
|
|
Then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\sqrt{4 + x^2} - x &= (\sqrt{4 + x^2} - x) \cdot \fr{q(x)}{q(x)}\\
|
|
&= \fr{4 + x^2 - x^2 } {\sqrt{4 + x^2} + x}\\
|
|
&= \fr{4 }{\sqrt{4 + x^2} + x}\\
|
|
&= 0,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as $x \to \infty$ because $(4 + x^2) \to \infty,$ and $\sqrt{4 + x^2}$
|
|
as well, and certainly does $x.$ So $g(x) = x$ is a slant asymptote. Now
|
|
we have a pretty good idea of what it looks like. Let's begin then. The
|
|
distance from $(2,0)$ to the hyperbola is given by
|
|
%v
|
|
$$d = \sqrt{ (x - 2)^2 + y^2 }.$$
|
|
%e
|
|
To work with only one variable, we must notice the points we are
|
|
interested in considering are simply the points of the hyperbola, so we
|
|
may replace $y^2$ in $d$ by $4 + x^2.$ So
|
|
%v
|
|
$$d = \sqrt{ (x - 2)^2 + 4 + x^2 }.$$
|
|
%e
|
|
But it's easier to work with
|
|
%v
|
|
$$d^2 = (x - 2)^2 + 4 + x^2,$$
|
|
%e
|
|
and we can since they share the same minimum. We now minimize $d^2$ by
|
|
computing $(d^2)' = 4x - 4,$ which is zero when $x = 1.$ So the closest
|
|
points to $(2,0)$ are $(1,\sqrt{5})$ and $(1,-\sqrt{5}).$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find the dimensions of the rectangle of largest area that
|
|
can be inscribed in a circle of radius $r.$
|
|
|
|
{\em Solution.} The formula of a circle is $x^2 + y^2 = r^2.$ We can
|
|
position this circle at the origin of the plane of Descartes. Then we
|
|
can work with $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ which is half of the circle. Notice
|
|
that the height of the rectangle will touch the circle --- it's
|
|
inscribed, and it only makes sense this way, since we want to maximize
|
|
the area. So, if a rectangle has area $A(x,y) = xy,$ then we will be
|
|
working with
|
|
%v
|
|
$$A(x) = 2x \sqrt{r^2 - x^2}.$$
|
|
%e
|
|
Now we have a function of one variable which we wish to maximize. To
|
|
maximize it, we take its derivative which is
|
|
%v
|
|
$$A'(x) = 2 \sqrt{r^2 - x^2} - \fr{2 x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}.$$
|
|
%e
|
|
This function is zero when $x = \fr{\sqrt{2} r}{2}.$ So the largest
|
|
area is
|
|
%v
|
|
$$A(x) = \sqrt{2} r \sqrt{r^2 - \fr{r^2}{2}}.$$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find the area of the largest isosceles triangle that can be
|
|
inscribed in the ellipse
|
|
%v
|
|
$$\fr{x^2}{a^2} + \fr{y^2}{b^2} = 1.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Without computing too much, let's develop the algorithm
|
|
required. The area of a triangle is
|
|
%v
|
|
$$A(x,h) = \fr{xh}{2}.$$
|
|
%e
|
|
In order to work with a single variable, we need h with respect to $x.$
|
|
We know that one side of the triangle will have length $\sqrt{h^2 +
|
|
x^2}.$ We know that the height of the triangle will always touch the
|
|
ellipse, so
|
|
%v
|
|
$$h = y.$$
|
|
%e
|
|
We can replace $y$ by computing %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
x^2 + \fr{a^2 y^2} {b^2} &= a^2\\
|
|
b^2 x^2 + a^2 y^2 &= b^2 a^2\\
|
|
a^2 y^2 &= b^2 a^2 - b^2 x^2\\
|
|
y^2 &= b^2 - \fr{b^2 x^2} {a^2}\\
|
|
y &= \sqrt{b^2 - \fr{b^2 x^2}{a^2}}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Therefore,
|
|
%v
|
|
$$A(x) = \fr{ x \sqrt{b^2 - \fr{b^2 x^2 }{ a^2}} }{2}.$$
|
|
%e
|
|
Now maximize it to get all $x$ such that $A'(x) = 0.$ Hopefully, there's
|
|
only one that makes sense. The answer will be with respect to the
|
|
constants $a$ and $b.$ Plug the answer in $A(x)$ to get the largest
|
|
area.
|
|
|
|
Hmm, nope. This solution is fallacious. The solution assumes that the
|
|
triangle will only take the space possible in half of the ellipse. We
|
|
may get a larger triangle by using the other half too; I don't know if
|
|
that wouldn't happen, though. I don't know. \exeend
|
|
|
|
\subsection{Applications to economics}
|
|
|
|
Suppose that the cost of feeding $x$ people in Brazil is described by
|
|
%v
|
|
$$C(x) = 0.3 x^3 - 2x^2 + 20.$$
|
|
%e
|
|
This function has a local minimum at $x = 4 + 4/9.$ We could, therefore,
|
|
think that this is the exact point that we should produce --- so that we
|
|
can take advantage of low cost level, but as we shall see, there is
|
|
another interesting point of this function which seems to be the an
|
|
optimized way to produce with respect to cost per unit.
|
|
|
|
Let's consider the function
|
|
%v
|
|
$$c(x) = C(x)/x,$$
|
|
%e
|
|
which is called the average cost function. By dividing $C(x)$ by $x,$ we
|
|
are looking at the cost per unit. That is, if a supplier gives us a
|
|
discount for buying a lot, we simply pretend that the price per unit is
|
|
lower. Therefore, looking at $c(x),$ we would want to produce $x$ units
|
|
such that $x$ is a local minimum of $c(x).$ Correct?
|
|
|
|
We see that the minimum of $c(x)$ is not the same minimum of $C(x).$ Why
|
|
would it be? They are different functions. Also, let's take both minima
|
|
and compute how much it would cost to produce $x$ units in both
|
|
functions.
|
|
|
|
The average cost function is
|
|
%v
|
|
$$c(x) = C(x)/x = 0.3 x^2 - 2x + 20/x$$
|
|
%e
|
|
and it intersects the marginal cost function at $x \approx 4.78.$ Now,
|
|
let's compare. We have $C(4.78) \approx 7.06,$ while $C(4 + 4/9) \approx
|
|
6.83.$ But we have $c(4.78) \approx 1.47,$ while $c(4 + 4/9) \approx
|
|
1.53.$
|
|
|
|
So, it is worth producing a little more in order to get a lower unit
|
|
cost --- even though the cost of production is increasing a bit. Perhaps
|
|
because this function is a little unusual, it shows this behavior, or
|
|
perhaps it doesn't make much sense otherwise.
|
|
|
|
Notice that picking a local minimum at the cost function doesn't make
|
|
too much sense. Suppose, for instance, that the minimum shows up close
|
|
to $0.$ Will us produce almost nothing just to get the best price?
|
|
Probably not. Also, notice that $C(x)$ is a very unusual cost function;
|
|
most cost functions don't have local minima, I'd say --- it's very
|
|
unusual to buy, say, $10$ and pay $10,$ and then getting a cost of $5$ for
|
|
buying $20$ from the same supplier.
|
|
|
|
\subsection{Sigma notation}
|
|
|
|
We're about to study about integrals. It will be useful, therefore, to
|
|
look into sigma notation used in Riemann sums. If we want to write $2^3
|
|
+$ $3^3 + ... + n^3,$ we pick an index $i$ and we replace the sum by
|
|
%v
|
|
$$\sum_{i = 2}^n i^3.$$
|
|
%e
|
|
The letter $n$ used in the sum must not be confused with the letter $n$
|
|
used in limit expressions which is seen in Riemann sums. Suppose that
|
|
we're computing an approximation of the area under some curve $f.$ We
|
|
write
|
|
%v
|
|
$$A\approx f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x.$$
|
|
%e
|
|
Using $n$ rectangles, we get
|
|
%v
|
|
$$A \approx f(x_1) \Delta x + ... + f(x_n) \Delta x.$$
|
|
%e
|
|
To write this as a sum, we let $i$ be an iterator, and so $i$ goes from
|
|
$1$ to $n.$ That is
|
|
%v
|
|
$$A \approx \sum_{i = 1}^n f(x_i) \Delta x.$$
|
|
%e
|
|
Now, if we want to increase $n$ forever, we say so by writing
|
|
%v
|
|
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i) \Delta x.$$
|
|
%e
|
|
Notice now that we have an exact area. These sums are called Riemann
|
|
sums because Bernhard Riemann was calculating ``areas'' this way, I
|
|
think. It is indeed a very remarkable technique. What we call a Riemann
|
|
sum, though, is always an approximation to an area; that's what we call
|
|
it today. Perhaps Riemann was already taking limits to find exact areas.
|
|
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By the way, the word ``exact'' used in conjunction with area is a
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mathematical exactness. We defined the area under a curve to be the
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integral of the curve over some interval --- so, the function must be
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continuous on that interval. So it is exact because it is by definition
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anyway. The definition of an integral, as we shall see, is what we see
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above: the limit, as $n \to \infty$, of a Riemann sum with $n$
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rectangles.
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\section{Integrals}
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We start with the definition of a definite integral. Let's first observe
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what the definition is; let's look at its words and symbols, and after
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that, let's talk about ways of thinking of it.
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\masciidef{} Let $f$ be a continuous function defined on $[a, b].$ Break
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this interval into $n$ equal pieces so that each piece will have a
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length of $\Delta x = (b - a)/n.$ Let $x_0, ..., x_n$ be the endpoints
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of these subintervals and we choose arbitrary points $x_1^*, ..., x_n^*$
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in these subintervals an define the integral of $f$ from $a$ to $b$ as
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%v
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$$\int_a^b f(x)\ dx = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} f(x_1^*) \Delta x.$$
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\defend
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%e
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When $f(x) \geq 0$ for all $x$ in $[a,b],$ then a definite integral is
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an area; that is, a definite integral is a number; it signifies a
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quantity; an amount of squares of some unit such as meters. If that's
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not the case, then we may get a difference of areas, or perhaps a
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completely negative area. The latter case if when $f(x) \leq 0$ for all
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$x$ in $[a,b].$ None of these cases is any problem; it's a matter of
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interpretation. Mathematics is not really concerned with these
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interpretation; mathematics is concerned with definitions and theorems,
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but I don't mean mathematicians. I believe that mathematicians are very
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much concerned with these interpretations, but ``negative area'' is not
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problem for a mathematician. If a negative balance in your account if
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money that you owe, then a negative area is an area that you don't have.
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We talk about these arbitrary points in the definition because they are
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really arbitrary; that is, we can pick any points in these subintervals
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whatsoever. In cases when our function is a table of values, then we
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will of course pick the points in which we have values; a table of
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values is a very discontinuous function. What I mean is that we have a
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finite number of points in which the function is defined, so the
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function is not continuous anywhere. So we can't integrate it; but we
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can get an approximation, anyway; as Riemann used to do. In situations
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such as this one described, we are indeed picking arbitrary points. In
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an abstract case; in cases where we're dealing with mathematical
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functions, we will indeed choose equally spaced points if we're going to
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integrate directly through Riemann's technique. The truth is that for
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mathematical functions, we integrate using our integration methods, but
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numerical integration is always useful for when we don't have a
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continuous function to work with.
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Some discontinuities can be resolved. For example, suppose that a
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function is continuous on an interval $[a,c)$ and continuous on an
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interval $(c,b].$ That is, the function is continuous on $[a,b]$ except
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at $c.$ Suppose now that the limit of the function as we approach $c$
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exists and has value $L.$ Then we may, simply... hah, I don't know if we
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can do what I'm thinking. For a non-abstract case, indeed; but for an
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abstract function, I don't know. What I had in mind was to patch the
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function, but if we patch it, we have now a continuous function and then
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of course we can integrate. (What if we patch it in a way that doesn't
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make it continuous, though? We should pursue this just to see what
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would happen.)
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When we use Riemann's technique to integrate, we often pick the
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midpoints of the $n$ subintervals we choose. That's because for some
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common functions, we actually get a pretty good approximation of the
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area by picking the midpoints.
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\subsection{Properties of integrals}
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In our definition of the definite integral, we assumed that the lower
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limit is a point on the $x$-axis which is more to the left of the upper
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limit, but a Riemann sum makes sense even if the lower limit is greater
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than the upper limit. Suppose we want to integrate over an interval
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$[a,b],$ but we want to start from the right and add to the left; then
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$\Delta x$ changes from $(b - a)/n$ to $(a - b)/n.$ So
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%v
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$$\int_b^a f(x)\ dx = - \int_a^b f(x)\ dx.$$
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%e
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Also, if a $= b,$ then $\Delta x = 0$ so
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%v
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$$\int_a^a f(x)\ dx = 0.$$
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%e
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|
Also, integrating a constant, is the same as computing the area of a
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rectangle because a constant function is a straight line. So, if the
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interval is $[a,b],$ then the integral will be equal to $c (b - a),$
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where $c$ is any constant. Also, the sum of two integrals is equal to
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the integral of the sum of two functions over the same interval.
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You can always concatenate adjacent intervals as says the property
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%v
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$$\int_a^c f(x)\ dx + \int_c^b f(x)\ dx = \int_a^b f(x)\ dx.$$
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%e
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|
If $f(x) \geq 0$ for $[a,b],$ then
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%v
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$$\int_a^b f(x)\ dx \geq 0.$$
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%e
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|
This makes total sense, no? Similarly, if $f(x) \geq g(x)$ for $[a,b],$ then
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%v
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$$\int_a^b f(x)\ dx \geq \int_a^b g(x)\ dx.$$
|
|
%e
|
|
Suppose now that $m \leq f(x) \leq M$ for $[a,b],$ where $m$ and $M$ are
|
|
constants. Then, by using the property defined above, we can write
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%v
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$$\int_a^b m\ dx \leq \int_a^b f(x)\ dx \leq \int_a^b M\ dx,$$
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%e
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which in turn implies that %cm
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%v
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$$m (b - a) \leq \int_a^b f(x)\ dx \leq M (b - a).$$
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%e
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which has a meaningful geometric interpretation. This property is very
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useful to estimate integrals. It also allows us to start a chain of
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reasoning if we're dealing with areas or integrals, since all integrals
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have this property.
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Suppose for instance, that we want to estimate the area
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%v
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$$\int_1^4 \sqrt{x}\ dx.$$
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%e
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Since $\sqrt{x}$ is defined on $[1,4],$ then we can use the ``closed
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interval theorem'' to get the absolute minimum and absolute maximum of
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the function in this interval. So it's true that %align by \leq
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%v
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\begin{align*}
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1 (4 - 1) &\leq \int_1^4 \sqrt{x}\ dx \leq 2 (4 - 1)\\
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3 &\leq \int_1^4 \sqrt{x}\ dx \leq 6.
|
|
\end{align*}
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%e
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So the area we're looking for indeed lies between the $3$ and $6$ units
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square, or is $3$ or $6$ units square.
