On converting units et cetera.
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physics.pdf
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physics.tex
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\usepackage{mdframed}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=black]{hyperref}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\usepackage{icomma}
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\allowdisplaybreaks
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{definition}{Definição}[section]
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\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}
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\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposição}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{Corolário}
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\newtheorem{exercise}{Exercício}[section]
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\newtheorem{remark}{Comentário}[section]
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\newtheorem{axiom}{Axioma}[section]
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\newtheorem*{theorem*}{Teorema}
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\newtheorem*{definition*}{Definição}
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\newtheorem*{lemma*}{Lema}
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\newtheorem*{proposition*}{Proposição}
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\newtheorem*{corollary*}{Corolário}
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\newtheorem*{exercise*}{Exercício}
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\newtheorem*{remark*}{Comentário}
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\newtheorem*{notation*}{Notação}
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\newtheorem*{axiom*}{Axioma}
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%% --8<-------------------------------------------------------->8---
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%% Sometimes I wanna make a section without making it a real section,
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%% so let's call it a ghostsection. Because I currently write with no
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%% paragraph skip at all, I'm using the math-mode space skip to
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%% separate the section from the text (of the previous section). A
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||||
%% ghost section is cute---check it out. Notice that the
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%% responsibility of adding a period after the bold title is the
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%% user's.
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\newcommand{\ghostsection}[1]{{\vskip\the\belowdisplayskip\noindent{\bf #1}}}
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%% Yeah, TeX is very cryptic---I know. It's really a different world.
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||||
%% --8<-------------------------------------------------------->8---
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||||
%% A shortcut to \dfrac.
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\newcommand{\fr}{\dfrac}
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%% A shortcut to writing "Solution".
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\newcommand{\sol}{{\em Solução}}
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||||
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||||
%% --8<---------------cut here---------------start------------->8---
|
||||
%% Bibliografia et cetera.
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||||
\usepackage[backend=bibtex]{biblatex}
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\addbibresource{refs.bib}
|
||||
%% --8<---------------cut here---------------end--------------->8---
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||||
\title{Physics}
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\author{Ruth Hernández \& husband}
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@ -201,6 +246,222 @@ foi superada por Galileu e Newton.
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|||
Ainda está em construção, meu amor. Um beijo apertado da sua mocinha
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\texttt{<3}
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\selectlanguage{english}
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Está uma construção bonita e muito gostosa de se ver. Um beijo
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||||
delicado do seu namorado. {\tt <3}
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\section{Medições}
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||||
Tudo em física tem direção e unidade porque a ciência é a arte de
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medir. Medir significa comparar uma quantidade a uma referência, que
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chamamos de unidade.
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%
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\begin{quote}
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||||
``Science, we are often taught, is measurement.''~\cite[capítulo
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||||
2, página 14]{tea}
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||||
\end{quote}
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%
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||||
É bom hábito computar aritmética sempre com as
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unidades---requer paciência de escrever e cancelá-las---e prestando
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atenção à direção em que as coisas se movem já que em física tudo tem
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direção (exceto as coisas escalares).
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Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
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intimidade com computar números. Quando estivermos incertos sobre a
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solução de um problema, usemos a calculadora pra rapidamente saber se
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realmente o raciocínio está certo. Depois disso, demos uma olhada e
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||||
vejamos o que tem de difícil nas contas e procuremos facilitá-las.
|
||||
Por exemplo, descartemos toda a super-precisão desnecessária, façamos
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||||
arredondamentos e usemos os teoremas que facilitam contas---o que é
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uma arte admirável. Viver sem calculadora é excelente
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desenvolvimento, mas usemo-na sempre que útil---quando em pressa, por
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exemplo.
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\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
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converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
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fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
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$$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
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%
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||||
Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
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||||
multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
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%
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$$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
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%
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como desejado.
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Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
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horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
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os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
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constante ``s'' que representa a unidade em si.
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||||
Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
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\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}. Eis o primeiro
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problema do IF. Existe algum jeito mais simples de computar as
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||||
respostas aqui? Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
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aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
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||||
Torricelli na manga.
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\begin{exercise*}
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||||
Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
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cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
|
||||
depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
|
||||
distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
|
||||
Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
|
||||
freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
|
||||
da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
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||||
-7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
|
||||
que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
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||||
que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
|
||||
responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
|
||||
for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
|
||||
o mais sensato a fazer aqui. (Mas note que nesse problema
|
||||
especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
|
||||
dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
|
||||
internacional quando reportamos os valores finais.)
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||||
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||||
Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
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%
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$$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
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%
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||||
mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.
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||||
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||||
Ah, espere um momento! Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
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||||
velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração. O carro então
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||||
depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
|
||||
metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
|
||||
depois incorretamente de novo e por último corretamente). Podemos
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||||
agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
|
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a zero? Não tenho uma fórmula pra velocidade. Ah, compute a derivada
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de $x(t)$ pra obter
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%
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$$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
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%
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Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
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queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
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%
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$$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
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%
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cuja solução dá
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%
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$$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
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%
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Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo. A
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||||
computação de 36/7.2 foi feita por calculadora. No papel, faríamos
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$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer. A conta que não é
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fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
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nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
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como facilitá-la.
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Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar. Portanto, pra
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obter a distância adicional percorrida, queremos
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%
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$$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
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ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
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5 segundos. Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
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primeiro---vida normal.
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\end{exercise*}
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||||
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\begin{remark*}
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||||
Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
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||||
valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
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||||
consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
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||||
descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
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||||
compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
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||||