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Let's estimate some integrals now, using Riemann sums. Suppose that
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$f(x)$ $= 2 - x^2$ for $0 \leq x \leq 2.$ We will take the right
|
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endpoints as heights for the rectangles. We have each $\Delta x = 2/4 =
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1/2.$ So our heights will be computed from $1/2, 2/2, 3/2, 4/2.$ The
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|
$i$th height will be $i/2$ from $i=1$ to $i=4.$ So
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%v
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$$\sum_{i=1}^4\fr{1}{2} \bl[ 2 - \bl( \fr{i}{2} \br)^2
|
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\br] = \fr{1}{4}$$
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|
%e
|
|
Now, if we would use $n$ rectangles, then we would get a $\Delta x =$
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|
$2/n.$ Each height will be computed from $2/n, 4/n, 6/n, ..., 2n/n.$ So,
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|
we get a formula for a Riemann sum, which when taking the limit, we find
|
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%v
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$$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \fr{2}{n} \bl[2 -
|
|
\bl(\fr{2i}{n}\br)^2 \br] = \fr{4}{3} = 1 + \fr{3}{9}.$$
|
|
%e
|
|
Suppose that $f(x) = 3x - 7$ for $0 \leq x \leq 3.$ Let's compute the
|
|
integral by using Riemann sums. We will break the interval down in $n$
|
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pieces, so each piece will be $3/n.$ Using the right endpoints, we will
|
|
compute the heights from $3/n, 6/n,$ 9n, ..., 3n/n. In general, we will
|
|
compute the heights from 3i/n from $1$ to $n.$ In symbols, we have
|
|
%v
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|
$$\lim_{n\to \infty} \fr{3}{n} \sum_{i=1}^n \fr{9i}{n} = \fr{27}{2}$$
|
|
%e
|
|
Suppose that $f(x) = x - 2 \sin(2x)$ for $0 \leq x \leq 3.$ In general,
|
|
$\Delta x$ $= 3/n.$ So the heights will be computed from $3i/n$ from $1$
|
|
to $n.$ In symbols, we have the integral equal to
|
|
%v
|
|
$$\lim_{n\to \infty} \fr{3}{n} \sum_{i=1}^n \fr{3i}{n} - 2
|
|
\sum_{i=1}^n \sin\bl(\fr{6i}{n} \br)$$
|
|
%e
|
|
I don't know how to compute the second sum. The sine function seems to
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|
complicate matters to me. I would, of course, start by looking for a
|
|
pattern there, and rewrite the sine function as a new sum involving the
|
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pattern of values that I found by computing many sine function calls
|
|
from the values that interests us; perhaps this way we would be able to
|
|
get rid of the sine expression.
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|
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Let us now turn ourselves to the midpoint rule. Suppose that we want to
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compute the area under $2 - x^2$ for $0 \leq x \leq 2$ with $4$
|
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rectangles. Dividing a distance of $2$ in $4$ pieces will yield a $1/2$
|
|
distance for each piece. We are interested in the midpoints of each of
|
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these pieces, so we will start with the midpoint between $0$ and $1/2$
|
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which is $1/4;$ the next will be $(1/2 + 1)/2 = 3/4;$ the next will be
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5/4. In general, we have $(2i + 1)/4$ where $i$ ranges from 0 to
|
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3. Therefore, we have
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%v
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$$\sum_{i=0}^3 \fr{1}{2} \bl[2 - \bl( \fr{2i + 1}{4} \br)^2 \br] = 1.375$$
|
|
%e
|
|
which is a pretty good approximation, considering the amount of
|
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rectangles we're using.
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\masciiexe{} Estimate $\int_0^{10} \sin( \sqrt{x} )\ dx.$
|
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|
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{\em Solution.} We will compute a Riemann sum with $5$ rectangles by
|
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using midpoints to compute heights. So we write
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%v
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$$\int_0^{10}\sin( \sqrt{x} )\ dx \approx \sum_{i=0}^4 2 ( \sin( \sqrt{2i+1} )) \approx 6.64.$$
|
|
%e
|
|
Because the interval goes from $0$ to $10,$ we chose to divide it in $5$
|
|
pieces so that we can get simple looking expressions; we have, for
|
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example, $\Delta x = 2,$ and the heights, computed from midpoints, are
|
|
expressed 2i $+ 1$ where $i$ goes from $0$ to $4.$ The integral itself
|
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is approximately $6.28,$ so we have a pretty good approximation. \exeend
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|
|
\masciiexe{} Estimate $\int_1^2 \sqrt{1 + x^2}\ dx.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We will compute a Riemann sum using $10$ rectangles. We
|
|
will have a $\Delta x = 1/10.$ We will compute the heights by using the
|
|
midpoints of each subinterval. The first left endpoint is $1,$ and the
|
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second is $1 + 1/10 = 11/10.$ The second left endpoint is $11/10 + 1/10
|
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= 12/10,$ and it goes on like that. The first midpoint is $(1 + 11/10)/2
|
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= 21/20.$ The second midpoint is $(12/10 + 13/10)/2 = 25/20.$
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|
It is not clear to me what the $i$th midpoint will be. We will then
|
|
develop some algebra here to see if we can have a general form for
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midpoints, and then come back to solve this problem. \exeend
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\subsection{Interval patterns in Riemann sums}
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The length of each rectangle is usually computed by dividing the
|
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interval $[r,s]$ in $n$ pieces. So $\Delta x = (s - r)/n.$ Now, what is
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the first point of the interval? It is certainly $r.$ The next point
|
|
will be $r + (s - r)/n,$ and the next will be $r + 2(s - r)/n,$ and the
|
|
next will be $r + 3(s - r)/n.$ Therefore, the $i$th will be $r + i(s -
|
|
r)/n.$ We are interested as well in the midpoints.
|
|
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So we need to half of the sum of two adjacent points. That is,
|
|
%v
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$$\fr{\bl[r+ \fr{(i - 1)(s - r)}{n}\br] +
|
|
\bl[r + \fr{i (s - r)}{n}\bl]}{2}.$$
|
|
%e
|
|
But notice that this is a formula for midpoints, not a pattern. We want
|
|
a pattern as well, so that we can write a Riemann sum right away. In
|
|
order to find a pattern, we will look at some values of $i.$ When $i = 1,$
|
|
we have
|
|
%v
|
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$$\fr{1}{2}\bl( \bl[r + 0 \cdot \fr{s - r}{n}\br] +
|
|
\bl[r + \fr{s - r}{n}\br] \br) =
|
|
\fr{1}{2} \bl(2r + \fr{s - r}{n}\br) =
|
|
r + \fr{s - r}{2n}$$
|
|
%e
|
|
and the sequence goes as
|
|
%v
|
|
$$r+ \fr{(s - r)}{2n}, r + \fr{3(s - r)}{2n}, r +
|
|
\fr{5(s - r)}{2n}, ..., r + \fr{(2i + 1)(s - r)}{2n},$$
|
|
%e
|
|
where $i$ starts at zero. Now, we must discover what is the last value
|
|
of $i.$ Would it be simply $n?$ Or perhaps $n - 1?$ I say that we will
|
|
have $n$ midpoints; I also say that the first is obtainable by $i = 0,$
|
|
so the last must be obtainable by $i = n - 1.$ No? I think so. We're now
|
|
with enough tools to work on that previous problem.
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%% For that, we will look at an example to see what kind of last value we
|
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%% end up with. Suppose, for instance, that we are working with an interval
|
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%% [1,2]. Then, the last right endpoint will be 1 + n(2 - 1)/n = 2. So, if
|
|
%% we're computing right endpoints, i goes from 1 to n. If we are computing
|
|
%% left endpoints, then the last endpoint is 1 + (n - 1)(2 - 1)/n.
|
|
%% Therefore, the last midpoint will be the midpoint between the last
|
|
%% left endpoint and the last right endpoint. That is, %align by =
|
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%% r + n(s - r)/n + r + (n - 1)(s - r)/n
|
|
%% = 2r + (s - r) + (n - 1)(s - r)/n
|
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%% = 2r + (n(s - r) + (n - 1)(s - r))/n
|
|
%% = 2r + ( (s - r)(n + n - 1) )/n
|
|
%% = 2r + ( (s - r)(2n - 1) )/n
|
|
|
|
\masciiexe{} Estimate $\int_1^2 \sqrt{1 + x^2}\ dx.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We will compute a Riemann sum using $10$ rectangles. We
|
|
will have a $\Delta x = 1/10.$ By the work we've done above, we will
|
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have the heights as
|
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%v
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|
$$r + \fr{(2i + 1)(s - r)}{2n}$$
|
|
%e
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|
where $r = 1, s = 2,$ and $n = 10.$ Then, we write the Riemann sum as
|
|
%v
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$$\fr{1}{10} \sum_{i=0}^{9}
|
|
\sqrt{1 + \bl(1 + \fr{2i + 1}{20}\br)^2}
|
|
\approx 1.81$$
|
|
%e
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|
\exeend
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|
|
|
\masciiexe{} Evaluate $\int_{-1}^5 1 + 3x\ dx.$
|
|
|
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{\em Solution.} We now want the integral really; but since we don't have
|
|
techniques yet, we will compute it as Riemann used to do. By the work we
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|
developed above, and knowing that we're working with $n$ subinterval of
|
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length $6/n,$ our heights will be
|
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%v
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$$r + \fr{(2i + 1)(s - r)}{2n},$$
|
|
%e
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|
where $r = -1, s = 5,$ so
|
|
%v
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|
$$-1 + \fr{3(2i + 1)}{n},$$
|
|
%e
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|
and then we can compute
|
|
%v
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$$\lim_{n \to \infty} \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n \bl[1 + 3\bl(-1 + \fr{3(2i + 1)}{n}\br)\br] = 42,$$
|
|
%e
|
|
Now, if we're suspicious of the formula above for the midpoints, let's
|
|
pick the right endpoints which will be the following sequence $-1 + 6/n,
|
|
-1 + 2 \cdot 6/n, -1 + 3 \cdot 6/n,$ ..., $-1 + 6i/n.$ So we write
|
|
%v
|
|
$$\lim_{n \to \infty} \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n \bl[1 + 3\bl(-1 + \fr{6i}{n}\br)\br] = 42,$$
|
|
%e
|
|
and as a final check, let's carefully compute as %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
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|
\int_{-1}^5 1 + 3x\ dx &= \lim_{n\to \infty} \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n \bl[1 + 3\bl(-1 + \fr{6i}{n}\br)\br]\\
|
|
&= \lim_{n\to \infty} \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n \bl[1 - 3 + \fr{18i}{n}\br] \\
|
|
&= \lim_{n\to \infty} \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n -2 + \fr{6}{n} \sum_{i=1}^n \fr{18i}{n}\\
|
|
&=\lim_{n\to \infty} \bl(-12 + \fr{60 + 48}{n^2} \sum_{i=1}^n i\br) \\
|
|
&=\lim_{n\to \infty} \bl[-12 + \fr{108}{n^2} \bl(\fr{n(n+1)}{2}\br)\br] \\
|
|
&=\lim_{n\to \infty} \bl[-12 + 108 \bl(\fr{1}{2} + \fr{1}{n}\br)\br] \\
|
|
&=-12 + 54 = 42.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So perhaps we may now trust the pattern developed above for midpoints.
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
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|
%v
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$$\int_0^{\pi/4} \sin^3{x}\ dx \leq \int_0^{\pi/4} \sin^2{x}\ dx.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We know that $\sin(x) \geq 0$ for all $x$ in
|
|
$[0,\pi/4].$ So $\sin^3(x) \geq 0.$ Since $\sin(x) \leq 1$ for all $x$
|
|
real, then $\sin^3(x) \leq 1$ for all $x$ real. So $\sin^3(x) \leq
|
|
\sin^2(x)$ for all $x$ in $[0,\pi/4].$ So
|
|
%v
|
|
$$\int_0^{\pi/4} \sin^3{x}\ dx \leq \int_0^{\pi/4} \sin^2{x}\ dx.$$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
I have to prove that $ab \leq a$ if and only if $0 \leq b \leq 1.$ I
|
|
don't know how to prove that right now.
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|
|
|
\masciiexe{} Prove that
|
|
%v
|
|
$$\int_1^2 \sqrt{5 - x}\ dx \geq \int_1^2 \sqrt{x + 1}\ dx.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We must show that $f(x) = \sqrt{5 - x} \geq g(x) =
|
|
\sqrt{x + 1}$ for all $x$ in $[1,2].$ We have $f(1) = 2 \geq g(1) =
|
|
\sqrt{2}.$ At $x = 2,$ we have $f(2) = \sqrt{3} \geq \sqrt{3} = g(2).$
|
|
Now notice that
|
|
%v
|
|
$$f'(x)= \fr{-1}{2 \sqrt{5 - x}} \text{ and } g(x) = \fr{1}{2\sqrt{x+1}}.$$
|
|
%e
|
|
So $f(x)$ is an always decreasing function, while $g(x)$ is an always
|
|
increasing function. This means that if they cross each other, they only
|
|
do so once, and we will know that to the left of the crossing point, we
|
|
have $f(x) \geq g(x),$ and to the right, we have $f(x) \leq g(x).$ This
|
|
interesting point is $x = 3.$ So, $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in
|
|
$[1,2].$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
|
|
%v
|
|
$$2 \leq \int_{-1}^1 \sqrt{1 + x^2}\ dx \leq 2 \sqrt{2}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Let $f(x) = \sqrt{1 + x^2}.$ So $f(-1) = \sqrt{2}.$
|
|
Notice that our domain is $-1 \leq x \leq 0$ union $0 \leq x \leq 1.$
|
|
Start with $0 \leq x \leq 1.$ Square it to get $0 \leq x^2 \leq 1$ which
|
|
implies
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%v
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$$1 \leq x^2 + 1 \leq 2.$$
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%e
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|
Since every term of the inequality above is positive, we may take the
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square root of each of them to get
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%v
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$$1 \leq \sqrt{x^2 + 1} \leq \sqrt{2}.$$
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|
%e
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|
Now integrate that to get
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%v
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$$\int_{-1}^21\ dx \leq \int_{-1}^1 \sqrt{x^2 + 1}\ dx
|
|
\leq \int_{-1}^1 \sqrt{2}\ dx,$$
|
|
%e
|
|
which implies
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|
%v
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|
$$2\leq \int_{-1}^1 \sqrt{x^2 + 1}\ dx \leq 2 \sqrt{2}.$$
|
|
%e
|
|
as desired. \exeend
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|
\masciiexe{} Prove that
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%v
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$$\fr{\pi}{6} \leq \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin(x)\ dx \leq \fr{\pi}{3}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We'll try constructing the result. The distance that we
|
|
will integrate is $\pi/2 - \pi/6 = \pi/3.$ We will work backwards to
|
|
find which constants we should integrate. For instance, we need a
|
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constant $m$ such that $m(\pi/2 - \pi/6) = \pi/6;$ so $m = 1/2.$ Also,
|
|
we need a constant $M$ such that $M(\pi/2 - \pi/6) = \pi/3;$ so $M = 1.$
|
|
Now, consider the inequality
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%v
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$$m = 1/2 \leq x \leq 1 = M.$$
|
|
%e
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We know that $\sin(\pi/6) = 1/2$ and that $\sin(\pi/2) = 1.$ So it's
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true that $1/2 \leq \sin(x) \leq 1$ for all $x$ in $[\pi/6,\pi/2].$ So
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we now integrate this inequality above to write %align by \leq
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%v
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\begin{align*}
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\int_{\pi/6}^{\pi/2}\fr{1}{2}\ dx
|
|
&\leq \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin(x)\ dx
|
|
\leq \int_{\pi/6}^{\pi/2} 1\ dx\\
|
|
\fr{\pi}{6}&\leq \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin(x)\ dx
|
|
\leq \fr{\pi}{3}.
|
|
\end{align*}
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|
%e
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|
So we have a procedure here. We discovered the constants that would work
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by computing $m(u - l) = d,$ where $u$ is the upper limit and l is the
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lower limit, and $d$ is the desired constant. We solve for $m,$ and
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we're ready to set up the inequality of integrals, and integrate each
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term. \exeend
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\masciiexe{} Estimate
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%v
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$$\int_1^2 \fr{1}{x}\ dx.$$
|
|
%e
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{\em Solution.} The method here is to look for the absolute minimum and
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|
maximum. We may use the ``extreme value theorem'' of continuous
|
|
functions. Mininum and maximum, respectively, are, $1/2$ and $1.$ So
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%v
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|
$$\fr{1}{2} (2 - 1) \leq \int_1^2 \fr{1}{x}\ dx \leq 1 (2 - 1).$$
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%e
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|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Estimate
|
|
%v
|
|
$$\int_0^2 \sqrt{x^3 + 1}\ dx.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Minimum and maximum, respectively, are $1$ and $3.$ So
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%v
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|
$$2 \leq \int_0^2 \sqrt{x^3 + 1}\ dx \leq 6.$$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Estimate
|
|
%v
|
|
$$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \cos(x)\ dx.$$
|
|
%e
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|
{\em Solution.} We have $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2,$ and $\cos(\pi/3) =
|
|
1/2.$ So
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%v
|
|
$$\fr{1}{2}\bl(\fr{\pi}{3}- \fr{\pi}{4}\br) \leq
|
|
\int_{\pi/4}^{\pi/3} \cos(x)\ dx \leq \fr{1}{2}\bl(\fr{\pi}{3} -
|
|
\fr{\pi}{4}\br)$$
|
|
%e
|
|
which implies
|
|
%v
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|
$$\fr{\pi}{48} \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} \cos(x)\ dx \leq \fr{\pi}{24}.$$
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|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Estimate
|
|
%v
|
|
$$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2(x)\ dx.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} The minimum is $1/2$ at $\pi/4$ and $3\pi/4,$ and the
|
|
maximum is $1$ at $\pi/2.$ I'm afraid I need the property
|
|
%v
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|
$$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^2{x}\ dx = 2 \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^2{x}\ dx.$$
|
|
%e
|
|
I'm pretty confident that this is true, but I have no formal argument. I
|
|
say that the derivative of $\sin^2(x)$ is $2 \sin(x) \cos(x).$ Now I can
|
|
prove, using the derivative, that from $\pi/4$ to $\pi/2,$ the function
|
|
is increasing, and decreasing from $\pi/2$ to $3\pi/4.$ I can also prove
|
|
that in these two intervals, the slope is only different by a sign. That
|
|
is, in the same velocity that it goes up, it also goes down on the other
|
|
interval. So, the area it covers is the same in both
|
|
intervals. Therefore, the property above follows. Now, instead of
|
|
estimating the left side of the equation, we estimate the right side. So
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|
we write
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%v
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|
$$\fr{1}{4}\bl(\fr{\pi}{2} - \fr{\pi}{4}\br) \leq \int_{\pi/4}^{\pi/2}
|
|
\sin^2{x}\ dx \leq 1 \bl(\fr{\pi}{2} - \fr{\pi}{4} \br)$$
|
|
%e
|
|
We multiply the inequality by $2$ so that %align by \leq
|
|
%v
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|
\begin{align*}
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|
\fr{\pi}{8}&\leq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^2{x}\ dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^2{x}\ dx \leq \fr{\pi}{2} \\
|
|
\fr{\pi}{8}&\leq \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2{x}\ dx \leq \fr{\pi}{2}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
The idea of looking for absolute minimum and absolute maximum helps
|
|
quite a bit, but it will become troublesome as we work with not so well
|
|
behaved functions; we may, nevertheless, break the badly behaved
|
|
function into as many pieces as necessary and then look for minimum and
|
|
maximum in these smaller closed intervals in which the function behaves
|
|
somewhat well. So, as we can see, we cannot work with too complicated
|
|
functions; only with somewhat bladly behaved ones.
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
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%v
|
|
$$\int_a^b x\ dx = \fr{b^2 - a^2} {2}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We start with the definition of the integral and $try$ to find
|
|
the result. The definition says that %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
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|
\int_a^bx\ dx &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \fr{b-a}{n} \bl[a + \fr{i(b-a)}{n}\br]\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} \fr{b-a}{n} \bl[\sum_{i=1}^n a + \sum_{i=1}^n \fr{i(b-a)}{n}\br]\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} \fr{b-a}{n} \bl[an + \fr{b-a}{n} \fr{n (n+1)}{2} \br]\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} a (b-a) + \lim_{n \to \infty} \bl(\fr{b-a}{n}\br)^2 \fr{n (n+1)}{2}\\
|
|
&=a (b-a) + \lim_{n \to \infty} \fr{(b-a)^2}{2} \bl(1 + \fr{1}{n}\br)\\
|
|
&=a (b-a) + \fr{(b-a)^2}{2}\\
|
|
&=\fr{2a (b-a) + (b-a)^2} {2}\\
|
|
&=\fr{2ab - 2a^2 + b^2 - 2ab + a^2}{2}\\
|
|
&=\fr{- 2a^2 + b^2 + a^2}{2}\\
|
|
&=\fr{b^2 - a^2}{2}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
|
|
%v
|
|
$$\int_1^3 \sqrt{x^4 + 1}\ dx \geq \fr{26}{3}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} I need the fact that
|
|
%v
|
|
$$\int_a^bx^2\ dx = \fr{b^3 - a^3}{3},$$
|
|
%e
|
|
to prove the above. Assume so. Now notice that $f(x) = x^2$ has minimum
|
|
and maximum, respectively, as $1$ and $9$ in $[1,3].$ Also, we have
|
|
$\sqrt{2}$ and $\sqrt{82}$ as a minimum and maximum, respectively, of
|
|
$\sqrt{x^4 + 1}.$ So, we know now that
|
|
%v
|
|
$$\int_1^3\sqrt{x^4 + 1}\ dx \geq \int_1^3 x^2\ dx = \fr{80}{3} \geq \fr{26}{3}.$$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
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|
%% Exercise. Prove that %cm
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%% \int_0^{\pi/2} x sin x\ dx <= \fr{\pi^2}{8}.
|
|
|
|
%% Solution. We know that %cm
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|
|
|
%% \int_0^{\pi/2} x^2\ dx = \fr{\pi^3}{24}.
|
|
|
|
%% My computer tells me that %cm
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|
|
|
%% \fr{\pi^3}{24} =~ 1.29 \text{ and } \fr{\pi^2}{8} =~ 1.23.
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
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|
%v
|
|
$$\int_a^b c f(x)\ dx = c \int_a^b f(x)\ dx,$$
|
|
%e
|
|
where $c$ is a constant.
|
|
|
|
{\em Solution.} Straightforwadly, we write %align by =
|
|
%v
|
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\begin{align*}
|
|
\int_a^bc f(x)\ dx &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n c f(x_i) \Delta x\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} c \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x\\
|
|
&=c \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x\\
|
|
&=c \int_a^b f(x)\ dx,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
where $\Delta x = (b -a)/n.$ \exeend
|
|
|
|
\masciith{} If $f(x)$ is continuous, then
|
|
%v
|
|
$$\bl|\int_a^b f(x)\ dx \br| \leq \int_a^b | f(x) |\ dx $$
|
|
%e
|
|
\theend
|
|
|
|
\masciiproof{} The function $f(x)$ takes values on the interval $[a,b].$
|
|
At each of these values, the function gives us a real number. So we may
|
|
use the property of real numbers to say that $-|f(x)| \leq f(x) \leq
|
|
|f(x)|$, so we may write %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_a^b- |f(x)|\ dx &\leq \int_a^b f(x)\ dx \leq \int_a^b |f(x)|\ dx.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Notice now that $f(x)$ can yield negative and positive values, and
|
|
$|f(x)|$ only positive values. So we may write
|
|
%v
|
|
$$\bl|\int_a^bf(x)\ dx \br| \leq \int_a^b |f(x)|\ dx.$$
|
|
%e
|
|
In other words, if $f(x) \geq$ for all $x$ in its domain, then we
|
|
stricly have an equation; but if $f(x)$ takes a negative value anywhere
|
|
in its domain, then we will stricly have an inequality. \profend
|
|
|
|
\masciiexe{} Prove that
|
|
%v
|
|
$$\bl|\int_0^{2\pi} f(x) \sin(2x)\ dx \br| \leq \int_0^{2\pi} |f(x)|\ dx.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We now know that
|
|
%v
|
|
$$\bl|\int_0^{2\pi} f(x) \sin(2x)\ dx \br| \leq \int_0^{2\pi} |f(x) \sin(2x)|\ dx.$$
|
|
%e
|
|
Since the integral is definite, it is a real number; so %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\bl|\int_0^{2\pi} f(x) \sin(2x)\ dx \br| &\leq \int_0^{2\pi} |f(x)| |\sin(2x)|\ dx.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Now notice that $|\sin(2x)| \leq 1,$ so because of this, it follows that
|
|
%v
|
|
$$\int_0^{2\pi} |f(x)| |\sin(2x)|\ dx \leq \int_0^{2\pi} |f(x)|\ dx.$$
|
|
%e
|
|
We actually haven't proved that $|a| |b| \leq |a|$ when $|b| \leq 1.$ \exeend
|
|
|
|
It is interesting to identify Riemann sums as integrals so that we can
|
|
easily compute them with the fundamental theorem of calculus. The next
|
|
exercise illustrates this.
|
|
|
|
\masciiexe{} Compute
|
|
%v
|
|
$$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \fr{i^4}{n^5}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} In this case here, we may write
|
|
%v
|
|
$$\lim_{n \to \infty} 1/n \sum_{i=1}^n \fr{i^4}{n^4},$$
|
|
%e
|
|
and claim that the interval is from $0$ to $1,$ and the integrand is
|
|
$x^4.$ In symbols,
|
|
%v
|
|
$$\lim_{n \to \infty} 1/n \sum_{i=1}^n \fr{i^4}{n^4} = \int_0^1 x^4\ dx. $$
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
As we have mentioned in previous pages, the sample points picked in a
|
|
Riemann sum need not be right endpoints, left endpoints, or
|
|
midpoints. We may pick whatever points in each subinterval of the
|
|
Riemann sum to compute the height of the rectangle --- as long as the
|
|
$\Delta x \to 0.$ The next exercise illustrates an unusual choice.
|
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|
|
\masciiexe{} Compute
|
|
%v
|
|
$$\int_1^2x^{-2}\ dx. $$
|
|
%e
|
|
Hint: choose $x_i^*$ to be the geometric mean of $x_{i-1}$ and $x_i.$
|
|
The geometric mean is the function $\sqrt{x_{i-1} x_i}.$ Also, use the
|
|
identity
|
|
%v
|
|
$$\fr{1}{m (m+1)} = \fr{1}{m} - \fr{1}{m+1}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Let $x_i = 1 + i/n.$ This is our first endpoint. It is a right
|
|
enpoint. By the hint, we will choose the geometric mean as the sample
|
|
points. So let $x_i^* = \sqrt{x_{i-1} x_i}$. So %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_1^2x^{-2}\ dx &= \lim_{n \to \infty} \fr{1}{n} \sum_{i=1}^n \fr{1}{\sqrt{\bl[\bl(1 + \fr{i-1}{n}\br)\bl(1 + \fr{i}{n}\br)\br]^2}}\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} \fr{1}{n} \sum_{i=1}^n \fr{1} { \bl(1 + \fr{i-1}{n}\br) \bl(1 + \fr{i}{n}\bl) }\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} \fr{1}{n} \sum_{i=1}^n \fr{1} {\bl(\fr{n + i-1}{n}\br) \bl(\fr{n+ i}{n}\br) }\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} \fr{1}{n} \sum_{i=1}^n \fr{n^2} { (n + i-1) (n+ i) }\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} n \sum_{i=1}^n \fr{1} { (n + i-1) (n+ i) }.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Now let $m = n+i-1$ so that $m + 1 = n + i.$ By the hint, then, we have %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{n\to \infty} n \sum_{i=1}^n \bl( \fr{1} { n + i-1} - \fr{1} {n+ i} \br)
|
|
&=\lim_{n \to \infty} n \sum_{i=1}^n \fr{1} { n + i-1} - n \sum_{i=1}^n \fr{1} {n+ i} \\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} n \sum_{i=0}^{n-1} \fr{1} { n + i} - n \sum_{i=1}^n \fr{1} {n+ i} \\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} n \bl( \fr{1}{n} - \fr{1}{2n} \br)\\
|
|
&=\lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \fr{1}{2} = \fr{1}{2}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\subsection{The fundamental theorem}
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|
|
|
The fundamental theorem of calculus is remarkable. The fundamental
|
|
theorem makes two claims, and so we will break it down in two theorems.
|
|
|
|
\masciith{} Let $f$ be continuous on $[a,b].$ Define
|
|
%v
|
|
$$g(x) = \int_a^x f(t)\ dt,$$
|
|
%e
|
|
for $a \leq x \leq b.$ Then $g(x)$ is continuous on $[a,b]$ and
|
|
differentianble on $(a,b)$ such that $g'(x) = f(x).$ \theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let $x$ be in $(a,b).$ Let $x + h$ be in $(a,b)$ with $h
|
|
\neq 0.$ Then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
g(x+h)- g(x) &= \int_a^{x+h} f(t)\ dt - \int_a^x f(t)\ dt\\
|
|
&=\bl( \int_a^{x} f(t)\ dt + \int_x^{x+h} f(t)\ dt \br) - \int_a^x f(t)\ dt\\
|
|
&=\int_a^{x} f(t)\ dt + - \int_a^x f(t)\ dt + \int_x^{x+h} f(t)\ dt\\
|
|
&=\int_x^{x+h} f(t)\ dt.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Since h $\neq 0,$ we may multiply this equation by $1/h.$ So
|
|
%v
|
|
$$\fr{g(x+h)- g(x)}{h} = \fr{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\ dt.$$
|
|
%e
|
|
We now consider two cases; one in which $h > 0$ and one in which $h <
|
|
0.$ First, let $h > 0.$ Consider now the interval $[x, x + h].$ Since
|
|
$f$ is continuous, then by the extreme value theorem, there is a number
|
|
$u$ such that $f(u) = m$ is the absolute minimum of $f$ in $[x, x + h].$
|
|
Similarly, there is a number $v$ such that $f(v) = M$ is the absolute
|
|
maximum of $f$ in $[x, x + h].$ Therefore, %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_x^{x+h} m\ dt &\leq \int_x^{x+h} f(t)\ dt \leq \int_x^{x+h} M\ dt\\
|
|
mh &\leq \int_x^{x+h} f(t)\ dt \leq Mh\\
|
|
f(u) h &\leq \int_x^{x+h} f(t)\ dt \leq f(v)h.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Since $h > 0,$ we may write
|
|
%v
|
|
$$f(u) \leq \fr{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\ dt \leq f(v),$$
|
|
%e
|
|
which is the same as
|
|
%v
|
|
$$f(u) \leq \fr{ g(x + h) - g(x) }{h} \leq f(v).$$
|
|
%e
|
|
Now, if we let $h \to 0^+,$ then we will be squeezing the interval
|
|
$[x,x+h],$ and so we would expect that eventually $f(u) = f(x),$ and
|
|
similarly for $f(v).$ In symbols,
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h \to 0^+} f(u) = \lim_{u \to x^+} f(u) = f(x).$$
|
|
%e
|
|
Similarly for $v,$ we have
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h \to 0^+} f(v) = \lim_{v \to x^+} f(v) = f(x).$$
|
|
%e
|
|
So we may write %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{h\to 0^+} f(u) &\leq \lim_{h\to0^+} \fr{g(x+h) - g(x)}{h} \leq \lim_{h\to0^+} f(v)\\
|
|
f(x)&\leq \lim_{h\to0^+} \fr{g(x+h) - g(x)}{h} \leq f(x).
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Therefore, by the squeeze theorem, we have
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h\to0^+} \fr{g(x+h) - g(x)}{h} = f(x).$$
|
|
%e
|
|
|
|
Now let $h < 0,$ and consider the interval $[x + h, x].$ Since $f$ is
|
|
continuous, then by the extreme value theorem, there is a number $u$ in
|
|
$[x+h,x]$ such that $f(u) = m$ is the absolute minimum of $f$ in
|
|
$[x+h,x].$ Similarly, there is a number $v$ in $[x+h,x]$ such that
|
|
$f(v)=M$ is the the absolute maximum of f in $[x+h,x].$ So, %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{x+h}^{x} m\ dt &\leq \int_{x+h}^{x} f(t)\ dt \leq \int_{x+h}^{x} M\ dt\\
|
|
mh &\leq \int_{x+h}^{x} f(t)\ dt \leq Mh\\
|
|
f(u) h &\leq \int_{x+h}^{x} f(t)\ dt \leq f(v)h.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Since $h < 0,$ we may write
|
|
%v
|
|
$$f(u) \geq \fr{1}{h} \int_{x+h}^{x} f(t)\ dt \geq f(v),$$
|
|
%e
|
|
which is the same as
|
|
%v
|
|
$$f(v) \leq \fr{ g(x + h) - g(x) }{h} \leq f(u).$$
|
|
%e
|
|
Now, if we let $h \to 0^-,$ then we will be squeezing the interval
|
|
$[x+h,x],$ and so we would expect that eventually $f(v) = f(x),$ and
|
|
similarly for $f(u).$ In symbols,
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h\to0^-} f(v) = \lim_{v\to x^-} f(v) = f(x).$$
|
|
%e
|
|
Similarly for $u,$ we have
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h\to0^-} f(u) = \lim_{u\to x^-} f(u) = f(x).$$
|
|
%e
|
|
So we may write %align by \leq
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{h\to0^-}f(v) &\leq \lim_{h\to0^-} \fr{ g(x+h)-g(x)} {h} \leq \lim_{h\to0^-}f(u)\\
|
|
f(x)&\leq \lim_{h\to0^-} \fr{ g(x+h)-g(x)} {h} \leq f(x).
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Therefore, by the squeeze theorem, we have
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h\to0^-} \fr{ g(x+h)-g(x)} {h} = f(x).$$
|
|
%e
|
|
Together with our previous result, we have
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h\to0} \fr{g(x+h) - g(x)} {h} = f(x),$$
|
|
%e
|
|
which shows that $f(x)$ is the derivative of $g(x),$ and therefore
|
|
$g(x)$ is differentiable on $(a,b)$ which implies that $g(x)$ is
|
|
continuous on $[a,b].$ \profend
|
|
|
|
\masciith{} If $f$ is continuous on $[a,b],$ then
|
|
%v
|
|
$$\int_a^b f(x)\ dx = F(b) - F(a),$$
|
|
%e
|
|
where $F$ is any antiderivative of $f;$ that is, $F$ is any function
|
|
such that $F'(x) = f(x).$ \theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let
|
|
%v
|
|
$$g(x) = \int_a^x f(t)\ dt.$$
|
|
%e
|
|
We know that $g'(x) = f(x).$ That is, $g(x)$ is an antiderivative of
|
|
$f(x).$ Suppose that $F(x)$ is any antiderivative of $f(x).$ We have a
|
|
theorem which says that any two antiderivatives of a function $f(x)$
|
|
must differ only by a constant. So it is true that %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
F(x) - g(x) &= c\\
|
|
F(x) &= g(x) + c,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
for $a \leq x \leq b.$ Both $F(x)$ and $g(x)$ are continuous on $[a,b].$
|
|
Since both are continuous, we may write %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{x\to a^+} F(x) &= \lim_{x\to a^+} \bl( g(x) + c\br)\\
|
|
F(a) &= g(a) + c.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Similarly, as $x \to b^-,$ we have %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim_{x\to b^-} F(x) &= \lim_{x\to b^-} \bl( g(x) + c \br)\\
|
|
F(b) &= g(b) + c.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
But notice that
|
|
%v
|
|
$$g(a)= \int_a^a f(t)\ dt = 0 \text{ and } g(b) = \int_a^b f(t)\ dt,$$
|
|
%e
|
|
and $g(b)$ describes the area under $f$ from $a$ to $b$ which is what
|
|
we're interested in. We then write %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
F(b) - F(a) &= (g(b) + c) - (g(a) + c)\\
|
|
&= g(b) + c - g(a) - c\\
|
|
&= g(b) + c - c\\
|
|
&= g(b).
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Therefore,
|
|
%v
|
|
$$F(b) - F(a) = g(b) = \int_a^b f(t)\ dt,$$
|
|
%e
|
|
as desired. \profend
|
|
|
|
So if we know the antiderivative of a function $f,$ then we can
|
|
integrate it easily using the second theorem of the fundamental theorem
|
|
of calculus.
|
|
|
|
Outside mathematics, this theorem makes a lot of sense. If $v(t)$ is the
|
|
velocity of an object and $s(t)$ is its position at a time $t,$ then
|
|
$s'(t) =$ $v(t),$ so $s(t)$ is an antiderivative of $v(t).$ If we
|
|
integrate $v(t),$ then what we're doing is computing the area under
|
|
$v(t)$ which is the distance traveled. If the object moved from a to
|
|
$b,$ then $s(b) - s(a)$ is the distance traveled; that is, the integral
|
|
of $v(t)$ from $a$ to $b.$ In symbols,
|
|
%v
|
|
$$\int_a^b v(t)\ dt = s(b) - s(a).$$
|
|
%e
|
|
|
|
\masciiexe{} Differentiate
|
|
%v
|
|
$$h(x)= \int_0^{x^2} \sqrt{1 + r^3}\ dr.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Let $u = x^2.$ Since du/dx $= 2x$ an$d$ since
|
|
%v
|
|
$$\fr{dh}{dx}= \fr{dh}{du} \fr{du}{dx},$$
|
|
%e
|
|
we have %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
h'(x)&= \fr{d}{dx} \int_0^u \sqrt{1 + r^3}\ dr\\
|
|
&= \sqrt{1 + u^3} \fr{du}{dx}\\
|
|
&= 2x \sqrt{1 + x^6}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Differentiate
|
|
%v
|
|
$$h(x) = \int_2^{1/x} \sin^4(t)\ dt.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Let $u = 1/x.$ Then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
h'(x) &= \fr{d}{dx} \int_2^u \sin^4(t)\ dt\\
|
|
&= \sin^4(u) \fr{du}{dx}\\
|
|
&= - \fr{\sin^4(1/x)}{x^2}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Differentiate
|
|
%v
|
|
$$y = \int_3^{\sqrt{x}} \fr{\cos t}{t}\ dt.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Let $u = \sqrt{x}.$ Then $du/dx = 1/2\sqrt{x}.$ So %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
y'&=\fr{d}{dx} \int_3^u \fr{\cos t}{t}\ dt\\
|
|
&= \fr{\cos u}{u} \fr{du}{dx}\\
|
|
&= \fr{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}\\
|
|
&= \fr{\cos\sqrt{x}}{2x}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
\exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Convince yourself that
|
|
%v
|
|
$$\int_{2x}^{3x}f(u)\ du = \int_{2x}^0 f(u)\ du + \int_0^{3x} f(u)\ du.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} Suppose $x = 1.$ Then we have %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int_{2}^{3}f(u)\ du &= \int_{2}^0 f(u)\ du + \int_0^{3} f(u)\ du\\
|
|
&= - \int_{0}^2 f(u)\ du + \int_0^{3} f(u)\ du,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
which does seem to be true. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find a function $f$ and a number $a$ such that
|
|
%v
|
|
$$6+ \int_a^x \fr{f(t)}{t^2}\ dt = 2 \sqrt{x},$$
|
|
%e
|
|
for all $x > 0.$
|
|
|
|
{\em Solution.} The fundamental theorem gives us an easy differentiation
|
|
of the integral; so, we differentiate both sides of the equation to get
|
|
%align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\fr{f(x)}{x^2} &= \fr{1}{x^{1/2}}\\
|
|
f(x)&= x^2 \cdot x^{-1/2}\\
|
|
f(x)&= x^{3/2}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So this a function that seems to be the correct one. The problem here is
|
|
that we also must find $a$ because it is not true in general. How would we
|
|
find $a$? We assume we have found it already. Call it $a.$ So there is such
|
|
number; it is $a.$ Since it exists, we may compute
|
|
%v
|
|
$$6+ \int_a^a \fr{f(t)}{t^2}\ dt = 2 \sqrt{a},$$
|
|
%e
|
|
and it's easy to do so because we know the integral is zero. So %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
6+ 0 &= 2 \sqrt{a}\\
|
|
3&= \sqrt{a}\\
|
|
9&= a.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
It turns out that 9 is a unique solution to this problem. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Suppose $h$ is a function such that $h(1) = -2, h'(1) = 2,
|
|
h''(1) = 3, h(2) = 6, h'(2) = 5, h''(2) = 13$ and $h''$ is continuous
|
|
everywhere. Evaluate
|
|
%v
|
|
$$\int_1^2 h''(u) du.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} We know that
|
|
%v
|
|
$$\int_1^2 h''(u) du = h'(u) \br|_1^2 = 5 - 3 = 2,$$
|
|
%e
|
|
don't we? So, we're done. This problem presents some superfluous
|
|
information; possibly to confuse us. \exeend
|
|
|
|
\subsection{The substitution theorem}
|
|
|
|
\masciith{} If $u = g(x)$ is a differentiable function whose range is an
|
|
interval $I$ and $f$ is continuous on $I$, then
|
|
%v
|
|
$$\int f(g(x)) g'(x) \dx = \int f(u) \du.$$
|
|
%e
|
|
\theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Consider a function $F(g(x)),$ where $F'= f.$ By the
|
|
chain rule, we know that the derivative of $F(g(x))$ is $F'(g(x)) g'(x)
|
|
= f(g(x)) g'(x),$ so if we let $u = g(x),$ then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int F'(g(x)) g'(x) \dx &= F(g(x)) + c \\
|
|
&=F(u) + c \\
|
|
&=\int F'(u) \du\\
|
|
&=\int f(u) \du,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired.\profend
|
|
|
|
%% It is interesting to consider the substitution rule graphically. Let us
|
|
%% pick an example. Consider $y = \sqrt{2x+1}$ from $0$ to $1.$ If we want
|
|
%% the area in terms of some function of $u,$ we must consider changing
|
|
%% three things: $(1)$ the function $y,$ indeed; $(2)$ the limits; $(3)$
|
|
%% the $\dx$ of the integral. One puzzling thing is the change in the
|
|
%% $\dx;$ we tend to think of the $\dx$ as a mere piece of notation.
|
|
|
|
%% In the definition of the integral, we see that the dx represents the
|
|
%% $\Delta x$ of the Riemann sum. The Riemann sum evaluates to a different
|
|
%% number if we change the $\Delta x.$ Here, if we change the limits, we
|
|
%% change the interval in which we're integrating; so, if you think of a
|
|
%% Riemann sum, it's easier to realize that the $\Delta x$ may also change;
|
|
%% we might be increasing the width of the $\Delta x$ or decreasing it.
|
|
|
|
%% Let us compute the area under $f$ from $0$ to $1.$ Let $f(x) =
|
|
%% \sqrt{2x+1}.$ Let $u(x) = 2x + 1.$ So $f(x) = f(u(x)).$ We know that
|
|
%% %v
|
|
%% $$\int f(u(x)) u'(x) \dx = \int f(u) \du$$
|
|
%% %e
|
|
%% by the substitution theorem. So this means that if we want to integrate
|
|
%% $f(x)$ with respect to $x,$ we may integrate $f(u(x)) u'(x)$ with
|
|
%% respect to $x$ instead, which is the same as integrating $f(u)$ with
|
|
%% respect to $u.$ In symbols, %align by =
|
|
%% %v
|
|
%% \begin{align*}
|
|
%% \int_0^1\sqrt(2x+1) \dx &= \int \sqrt{u(x)} u'(x) \dx\\
|
|
%% &= \int_{u(0)}^{u(1)} \sqrt{u} \fr{du}{2}\\
|
|
%% \end{align*}
|
|
%% %e
|
|
%% This is somewhat puzzling. What's the difference between a variable
|
|
%% named $x$ and a variable named $u?$ In general, none. However, here we
|
|
%% have a particular case; the context here makes $x$ and $u$ quite
|
|
%% different. For instance, as $x$ goes from $1$ to $2, u$ goes from $3$ to
|
|
%% $5.$ Clearly, $u$ moves faster than $x.$ They are different axis. They
|
|
%% form different planes. This is an example of the ability that
|
|
%% mathematics gives us. We mirror one problem on another and we create
|
|
%% analogous systems; of course, the analogy must be ideal.
|
|
|
|
%% The analogy here is ideal because what we have done is changed the plane
|
|
%% where the function $f(x)$ is defined. We moved $f$ from the yx-plane to
|
|
%% the yu-plane. When we do that, we have to adjust $x$ to $u.$ In order to
|
|
%% keep $f$ as it really is, we have to adjust $x$ to $u$ in the right way;
|
|
%% the right way is described the the relationship between $x$ and $u;$ the
|
|
%% relationship is that $u = 2x + 1,$ as we defined it. So, the yu-plane is
|
|
%% distorted when compared to the yx-plane. The yu-plane is the
|
|
%% $y(2x+1)$-plane.
|
|
|
|
\subsection{Volumes}
|
|
|
|
We define volume as the limit of the sums of the areas of slices of the
|
|
solid where each slice has a width of $\Delta x$ and $\Delta x \to 0.$
|
|
That is,
|
|
%v
|
|
$$V= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n A(x_i^*) \Delta x = \int_a^b A(x) \dx.$$
|
|
%e
|
|
|
|
\subsection{Um limite legal}
|
|
|
|
Compute
|
|
%
|
|
$$\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}}{\exp(t)}
|
|
\exp\left(\int_0^\infty \floor(t \exp(-x)) \dx\right) $$
|
|
%
|
|
sabendo que
|
|
%
|
|
$$t! \approx \sqrt{2\pi t} \left(\frac{t}{e}\right)^t$$
|
|
%
|
|
sempre que $t \to \infty$.
|
|
|
|
A brincadeira aqui é que esse é um problema que é fácil de compor, mas
|
|
difícil de resolver porque não se consegue facilmente desfazer a
|
|
convolução que foi feita passo a passo pelo autor do problema. Mesmo
|
|
que você conhecesse a aproximação acima, você não pensaria em usá-la
|
|
porque ela está implícita no problema não de forma aparente. Já não
|
|
lembro de cabeça o que eu tinha em mente, quando escrevi esse
|
|
problema---não lembro a solução, por exemplo. Precisaria repensá-lo.
|
|
|
|
\section{Técnicas de integração}
|
|
|
|
Sem dúvida que a técnica mais fundamental de integração é o teorema
|
|
fundamental. A partir dele, a gente estabelece regras primitivas de
|
|
integração como $\int 1/x \dx = \ln x$ uma vez que sabemos derivar
|
|
$\ln x$. Similarmente, a regra do quociente (de derivação) nos entrega
|
|
que a derivada de $\tg x$ é $\sec^2 x$ e, portanto, pelo teorema
|
|
fundamental, obtemos
|
|
%
|
|
$$\int \sec^2 x \dx = \tg x + c.$$
|
|
%
|
|
Isso não é lá notícia tão boa porque significa que teremos que
|
|
memorizar muitas derivadas. Por exemplo, qual a derivada de $\cot x$?
|
|
Primeiro lembre-se que $\cot x = 1/\tg x$. Daí aplique a regra do
|
|
quociente e obtenha $- \sec^2 x / \tg^2 x = - 1/\sin^2 x = - \csc^2
|
|
x$, implicando que $\int \csc^2 x \dx = - \cot x + c$, como
|
|
desejado. Similarmente, obtém-se assim muitas outras integrais
|
|
fundamentais como $\int \sec x \tg x \dx = \sec x + c$ uma vez que a
|
|
derivada de $\sec x$ é $\sec x \tg x$. Infelizmente, o único jeito de
|
|
fazer uso dessas regras é memorizar cada uma por prática. Matemáticos
|
|
fazem manuais de integração em que eles catalogam as importantes. A
|
|
gente não vai fazer isso, não, porque seria um trabalho muito mais
|
|
monumental, mas podemos começar a pensar em computar a derivada de
|
|
todas as funções que conhecemos como $\csc x$, $\sinh x$, $\cosh x$
|
|
{\em et cetera}.
|
|
|
|
A regra da substituição é a regra da cadeia e a regra de integração
|
|
por partes é a regra do produto. As outras regras são ou muito óbvias
|
|
ou pouco úteis. Por exemplo, teria como extraírmos uma regra de
|
|
integração da regra do quociente? Provavelmente ela seria equivalente
|
|
à regra do produto mas com uma expressão menos simples. Agora, a
|
|
integração de funções trigonométricas merece discussão, especialmente
|
|
quando estamos falando de alguns produtos de integrais, que é com o
|
|
que nos preocupamos agora.
|
|
|
|
Pra obter a regra da substuição basta escrever $f(g(x))$, computar a
|
|
derivada $f'(g(x)) g'(x)$ e então obter a regra
|
|
%
|
|
$$\int f'(g(x))g'(x) = f(g(x)) + c.$$
|
|
%
|
|
A substituição em si é obtida por identificar na função a ser
|
|
integrada uma expressão qualquer que possa tomar o lugar de $g'(x)$ e
|
|
$g(x)$, fazendo assim a substuição $u = g(x)$ e substuindo por
|
|
conseguinte $g'(x) \dx = \du$, terminando com o problema resultante
|
|
$\int f'(u) \du$, que é tipicamente muito mais fácil que o original.
|
|
|
|
A integração por partes vem da regra do produto. Uma vez que
|
|
%
|
|
$$(f(x)g(x))' = f'(x) g(x) + f(x)g'(x),$$
|
|
%
|
|
então
|
|
\begin{align*}
|
|
\int f(x)g(x) \dx &= \int f'(x) g(x) \dx + \int f(x)g'(x) \dx\\
|
|
f(x)g(x) &= \int g(x) f'(x) \dx + \int f(x)g'(x) \dx.
|
|
\end{align*}
|
|
%
|
|
Agora declare $u = f(x)$ e $v = g(x)$ de forma que $\du = f'(x)\dx$ e
|
|
$\dv = g'(x)\dx$. Assim, pelo teorema fundamental, obtemos
|
|
%
|
|
$$f(x)g(x) = \int v\du + \int u \dv,$$
|
|
%
|
|
permitindo-nos integrar a difícil $\int v\du$ se $\int u \dv$ for
|
|
fácil, conversamente permitindo-nos integrar a difícil $\int u \dv$
|
|
desde que $\int v \du$ seja fácil. Em outras palavras, uma das duas
|
|
precisa ser fácil de integrar e é por isso que precisamos de alguma
|
|
sabedoria ao escolher $u$ e $v$ durante a integração por partes.
|
|
|
|
Além disso, note também que há situações em que é preciso integrar
|
|
por-partes múltiplas vezes e até usar de alguma criatividade pra sair
|
|
de uma alguma ``sinuca de bico''. É o caso, por exemplo, de $\int e^x
|
|
\sin x \dx$, em que é preciso aplicar por-partes duas vezes e então
|
|
considerar a circularidade do termo $\int e^x \sin x \dx$ como uma
|
|
incógnita a ser descoberta.
|
|
|
|
Há integrais divertidas de se computar de onde se extrai, por exemplo,
|
|
a bonita fórmula
|
|
%
|
|
$$\int x^n e^x \dx = e^x \left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{(n - i)!} x^{n - i}\right) + c$$
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%
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pra todo natural $n$. Por exemplo, $\int x^5 e^x \dx = e^x (x^5 - 5
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x^4 + 20 x^3 - 60x^2 + 120x - 120) + c$. Essa fórmula vem da
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integração por-partes. Escolhe-se sempre o termo $x^i$ como função $u$
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e $e^x$ como função $v$. Aplica-se a integração por-partes $n$ vezes
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(recursivamente) e em seguida substitui-se de volta em direção ao
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problema original. Na verdade o que fizemos pra obter essa fórmula foi
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computar uma {\em reduction formula} pra integral de $x^n e^x$.
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(Veja, por exemplo, o que faz Stewart no exemplo 6 da seção 7.1 da
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nona edição.) A cultura, portanto, é expressar essas fórmulas através
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de uma recorrência. O que fizemos foi traduzir a recorrência pra um
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laço-for iterativo, o que já é alguma vantagem porque assim a gente
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consegue ver o padrão mais facilmente e nos permite memorizar certos
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resultados, como a integral de $x^5 e^x$. Outros padrões talvez não
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fossem tão fáceis de se obter ou memorizar, como o próprio exemplo 6
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da seção 7.1 da nona edição de Stewart. O fato, entretanto, é que uma
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fórmula de redução obtida pela integração por partes só é útil se ela
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for de fato uma fórmula de redução, é claro---a integral recorrente
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precisa ter um grau menor que a integral que se deseja calcular.
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Uma outra observação sobre a integração por partes é que às vezes a
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aplica-se ao produto artificial $f(x)\cdot 1$. Por exemplo, pra
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integrar $\tg^{-1} x$, escolhe-se $u = \tg^{-1} x$ e $\dv = 1$ de forma
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que $\du = 1/(1 + x^2) \dx$ e $v = x$. Daí
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%
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$$\int \tg^{-1} x \dx = x \tg^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} \dx,$$
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%
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que pode ser então resolvida pela substituição $t = 1 + x^2$ na
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integral resultante porque $(1/2x) \dt = \dx$ e aí ficamos com
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$x\tg^{-1}x - \ln|1 + x^2| + c$, como desejado.
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Okay, agora tragamos nossa atenção para as integrais de funções
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trigonométricas.
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\subsection{A integral de funções trigonométricas}
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Começamos por observar que integrar $\tg x$ não é difícil porque ela é
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obtida por uma substituição trivial. Primeiro escreva $\tg x = \sin x
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/ \cos x$. Em seguida declare $u = \cos x$ de forma que $-\du / (\sin
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x) = \dx$, implicando
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%
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$$\int \tg x \dx = -\int 1/u \du = -\ln |\cos x| + c = \ln |\sec x| + c,$$
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%
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como desejado.
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Feita essa observação, a gente também observa que já sabemos integrar
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$\sin x$ e $\cos x$, mas que precisamos pensar em potências delas como
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$\sin^2 x$, $\cos^2 x$ {\em et cetera}. Ambos quadrados são
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integráveis por partes. Por exemplo, pra integrar $\sin^2 x$, declare
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$u = \sin x$ de forma que $\du = \cos x$ e $dv = \sin x \dx$ pra que
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$v = -\cos x$. Agora a integração por partes revela
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%
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$$\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \dx.$$
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%
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Dado que $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, então $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
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Assim $\int \cos^2 x \dx = x - \int \sin^2 x \dx$. Aplicando esse fato
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acima, obtemos $\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x + x - \int \sin^2 x
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\dx$. Observe o sinal positivo da integral no lado esquerdo e o sinal
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negativo da mesma integral no lado direito. Adicione a integral
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desejada a ambos os lados e divida tudo por 2 pra obter
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%
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$$\int \sin^2 x = \frac{1}{2} \left(-\sin x \cos x + x\right),$$
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%
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que é a integral de $\sin^2 x$, como desejado. Pra ter confiança,
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compute a derivada, notando que $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. A mesma
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estratégia vai funcionar pra integrar $\cos^2 x$, mas o que devemos
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fazer é usar o fato de que agora sabemos a integral de $\sin^2 x$ pra
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obter
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%
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\begin{align*}
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\int \cos^2 x \dx &= \int \dx - \int \sin^2 x \dx\\
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&= x - \frac{1}{2}\left(-\sin x\cos x + x\right)\\
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&= \frac{1}{2}\left(\sin x\cos x - x\right) + x.
|
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\end{align*}
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%
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Como podemos memorizar essa duas? A integral do quadrado do cosseno
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tem um $x$ a mais. Fora isso, elas são {\em meio} análogas. É melhor
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expressá-las assim, ó:
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%
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\begin{align*}
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\int \sin^2 x \dx &= - \frac{1}{2} (\sin x \cos x - x)\\
|
|
\int \cos^2 x \dx &= \frac{1}{2} (\sin x \cos x - x) + x.
|
|
\end{align*}
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|
%
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É o melhor que posso fazer no momento.
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A integral de $\cos^3 x$ sai fácil também. Primeiro a gente fatora
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$\cos^3 x = \cos^2 x \cos x$. Em seguida, usa $\cos^2 x = 1 - \sin^2
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x$, o que nos dá
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%
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$$\int \cos^3 x \dx = \int \cos x \dx - \int \sin^2 x \cos x \dx.$$
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|
%
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|
Agora a integral da direita é suscetível à substituição. Declare $u =
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\sin x$ de forma que $\du = \cos x \dx$, daí a integral se torna a
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integral de $u^2$ e o problema desaparece produzindo o resultado
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%
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$$\int \cos^3 x \dx = \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + c.$$
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%
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|
Pra ter confiança, compute a derivada observando que $1 - \sin^2 x =
|
|
\cos^2 x$.
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Similarmente, obtemos
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%
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$$\int \sin^3 x \dx = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^3 x + c.$$
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%
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É isso.
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Parece que as integrais de potências de seno e cosseno se dividem em
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dois grupos. Se temos um produto de uma potência ímpar do seno com uma
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potência par do cosseno, então separar um fator $\sin x \dx$ pra
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substituir seu $\du$ elimina a dificuldade. Já se você tem potências
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pares de ambos seno e cosseno---e note que não ter seno ou cosseno
|
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significa que você tem $\sin^0 x$ ou $\cos^0 x$, ou seja, uma potência
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par---, então você precisa de uma das identidades trigonométricas que
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são chamadas de {\em half-angle identities}.
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Ocorre (por razões que desconheço) que
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%
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\begin{align*}
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|
\sin^2 x &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)\\
|
|
\cos^2 x &= \frac{1}{2}(1 + \sin 2x)
|
|
\end{align*}
|
|
%
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|
Com a primeira, por exemplo, você consegue integrar $\sin^2 x$ usando
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substituição. Stewart faz bem rapidinho como ele já tinha avisado que
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faria quando nos ensina a usar a substituição, mas ainda preciso fazer
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devagar---é a verdade. Se $u = 2x$ então $(1/2) \du = \dx$. Assim
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podemos computar
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%
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\begin{align*}
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|
\int \sin^2 x \dx &= \int \frac{1}{2} \dx - \frac{1}{2}\int \cos 2x \dx\\
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|
&= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \int \cos 2x \dx\\
|
|
&= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \int \cos u \frac{1}{2} \du\\
|
|
&= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + c,
|
|
\end{align*}
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|
%
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|
o que está correto. A verificação é feita observando que $\sin^2 x =
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(1/2) - (1/2)\cos 2x$. É uma boa hora de estudar as {\em half-angled
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formulas} porque elas se aplicam também às potências
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trigonométricas. Por exemplo, $\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot
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2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x)$, o que é usado na computação da integral de
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$\sin^4 x$. É---vamos estudar a {\em half-angled formula} pra
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especialmente entender o porquê do nome.
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\section{Studying functions}
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We're going to look into a series of topics now. We are mostly using
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Calculus to study functions. Let's look at inverse functions first.
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Then we look into exponential functions and slowly and scatteredly we
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will be looking into some interesting functions.
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\subsection{On inverse functions}
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If $f(b) = a,$ then $f^{-1}(a) = b.$ What would $f'(b)$ be? We want to
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express $f'(b)$ with respect to $(f^{-1})'.$ For that, we write a
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theorem.
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\masciith{} Let $f$ be one-to-one and differentiable with $g = f^{-1}$
|
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and $f'(g(a)) \neq 0.$ Then $g$ is differentiable at $a$ and
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%v
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$$g'(x)= \fr{1}{f'(g(x))},$$
|
|
%e
|
|
where $g = f^{-1}.$ \theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let $y = g(x) = f^{-1}(x).$ Then $f(y) = x.$ Now, %align by =
|
|
%v
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\begin{align*}
|
|
f'(y) y' &= 1\\
|
|
y' &= \fr{1} {f'(y)}\\
|
|
g'(x) &= \fr{1}{f'(g(x))},
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired. \profend
|
|
|
|
Now, let us define exponential functions. Exponential functions are
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$a^x$ where $a$ is some positive number, usually $a > 1.$ If $a$ is
|
|
between $0$ and $1,$ then the function exponentially decays. Exponential
|
|
functions are defined for all reals, but then one wonders what $2^\pi$
|
|
means. It means, by definition,
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%v
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$$a^x = \lim_{r \to x} a^r,$$
|
|
%e
|
|
for some rational $r.$ So to answer the question, $2^\pi$ is the limit
|
|
of the sequence of numbers $2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14},$ and so on. In fact,
|
|
this explains why the base of an exponential function cannot be
|
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negative. If it were, then irrational numbers could not be powers of
|
|
these bases. If they were, complex numbers would arise. For instance,
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|
consider $(-2)^\pi$; the limit doesn't converge because when $r$ is
|
|
$3.1,$ the answer is not real; when $r$ is $3.14,$ the answer is real;
|
|
when $r$ is $3.141,$ the answer is not real. It depends on the evenness
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or oddness of the last digit of $r.$ So it does not converge to any real
|
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value; so the value is undefined.
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\subsection{The exponential number }
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Here's one way to define $e.$ Consider $2^x$ and $3^x.$ Take the
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derivative of them. We get, for $f(x) = 2^x,$ %align by =
|
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%v
|
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\begin{align*}
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f'(x)&= \lim_{h \to 0} \fr{2^{x+h} - 2^x}{h}\\
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&=\lim_{h \to 0} \fr{2^x 2^h - 2^x}{h}\\
|
|
&=\lim_{h \to 0} \fr{2^x(2^h - 1)}{h}\\
|
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&=2^x \lim_{h \to 0} \fr{2^h - 1}{h}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
For $g(x) = 3^x,$ we have
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|
%v
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$$g'(x) = 3^x \lim_{h \to 0} \fr{3^h - 1}{h}.$$
|
|
%e
|
|
So the difficulty here is to find the limit that we left above. But
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|
what's the derivative of $2^x$ and $3^x$ at $x = 0?$ It's %align by =
|
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%v
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(0)&= 2^0 \lim_{h \to 0} \fr{2^h - 1}{h}\\
|
|
&= \lim_{h \to 0} \fr{2^h - 1}{h}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
And for $3^x?$ It's %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
g'(0)&= 3^0 \lim_{h \to 0} \fr{3^h - 1}{h} \\
|
|
&=\lim_{h \to 0} \fr{3^h - 1}{h}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
That is, $f'(x) = f'(0) 2^x,$ and $g'(x) = g'(0) 3^x.$ Observe, then,
|
|
that the derivative of these exponential functions are themselves times
|
|
a constant. What would this constant be? By letting $h \to 0,$ we see
|
|
that $f'(0) \approx 0.693$ and $g'(0) \approx 1.09.$ So we wonder if
|
|
there is a number $p$ between $2$ and $3$ such that $h(x) = p^x$ has
|
|
$h'(0) = 1.$ There is such number; we call it $e.$ That is, $e$ is the
|
|
number such that
|
|
%v
|
|
$$\lim_{h \to 0} \fr{e^h -1}{h} = 1.$$
|
|
%e
|
|
Now, consider the exponential function $f(x) = a^x$ where $a = e.$ It
|
|
has the remarkable property that $f'(x) = f'(0) a^x. = 1 \cdot a^x =
|
|
a^x.$ And, because of this interesting derivative, it also follows that
|
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%v
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$$\int e^x\ dx = e^x + c.$$
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%e
|
|
|
|
\masciiexe{} Find a root of $f(x) = e^x + x = 0.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We'll use Newton's method. We know that $f(0) = 1,$
|
|
and $f(-1) =$ $1/e - 1 < 0.$ So, there's a root between $-1$ and $0.$
|
|
We'll initiate Newton's method with $a = 1/2.$ We may write %align by =
|
|
%v
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\begin{align*}
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f'(a)&= \fr{y - f(a)} {x - a}\\
|
|
(x- a) f'(a) &= y - f(a)\\
|
|
xf'(a) - a f'(a) &= y - f(a)\\
|
|
xf'(a) &= y - f(a) + a f'(a).
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
But, we're looking for what $x$ gives $y = 0.$ So we set $y = 0,$ and
|
|
solve for $x.$ So
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|
%v
|
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$$x = \fr{a f'(a) - f(a)}{ f'(a) }$$
|
|
%e
|
|
After we compute $x$ for $a = 1/2,$ we would feed this value back into
|
|
this equation, and again and again. If the value seems to converge,
|
|
we jump to the conclusion that we're pretty close to the root. We find
|
|
that the value seems to converge to $-0.56714329,$ so we take that as
|
|
close enough to the root. \exeend
|
|
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|
\subsection{Logarithmic functions}
|
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|
How is $y = \log_a x$ defined? What we want it to mean is $y$ being the
|
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number such that $a^y = x.$ So $y = \log_a x$ is defined as $y = \log_a
|
|
x$ if and only if $a^y = x.$
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What would its domain be? They would be positive real numbers, so zero
|
|
is not there. But why not? Let's see: $a^y = 0$ is not satisfied by any
|
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base $a.$ We could try $a = 0$ and $y = 0,$ but $0^0$ is actually
|
|
undefined because there seems to be no grounds for the convergence of
|
|
this expression. But why not negative numbers? See the section on
|
|
exponential and their inverses; the exponential functions do not have
|
|
negative range, and so the logarithmic ones don't have negative domain
|
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--- after all, one is the inverse of the other.
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What would its range be? We know that for $\log_a x = y,$ we have a is
|
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positive and $x$ is positive. So what values for $y$ are possible?
|
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Consider $x$ large. Then $y$ must be large too. Probably, then, $y \to
|
|
\infty$ as $x \to$ $\infty.$ Now consider $x$ small; for example, $a^y =
|
|
0.1.$ Then $y$ will have to be negative so that, for $p = -y,$
|
|
%v
|
|
$$\fr{1}{a^p} = 0.1 = \fr{1}{10},$$
|
|
%e
|
|
so $a^p = 10.$ Therefore, between $0$ and $1,$ $\log_a x < 0.$ So the
|
|
range is $(-\infty, \infty).$ The domain of $a^x$ is all real numbers,
|
|
so naturally the range of $\log_a x$ is all real numbers.
|
|
|
|
If $a = e,$ then $\log_e x$ is called the natural logarithm function,
|
|
and we write $\ln x.$ This function is so used in mathematics that some
|
|
authors prefer to write $\log x$ to mean the natural logarithm. Others
|
|
prefer to let $\log x$ mean $\log_{10} x$ or $\log_2 x.$ I would prefer
|
|
$\log x$ to mean the natural logarithm because to me it is the most
|
|
interesting one, and I use it a lot more often then the others.
|
|
|
|
I will stick to $\ln x$ because many authors do so, and I actually type
|
|
one letter less than I would with $\log x$, so I will let that be my
|
|
choice. Now, notice that although we write $\ln x$ instead of $\ln(x)$,
|
|
it still is a function, and its inverse is $e^x$; so $\ln e^x = x$.
|
|
|
|
We will later define these functions again, in some other way, which
|
|
seems to be more interesting, and some facts about these functions will
|
|
be clarified.
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\masciith{} For a $\neq 1,$ a $> 0,$ it is true that
|
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%v
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$$\log_a x = \fr{\ln x} {\ln a}. $$
|
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%e
|
|
\theend
|
|
|
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\masciiproof{} Writing $\log_a x$ means to say that there is a number
|
|
$y$ such that $a^y = x.$ Now take natural logarithm of both sides of
|
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this equation to get %align by =
|
|
%v
|
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\begin{align*}
|
|
y\ln a &= \ln x\\
|
|
y&= \fr{ \ln x}{ \ln a},
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as we wanted. \profend
|
|
|
|
This proof shows that we can rewrite any logarithmic function in terms
|
|
of $\ln x.$ But also, notice that we can rewrite any logarithmic
|
|
function in terms of the logarithm of any valid base. A machine,
|
|
therefore, needs only to implement an algorithm for one base, and
|
|
rewrite all the others in terms of the chosen base.
|
|
|
|
A quick note is that we have not shown why it's true that $\ln a^y = y
|
|
\ln a.$ Let us do that now; let's prove the theorems of
|
|
logarithms. We're going to need the derivative of $\ln x,$ so let's show
|
|
it first.
|
|
|
|
\masciith{} The derivative of $\ln x$ is $1/x.$ \theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let $y = \ln x.$ So %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
y&= \ln x\\
|
|
e^y&= x\\
|
|
e^yy'&= 1\\
|
|
y'&= \fr{1}{e^y}\\
|
|
&=\fr{1}{e^{\ln x}}\\
|
|
&=\fr{1}{x}.
|
|
\end{align*}
|
|
\profend
|
|
|
|
\subsection{The theorems of logarithms}
|
|
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|
There are three important theorems; the product theorem, the division
|
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theorem and the power theorem. The product theorem lays a foundation for
|
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the other two, so we prove it first. The proof of the first comes out by
|
|
considering a function $f(x) = \ln ax.$ We differentiate it and we
|
|
obtain a function equal to the $g(x) = \ln x.$ If two functions have the
|
|
same derivative, they must differ by a constant.
|
|
|
|
This fact is an important theorem of calculus which is a corollary of
|
|
Fermat's theorem. Fermat's theorem is proved using another important
|
|
theorem: the mean value theorem. The mean value theorem can be
|
|
generalized and it was; by Cauchy. Cauchy's generalization is used to
|
|
prove another important theorem; l'Hospital's theorem.
|
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|
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\masciith{} For $x > 0, y > 0,$ it's true that $\ln xy = \ln x + \ln y.$
|
|
\theend
|
|
|
|
\masciiproof{} Let $f(x) = \ln yx.$ Notice, however, that $y$ is a real
|
|
number and $x$ is a variable. Now differentiate $f$ to get %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(x)&= \fr{y}{yx}\\
|
|
&= \fr{1}{x}
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So $f$ and $\ln x$ have the same derivative; so $\ln x - \ln yx = c.$
|
|
Now, if the theorem is true, then $c = - \ln y.$ We cannot assume any
|
|
value for $y$ because $y$ is an arbitrary constant, but $x$ is variable
|
|
and takes all values of the domain of $\ln x.$ Since $x = 1$ is in the
|
|
domain, we may consider the equation when $x = 1.$ We get
|
|
%v
|
|
$$0- \ln y = c,$$
|
|
%e
|
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as expected. Therefore $\ln x - \ln y = \ln yx.$ \profend
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Now we use this result to prove the others.
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\masciith{} For $x > 0$, it's true that $\ln x^y = y \ln x.$ \theend
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\masciiproof{} We have that $x^y = x_1 x_2$ ... $x_y.$ Apply the product
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theorem as much as necessary to write $\ln x^y = \ln x_1 \ln x_2 ... \ln
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x_y = y \ln x.$ This isn't a formal argument, however. Perhaps we can
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simply prove it by induction.
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Consider $\ln x^n,$ where $n$ is a natural number. Show that it works
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for $n= 1,$ as it clearly does. Assume it works for some natural $k:$
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$\ln x^k = k \ln x.$ Then notice that %align by =
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%v
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\begin{align*}
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\ln x^{k+1} &= \ln x^k x\\
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&= \ln x^k + \ln x \\
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&= k \ln x + \ln x\\
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&= (k + 1) \ln x.
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\end{align*}
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%e
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Therefore, it's true for all naturals. I guess we can similarly show for
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all negative integers, and take the case where $n = 0$ for granted. What
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about the rest of the reals, though? \profend
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By the way, do not mistake $\ln (x^y)$ for $(\ln x)^y;$ only the former
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has the property above. When I write without parentesis, I mean the
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first.
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\masciith{} For $x > 0, y \neq 0,$ it's true that $\ln x/y = \ln x - \ln
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y.$ \theend
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\masciiproof{} We know that $\ln x/y = \ln xy^{-1}.$ So %align by =
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%v
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\begin{align*}
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\ln xy^{-1} &= \ln x + \ln y^{-1}\\
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&= \ln x - \ln y,
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|
\end{align*}
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%e
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as desired. \profend
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\subsection{The prime number theorem}
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Let $\pi(n)$ be the number of primes less or equal to $n.$ So $\pi(15)
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= 6$ because $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ are the $6$ primes before
|
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$15.$ Also, we find that $\pi(25) = 9,$ and $\pi(100) = 25.$ There is
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|
a theorem, called the Prime Number Theorem, which asserts that
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%v
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$$\lim_{n \to \infty} \fr{ \pi(n) } { n \ln n } = 1.$$
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%e
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\masciiexe{} Find the inverse of
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%v
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$$y= \fr{ e^x + 1 } { -e^x + 1 }.$$
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%e
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{\em Solution.} Try to group the exponential terms together, and factor
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them. %align by =
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%v
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\begin{align*}
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y&= \fr{ e^x + 1 } { -e^x + 1 }\\
|
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y- y e^x &= e^x + 1\\
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-ye^x - e^x &= 1 - y\\
|
|
e^x(-y - 1) &= 1 - y\\
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|
e^x&= \fr{ 1 - y} {- y - 1}\\
|
|
x&= \ln \fr{ 1 - y} {-y - 1}\\
|
|
x&= \ln - \fr{ 1 - y} {y + 1}\\
|
|
x&= \ln \fr{ 1 + y} {1 - y}.
|
|
\end{align*}
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%e
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It works. \exeend
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|
Now, let us look into another technique. Any function $f(x) =
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g(x)^{h(x)}$ where $g(x) > 0$ can be analyzed as a power of $e$ because
|
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we can write $g(x)$ as $e^{\ln g(x)}$ so that $f(x) = h(x) e^{\ln
|
|
g(x)}.$ This allows us to compute, for instance,
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%v
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$$\lim_{x \to \infty } x^{ \ln x }.$$
|
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%e
|
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To compute, we write %align by =
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%v
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\begin{align*}
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\lim_{x\to \infty } x^{ \ln x } &= \lim_{x \to \infty } e^{\ln x^{ \ln x} }\\
|
|
&= \lim_{x \to \infty } e^{\ln x \ln x}\\
|
|
&= \lim_{x \to \infty } e^{(\ln x)^2}\\
|
|
&= \lim_{x \to \infty } e^{2 \ln x} = \infty.
|
|
\end{align*}
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|
%e
|
|
We know that $\ln x \to \infty$ as $x \to \infty$ and $e^x \to \infty$
|
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as $x \to \infty.$ So the limit above goes to $\infty$ too. An
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interesting observation is that we did not fallaciously used the
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property of logarithms to write the last step. We use a property of
|
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exponents; notice that $(a^x)^y = a^{xy}.$
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\masciiexe{} Find $f^{(n)}$ if $f(x) = \ln(x - 1).$
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{\em Solution.} The first derivative is
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%v
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$$f'(x)= \fr{1} {x - 1}.$$
|
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%e
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The second is
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%v
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$$f''(x)= - \fr{1}{(x -1)^2}.$$
|
|
%e
|
|
The third is
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%v
|
|
$$f^{(3)}(x)= \fr{2}{(x -1)^3}.$$
|
|
%e
|
|
The forth is
|
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%v
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|
$$f^{(4)}(x)= - \fr{6}{(x -1)^4}.$$
|
|
%e
|
|
Let us let $n$ stand for the power of the denominator because it matches
|
|
it straightforwardly. For the sign of the expression, let $(-1)^{n+1}$
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|
determine the sign, because it is negative when $n$ is even, and
|
|
positive otherwise. So far, then, we have
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|
%v
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|
$$f^{(n)} = \fr{ (-1)^{n+1} k } {(x - 1)^n}.$$
|
|
%e
|
|
We have to figure out the term that will replace $k$ more precisely. For
|
|
$k,$ we have that it goes as $1, 1, 2, 6, 24,$ ... so we may guess that
|
|
they can be expressed as $n!$ with $n = 0, 1, 2,$ ... So we need match
|
|
this list with respect to the $n$ as we have already established in the
|
|
formula above. For the first derivative, $n = 1,$ and $k = 0!;$ when $n
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|
= 2, k = 1!;$ when $n = 3, k = 2!.$ So we jump to the conclusion that
|
|
%v
|
|
$$f^{(n)} = \fr{ (-1)^{n+1} (n - 1)! } {(x - 1)^n}.$$
|
|
%e
|
|
And we're done. \exeend
|
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\subsection{The general antiderivative of the reciprocal function}
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We know that $\ln x + c$ has $1/x$ as its derivative, but when we
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integrate $1/x,$ we may have negative numbers as limits of integration
|
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and $\ln x + c$ is only defined for positive numbers. But it's valid to
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ask about the area ``under $1/x$'' on the negative side since $1/x$ is
|
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defined everywhere but at zero. So for limits on the negative side, the
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antiderivative $\ln x + c$ will not be helpful.
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Consider $\ln |x| + c.$ To differentiate this function, we consider $x >
|
|
0,$ and $x < 0.$ When $x > 0$, $\ln |x| + c = \ln x + c,$ so the
|
|
derivative is $1/x.$ When $x < 0,$ then $\ln |x| + c = \ln -x + c,$ so
|
|
the derivative is $(-1)/(-x) = 1/x.$ Therefore,
|
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%
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\[ \fr{d}{dx} \ln |x| = \begin{cases}
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|
1/x & \text {if $x > 0$},\\
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|
1/x & \text {if $x < 0$}.
|
|
\end{cases}\]
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|
%
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In other words, the general antiderivative of $1/x$ is $\ln |x| + c.$
|
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\subsection{A nice definition of the natural log}
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Some people prefer to define $\ln x$ not as the inverse of exponential
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function $e^x,$ but rather as the area under $1/x.$ This definition is
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really nice because we can nicely show that it is the inverse of the
|
|
exponential function, and it becomes quite apparent how to compute $\ln
|
|
x$ for any $x > 0.$ Let us define it then.
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\masciidef{} Define
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%v
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$$\ln x = \int_1^x \fr{1}{t} \dt,$$
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%e
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|
for all $x > 0.$ \defend
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|
|
|
The derivative of $\ln x$ is trivially obtained by the fundamental
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theorem. Let us now consider the inverse function of $\ln x.$ We will
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|
call it $\exp x,$ but it is not to be assumed yet that $\exp x = e^x.$
|
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We will show so.
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|
\masciidef{} Define
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%v
|
|
$$\exp x = y \text{\quad if and only if\quad} \ln y = x. $$
|
|
%e
|
|
\defend
|
|
|
|
Now, because they are inverse functions, we can write $\exp \ln x = x$
|
|
and $\ln \exp x = x.$ Also, we have identities such as $\exp 0 = 1$
|
|
because $\ln 1 = 0.$ We have $\exp 1 = e$ because $\ln e = 1.$ Now if
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|
$r$ is any rational number, then consider
|
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%v
|
|
$$\ln e^r = r \ln e = r.$$
|
|
%e
|
|
Therefore, $\exp r = e^r$ because $\ln e^r = r.$ This is how the
|
|
exponential function comes to life as the inverse function of $\ln x.$
|
|
We have not considered irrational numbers, however.
|
|
|
|
Let $r$ be irrational. Consider $a^r,$ where $a > 0.$ We define
|
|
%v
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|
$$a^r = \lim_{x \to r} a^x.$$
|
|
%e
|
|
Now consider $\ln e^r.$ Since $r$ is irrational, we have %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\ln e^r &= \ln \lim_{x \to r} e^x\\
|
|
&= \lim_{x \to r} \ln e^x\\
|
|
&= \lim_{x \to r} x \ln e\\
|
|
&= \lim_{x \to r} x\\
|
|
&= r.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
But notice that we had trouble proving that the power theorem of
|
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logarithms works for all real numbers. Here we're assuming so. We
|
|
assumed that $\ln x$ is continuous when we pulled the limit out from the
|
|
$\ln x$ function.
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\subsection{All other exponential functions}
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|
Let us now define all the other exponential functions; we will define
|
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them in terms of the exponential function $e^x.$
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\masciidef{} Let $m > 0.$ Define
|
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%v
|
|
$$m^x = e^{ \ln a^x } = e^{ x \ln a },$$
|
|
%e
|
|
for all $x.$ \defend
|
|
|
|
This definition makes some proofs easy to be written. The trouble here
|
|
is to trust that this definition makes sense. For instance, how do we
|
|
know that $2^2 = e^{2 \ln 2}$?
|
|
|
|
\masciith{} Let $m$ be a real number. Then $m^{x+y} = m^x m^y.$ \theend
|
|
\masciiproof{} Apply the definition above in %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
m^{x+y}&= e^{ \ln m^{x+y} }\\
|
|
&= e^{ (x+y) \ln m }\\
|
|
&= e^{ x \ln m + y \ln m}\\
|
|
&= e^{ x \ln m } e^{y \ln m}\\
|
|
&= m^x m^y,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired. \profend
|
|
|
|
\subsection{The inverse trigonometric functions}
|
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Now we will use the knowledge acquired so far to look at new functions,
|
|
their properties and possibly some applications of them. For instance,
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|
we will begin to finding the derivative of the inverse trigonometric
|
|
functions.
|
|
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Let $y = \arcsin x,$ so $\sin y = x.$ The domain of $\arcsin x$ is $[-1,
|
|
1],$ and the range of $\arcsin x$ is $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2.$
|
|
Implicitly, we differentiate it to get %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\cos y y'&= 1\\
|
|
y'&=\fr{1}{\cos y}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
|
|
With the range above, we have that $\cos y \geq 0.$ We know that $\cos^2
|
|
y + \sin^2 y = 1$, so $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y,$ so $\cos y =$
|
|
$\sqrt{1-\sin^2 y}.$ But notice that $\sin y = x,$ so $\sin^2 y =$
|
|
$x^2.$ Therefore, $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$. So
|
|
%v
|
|
$$y'= \fr{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$
|
|
%e
|
|
We perform the same strategy for $\arccos x.$ The function $\cos x$ is
|
|
one-to-one from $0$ to $\pi.$ So the domain of $\arccos x$ is $[-1,1];$
|
|
the range is $[0, \pi].$ Let y = $\arccos x,$ so $\cos y = x.$ Then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
-\sin y y'&= 1\\
|
|
y'&= - \fr{1}{\sin y}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Since $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y}$ and $\cos^2 y = x^2,$ we have
|
|
%v
|
|
$$y' = - \fr{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
|
|
%e
|
|
Let us now look into the inverse tangent function. We have to restrict
|
|
$\arctan x$ on $(-\pi/2, \pi/2)$ because we need an one-to-one
|
|
function. The domain for $\arctan x$ is $(-\infty, \infty)$ and range is
|
|
$(-\pi/2, \pi/2).$ To find its derivative, we write %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\arctan x &= y\\
|
|
x &= \tan y.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Now differentiate with respect to $x.$ We get %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
1&= \sec^2 y y'\\
|
|
y'&= \fr{1}{\sec^2 y}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
We wish now to express $\sec^2 y$ in terms of $x.$ Notice that $\sec^2 y
|
|
= \tan^2 y + 1.$ Since $x = \tan y,$ then $\sec^2 y = x^2 + 1.$
|
|
Therefore
|
|
%v
|
|
$$y'= \fr{1}{x^2 + 1},$$
|
|
%e
|
|
and we're done.
|
|
|
|
Now we know a few antiderivatives. For instance,
|
|
%v
|
|
$$\int \fr{1}{\sqrt{1-x^2}} \dx = \arcsin x + c,$$
|
|
%e
|
|
and
|
|
%v
|
|
$$\int - \fr{1}{\sqrt{1-x^2}} \dx = \arccos x + c,$$
|
|
%e
|
|
and
|
|
%v
|
|
$$\int \fr{1}{x^2 + 1} \dx = \arctan x + c.$$
|
|
%e
|
|
Notice that sometimes we have integrands similar, though not exactly one
|
|
of the above; but it's a matter of algebraically working it out for that
|
|
to be so. For example, %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\int\fr{1}{x^2 + a^2} \dx &= \int \fr{\dx}{a^2 \bl(\fr{x^2}{a^2} + 1\br)}\\
|
|
&=\fr{1}{a^2} \int \fr{\dx}{ \bl(\fr{x}{a}\br)^2 + 1}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Now let $u = x/a,$ so $\dx = a \du.$ Then %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\fr{1}{a}\int \fr{\du}{u^2 + 1} &= \fr{1}{a} \arctan u + c\\
|
|
&=\fr{1}{a} \arctan \fr{x}{a} + c.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
A similar work can be done for all other inverse trigonometric
|
|
functions.
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|
|
|
\masciiexe{} Evaluate
|
|
%v
|
|
$$\int \fr{x \dx}{x^4 + 9}.$$
|
|
%e
|
|
{\em Solution.} First, factor the number $9$ from the denominator. We get
|
|
%v
|
|
$$\fr{1}{9} \int \fr{x \dx}{ \bl( \fr{x^4}{9} + 1\br)}.$$
|
|
%e
|
|
Now let $u = (x^2)/3$, so that $\dx = (3/2x) du.$ Then we write %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\fr{1}{9}\fr{3}{2} \int \fr{\du}{ u^2 + 1} &= \fr{1}{6} \arctan u + c\\
|
|
&=\fr{1}{6} \arctan \fr{x^2}{3} + c,
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
as desired. \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Simplify $\cos (\arctan x).$
|
|
|
|
{\em Solution.} Let $y = \arctan x$ so that $\tan y = x.$ If $\tan y =
|
|
x,$ then thinking of a right triangle, we have an angle $y$ and $y$'s
|
|
opposite side has length $x$, while $y$'s adjacent side has length $1.$
|
|
Therefore, the hypothenuse has length $\sqrt{1 + x^2}$, and $\cos y =
|
|
1/\sqrt{1 + x^2}.$ So
|
|
%v
|
|
$$\cos(\arctan x) = \fr{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$
|
|
%e
|
|
is simplified as desired. \exeend
|
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|
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\masciiexe{} Prove that $\arctan x + \arccot x = \pi/2.$
|
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{\em Solution.} Let $f(x) = \arctan x + \arccot x.$ Notice that
|
|
%v
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|
$$f'(x) = \fr{1}{x^2 + 1} - \fr{1}{x^2 + 1} = 0.$$
|
|
%e
|
|
This means that $\arctan x$ has the same derivative as $\arccot x.$
|
|
Therefore, they must differ by a constant. That is, $f(x) = c,$ for all
|
|
$x.$ Notice that
|
|
%v
|
|
$$\arctan 1 + \arccot 1 = \fr{\pi}{4} + \fr{\pi}{4} = \fr{\pi}{2}.$$
|
|
%e
|
|
So $f(x) = \arctan x + \arccot x = \pi/2.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Find $\arcsin \sqrt{3}/2.$
|
|
|
|
{\em Solution.} We know that $\sin \pi/3 = \sqrt{3}/2,$ so $\arcsin
|
|
\sqrt{3}/2 = \pi/3.$ \exeend
|
|
|
|
\masciiexe{} Draw the following diagram: mark a point $A$ and draw a
|
|
straight line to the right up to a point $P;$ continue the straight line
|
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up to a point $B.$ From $B$ draw a perpendicular line going up to a
|
|
point $Q.$ From $Q$ draw a line that meets the point $P.$ This procedure
|
|
creates a right triangle where the angle $PBQ$ is a right angle. Now,
|
|
from $A$, draw a perpendicular line going up to a point $R.$ From $R$
|
|
draw a line that meets the point $P;$ so now that we have two right
|
|
triangles where $P$ is a point that they have in common. Now, let $AB =
|
|
3$ units. Let $RA = 5$ units, and let $QB = 2$ units. Let the angle
|
|
$RPA$ be called $\gamma$ and let the angle $QPB$ be called $\alpha.$
|
|
There's an angle $\beta$ such that $\beta = \pi/2 - (\gamma + \alpha).$
|
|
Assuming we can move the point $P$ between $A$ and $B$ adjusting the
|
|
size of the hypothenuses of the triangles, how far from $A$ should we
|
|
position $P$ as to maximize the angle $\beta?$
|
|
|
|
{\em Solution.} Let $PB = x$ so that $AP = 3 - x.$ So RP = $\sqrt{25 +
|
|
(3-x)^2},$ and PQ = $\sqrt{4 + x^2}.$ Now, we need to express $\beta$
|
|
with respect to $x.$ So, naturally we will use trigonometric functions;
|
|
but the ones that express angles are the inverse trigonometric ones, so
|
|
we must find out which ones will give us a simple enough
|
|
expression. Also, notice that $\beta$ is maximized, when the sum $\gamma
|
|
+ \alpha$ is minimized, so we may attack the problem either way; I
|
|
choose the latter; I'm going to minimize the sum $\gamma + \alpha.$
|
|
|
|
Notice that %align by =
|
|
%v
|
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\begin{align*}
|
|
\tan\gamma &= \fr{5}{3 - x}\\
|
|
\tan\alpha &= \fr{2}{x}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
So, it's certainly true that %align by =
|
|
%v
|
|
\begin{align*}
|
|
\gamma&= \arctan \fr{5}{3 - x}\\
|
|
\alpha&= \arctan \fr{2}{x}.
|
|
\end{align*}
|
|
%e
|
|
Therefore
|
|
%v
|
|
$$\gamma+ \alpha = \arctan \fr{5}{3 - x} + \arctan \fr{2}{x}.$$
|
|
%e
|
|
Now the work is to differentiate this function, and find its local
|
|
minimums, and identify which one is the one we are looking for. Notice
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that because $AB = 3$ units, $P$ can only range from $A$ to $B;$ that
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is, the value of $x$ ranges from 0 to 3. In fact, I can see that the
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value where $\beta$ is maximized lies between 2 and 3. It might even be
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$x = 2.5$ --- so $P$ is closer to $B$ than to $A.$ That's what I have to
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say; I don't want to compute the value.
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We could have used any of the inverse trigonometric functions, but I
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believe that $\arctan x$ would give us the simplest case; I initially
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tried $\arcsin x$ and I found very complicated derivatives for us to
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manually look for roots, so I tried $\arctan x$ instead and it became
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simple enough --- though I didn't want to find its roots anyway. \exeend
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\subsection{The hyperbolic functions}
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The hyperbolic functions have nothing to do with trigonometric
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functions, but they have very similar properties. Let begin with their
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definitions. Define
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%v
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$$\sinh x = \fr{e^x - e^{-x}}{2}$$
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%e
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as the hyperbolic sine function. Define
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%v
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$$\cosh x = \fr{e^x + e^{-x}}{2}$$
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%e
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as the hyperbolic cosine. Now, like the trigonometric functions, we
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define $\csch x = 1/\sinh x,$ $\sech x = 1/\cosh x,$ $\tanh x = \sinh x /
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\cosh x,$ and finally $\coth x = \cosh x / \sinh x.$
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Notice that $\cosh x$ is the average of the functions $e^x$ and
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$e^{-x},$ and $\sinh x$ is half of the difference between them. These
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functions are pretty popular in scientic contexts; they are used to
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describe some important phenomena. For instance, the effect of gravity
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on a wire hanging on posts --- such as eletricity posts --- on the
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streets is described by
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%v
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$$y= c + d \cosh \fr{x}{d},$$
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%e
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where $c$ and $d$ are constants. By the way, when a wire hangs between
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two posts, the the system satisfies the differential equation
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%v
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$$\sdiff= \fr{pq}{T} \sqrt{1 + \bl(\fdiff\br)^2},$$
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%e
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where $p$ is the linear density of the wire, $g$ is the acceleration due
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to gravity and $T$ is the tension in the cable, at its lowest point. A
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solution to this equation is the function
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%v
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$$y = \fr{T}{pg} \cosh \fr{pgx}{T}.$$
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%e
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I think that linear density is a term used to describe the density of
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objects that have a shape that we may consider one dimensional. No
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objects that we know in the world are one dimensional, of course, but a
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wire can be considered one dimensional, so the density of a wire is a
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measure of mass per unit length, and we call it linear density.
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These hyperbolic functions satisfy some identies which look very much
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like the trigonometric functions --- though not always they are too
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similar. For instance, while $\cos^2 x + \sin^2 x = 1,$ we have $\cosh^2
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x - \sinh^2 x = 1.$
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Let us now define the inverse of the $\sinh x$ function, and then find
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its derivative. To define it, let $y = \arcsinh x$ so that $\sinh y =
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x.$ Then %align by =
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%v
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\begin{align*}
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x&= \sinh y \\
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&= \fr{e^y - e^{-y}}{2}\\
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2x&= e^y - e^{-y}\\
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e^y- e^{-y} - 2x &= 0.
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\end{align*}
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%e
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Multiply this equation by $e^y$ to get %align by =
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%v
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\begin{align*}
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(e^y)^2- e^y e^{-y} - 2xe^y &= 0\\
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(e^y)^2- 2xe^y - 1&= 0.
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\end{align*}
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%e
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Now let $p = e^y,$ and notice that we have a quadratic equation, whose
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solution is $p = x \pm \sqrt{x^2 + 1}.$ But since $e^y > 0$ for all $y,$
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and since $x < \sqrt{x^2 + 1}$ for all $x,$ we need not consider the
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solution $p = x - \sqrt{x^2 + 1}.$ Therefore %align by =
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%v
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\begin{align*}
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e^y&= x + \sqrt{x^2 + 1}\\
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y&= \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})\\
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&= \arcsinh x.
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\end{align*}
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%e
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The inverse hyperbolic cosine can be defined in a similar manner. Their
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derivatives are easily obtained by using the chain rule.
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\subsection{The theorem of l'Hospital}
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L'Hospital's theorem is a pretty interesting one. Before we state it,
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let us consider something. Suppose that $f'$ and $g'$ are continuous
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everywhere. Then let us consider the expression
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%v
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$$\lim_{x \to c} \fr{ f'(x) } {g'(x) }.$$
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%e
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Since they are both continuous, we use the theorem of limits of
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continuous function to write that
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%v
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$$\lim_{x \to c} \fr{ f'(x) } {g'(x) } = \fr{f'(c)}{g'(c)}.$$
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%e
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Now, let us write the equation in terms of the definition of
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derivatives, and algebraically manipulate it. We write %align by =
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%v
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\begin{align*}
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\lim_{x \to c} \fr{ f'(x) } {g'(x) } &= \fr{f'(c)}{g'(c)}\\
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&=\fr{\lim_{x \to c} \fr{f(x)-f(c)}{x-c}} {\lim_{x \to c} \fr{g(x)-g(c)}{x-c}}\\
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&=\lim_{x \to c} \fr{\fr{f(x)-f(c)}{x-c}} {\fr{g(x)-g(c)}{x-c}}\\
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&=\lim_{x \to c} \fr{f(x)-f(c)} {g(x)-g(c)}.
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\end{align*}
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%e
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Now, suppose that $f(c) = g(c) = 0.$ Then %align by =
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%v
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\begin{align*}
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\lim_{x \to c} \fr{f(x)-f(c)} {g(x)-g(c)} &= \lim_{x \to c} \fr{f(x)} {g(x)}.
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\end{align*}
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%e
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Let us look back now. We supposed $f'$ and $g'$ are continuous, and that
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$f(c) = g(c) = 0;$ this last supposition means that $f' \to 0$ as $x \to
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c;$ similarly for $g';$ that is, $g' \to 0$ as $x \to c.$ And, we
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concluded that
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%v
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$$\lim_{x \to c} \fr{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \fr{f'(x)}{g'(x)}.$$
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%e
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In other words, the limit of the ratio of two functions is equal to the
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limit of the ratio of their derivatives, provided that the derivatives
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are continuous over the interval where $c$ is, and provided that the
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derivatives approach zero as $x$ approaches $c.$
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This is sort of what l'Hospital's theorem is about. We have proved a
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particular case of l'Hospital's theorem. The theorem is more general
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than this: it applies to the case when the derivatives approach
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infinity too. It is harder to prove l'Hospital's theorem more
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generally, so I'm going to leave it at this for now.
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Using algebra, the theorem of l'Hospital can be used to evaluate
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limits of other indeterminated forms such as $0 \cdot \infty, \infty -
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\infty, 0^0,$ $\infty^0,$ and $1^\infty.$ The products, subtractions
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and divisions can be treated by plain algebra, and the powers can be
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treated by logarithms.
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\subsection{A função exponencial com a hipérbole no expoente}
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Qual é o gráfico de $e^{1/x}$? No lado positivo, quando $x \in (0,
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1]$, a função desce do infinito até chegar a $f(1) = e$ porque um $x$
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muito pequeno produz um exponente grande pra função exponencial.
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Então perto de zero, a função tem altíssimos valores. Afastando-se
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de zero e chegando a $x=1$, a função chega a $y = e$ exatamente.
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Dali pra direita, o expoente decai a zero, o que faz com que $y$ se
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aproxime de $1$. Então $y=1$ é uma assíntota horizontal.
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No lado negativo, quando $x \in [-1, 0)$, o expoente vai de $-1$ a
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números altíssimos de magnitude, mas negativos. Qual é o efeito de
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um expoente negativo de grande magnitude? O efeito é $1/e^M$, sendo
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$M$ grande e positivo. Logo o efeito é levar a função a zero. Já
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quando $x \to -\infty$, o expoente tende a zero, fazendo com que a
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função tenda a 1. Então no lado negativo, a função parte de $y=0$ e
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tende a $y=1$ no sentido negativo.
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\section{Sequências e séries}
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Sequências e séries são importantes em Cálculo porque elas servem como
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os fundamentos da teoria. Quão bom são esses fundamentos é algo
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questionável e investigável, mas não faremos isso aqui. Estamos
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apenas interessados na análise por enquanto.
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A primeira com que se começar é a série geométrica. A série
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geométrica é também chamada de progressão geométrica. Por exemplo, se
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começamos uma sequência com 1 e tomamos metades em sequência, obtemos
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$1, 1/2, 1/4, 1/8$, ..., $1/2^n$, sendo que o índice inicial é $n =
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0$. Seja $r$ a razão da sequência. Então a série gerada por essa
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sequência é
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%
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$$S = 1 + r + r^2 + \cdots + r^i + \cdots.$$
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%
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Qual é a soma dessa série? Compute
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%
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$$rS = r + r^2 + r^3 + \cdots + r^i + \cdots$$
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%
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e então compute $S - rS = 1$. Logo, obtemos a soma por computar
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%
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$$S(1 - r) = 1 \implies S = \frac{1}{1 - r},$$
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%
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que converge se e somente $|r| < 1$. Nesse exemplo, o primeiro termo
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é $1$, mas a série inteira poderia ter um fator $a$ em cada termo,
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quando obteríamos
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%
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$$\sum_{i=0}^\infty ar^i = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^i + \cdots$$
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%
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Usando o mesmo raciocínio acima, obtemos a soma
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%
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$$S = \frac{a}{1 - r}.$$
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%
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Agora note que essas são séries infinitas. Se truncarmos essa série
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tal que obtenhamos, por exemplo,
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%
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$$\sum_{i=0}^n ar^i = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n,$$
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%
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então temos uma situação nova em que só aparecem $n + 1$ termos aí.
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Qual é a soma dessa série finita? O mesmo raciocínio procede, mas o
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resultado é diferente. Obtemos
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%
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$$S = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} = \frac{a}{1-r} - \frac{ar^{n+1}}{1 - r}.$$
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%
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É claro que se agora permitirmos que $n \to \infty$, obtemos o
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resultado anterior. Então fica a observação de que o caso finito é um
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e o infinito, outro.
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A série geométrica serve como primeiro exemplo de uma série
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convergente. Vejamos agora uma primeira série divergente, que é a
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série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Por que essa linda série
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diverge? Porque é possível compará-la a uma outra série que
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claramente diverge---uma série com infinitas metades. Veja---é óbvio
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que $1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + \cdots$ diverge. Agora, note na harmônica
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que $1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2$. Note que $1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 >
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4 \cdot 1/8 = 1/2$. Reconheça que é possível continuar a agrupar os
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termos em metades eternamente. Portanto, a harmônica diverge.
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Agora que temos uma convergente e uma divergente, podemos usá-las como
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base de comparação para outras. Uma série muito famosa de Euler é
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%
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$$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$
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%
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Loucura, não? A intuição de Euler aí foi brilhante, mas a gente
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retorna eventualmente pra contar o que ele fez. Pro momento, só
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queremos deduzir que a série converge---não importa pra onde.
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Por que ela converge? Usaremos uma série geométrica. Ignore o $1 +
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1/2^2$ por agora. Observe que $1/3^2 + 1/4^2 > 2 \cdot 1/4^2$. Okay.
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Observe também que $1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 + 1/8^2 > 4 \cdot 1/8^2$.
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Vê a estratégia? Conseguimos comparar a de Euler com a série
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geométrica $1 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + \cdots + 1/2^i + \cdots$, que já
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sabemos convergir pra $2 = 1/(1 - 1/2)$. Portanto, a de Euler
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converge e converge mais rápido que essa geométrica.
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O mesmo argumento pode ser aplicado de uma forma levemente diferente,
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ilustrando que podemos tomar mais de um ponto de vista. Em vez da
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estratégia acima, considere a seguinte. Note que $1/2^2 + 1/3^2 < 2
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\cdot 1/2^2 = 1/2$. Note também que $1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 <
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4 1/4^2 = 1/4$. Obtemos a mesma série geométrica de razão $1/2$, mas
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de um jeito levamente diferente---e também mais claro.
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\begin{exercise} O que podemos concluir sobre
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%
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$$\sum_{i=2}^\infty \frac{1}{i^2 - 1}?$$
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%
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Primeiro note que ela é muito parecida com a de Euler. Se a de Euler
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converge, seria dramático se essa não convergisse: no infinito, não
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$i^2$ e $i^2 - 1$ são praticamente a mesma coisa. Mas não é assim que
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se argumenta. Primeiro observe que a série começa em $i=2$.
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Compare-a com a de Euler a partir de $i=2$ com a série
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%
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$$\sum_{i=2}^\infty \frac{1}{(i - 1)^2} = 1 + 1/4 + 1/9 + \cdots.$$
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%
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Já sabemos que a de Euler converge com início em $i=1$ e portanto
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converge com início em $i=2$. Isso nos dá
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%
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$$\sum_{i=2}^\infty \frac{1}{i^2} < \sum_{i=2}^\infty \frac{1}{(i - 1)^2}$$
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%
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A pergunta é---a da direita converge? Claro: ela é idêntica a de
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Euler exceto que ela tem um termo a mais, que é o termo 1. Portanto,
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ela converge.
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Agora note que a nossa série de interesse pode ser comparada a essa da
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direita, garantindo que ela converge também. É óbvio que $i^2 - 1 <
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i^2$. Agora precisamos perceber que $(i - 1)^2 < i^2 - 1$. Note que
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$i=1$ nem nos interessa. Quando $i=2$, obtemos $1 < 3$. Quando $i =
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3$, obtemos $4 < 8$. É óbvio que a desigualdade é verdadeira.
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Agora, é possível manipular a série de interesse e obter o limite
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dela. Note que $i^2 - 1 = (i + 1)(i - 1)$, que é o denominador da
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série de interesse. Agora experimente calcular
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%
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$$\frac{1}{i - 1} -\frac{1}{i + 1} = \frac{i + 1 - (i - 1)}{i^2 - 1} = \frac{2}{i^2 - 1}.$$
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%
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Aparece um $2$ no numerador. Multiplique a série por $1/2$ e obtenha
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%
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$$\sum_{i=2}^n \frac{1}{i^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{i=2}^n \left( \frac{1}{i - 1} - \frac{1}{i + 1}\right).$$
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%
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Se você expandi-la, você obtém
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%
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$$1/2 - \cancel{1/6} + 1/4 - \cancel{1/8} + \cancel{1/6} - 1/10 + \cancel{1/8} - 1/12 + \cdots$$
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|
%
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Na aproximação acima, estamos com o erro $-(1/10 + 1/12)$, mas esse
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erro tende a zero: quando chegarmos a $i=6$, obteremos um termo $1/10$
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que cancelerá o $- 1/10$. Quando chegarmos a $i=7$, obteremos o termo
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$1/12$ que cancelerá o $-1/12$. Certo---novos erros aparecerão, que
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serão eventualmente cancelados por $i$ maiores. Os termos que sobram
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são $1/2 + 1/4 = 3/4$, que é a soma da série.
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Então uma estratégia interessante é procurar substituir uma série por
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uma expressão equivalente que seja telescópica.
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\end{exercise}
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\subsection{Método de Newton e raízes quadradas}
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Use o método de Newton. Por exemplo, se você quer uma sequência que
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convirja pra $\sqrt{2}$, então construa o polinômio $x^2 - 2 = 0$ e
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agora use o método de Newton pra solucionar o polinômio. Obtemos
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%
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\begin{align*}
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a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)}
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= a_n - \frac{a_n^2 - 2}{2a_n}
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= \frac{2a_n^2 - a_n^2 + 2}{2 a_n}
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= \frac{a_n^2}{2a_n} + \frac{2}{2a_n}
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= \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right).
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\end{align*}
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%
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Experimente. Seja $a_0 = 3$, por exemplo. Então $a_1 \approx
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1.8333$, $a_2 \approx 1.4621$, $a_3 \approx 1.4149$, $a_4 \approx
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1.4142$.
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E quanto a $e$? Você precisa encontrar uma equação que defina o
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número implicitamente. Por exemplo, $\ln x = 1$. Então o método de
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Newton nos dá a sequência
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%
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$$a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} = a_n(2 - \ln a_n)$$
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%
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e daí obtemos $a_0 = 3$, $a_1 \approx 2.7041$, $a_2 \approx 2.7182$,
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obtendo uma precisão de pelo menos quatro casas decimais.
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\section{Lecionando Cálculo}
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Aqui vão anotações de um curso de Cálculo 1 projetado por outrem.
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Começamos o curso investigando as propriedades algébricas da equação
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da reta. A reta é um elemento fundamental do Cálculo. Uma curva
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$f(x)$, por exemplo, pode e deve ser vista como uma união de pequenos
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trechos de retas---as tangentes à curva $f(x)$---porque isso torna a
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curva inteira analisável, que é um dos objetivos centrais do Cálculo
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de Leibniz e Newton.
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\subsection{A reta}
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O curso começa aparentemente fazendo uma distinção entre relações
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proporcionais e relações afins. Isso me parece uma perda de tempo
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porque é o tipo de distinção que só mesmo aos matemáticos parece
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interessar. Não me entenda mal---acho legal que os estudantes
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obtenham alguma matemática, mas {\em alguma} significa que escolhe-se
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sabiamente que elementos dela se apresenta primeiro.
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A diferença entre uma função proporcional e uma função afim é que a
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proporcional sempre cruza a origem e a afim nem sempre. É uma
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distinção provavelmente mais importante em Álgebra Linear ou em
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Geometria Analítica, mas não creio que seja importante em Cálculo. Na
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verdade, não creio que o curso esteja realmente interessado
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nisso---então vamos em frente.
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Quais coeficientes determinam o crescimento de uma variável em relação
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a outra nas retas? É o coeficiente líder porque a constante $b$ da
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reta $y = mx + b$ é nada mais que uma translação da reta no plano.
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Pra mostrar isso à audiência, bastaria dar um exemplo de duas retas
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\newpage \tableofcontents
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\newpage \printbibliography
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\end{document}
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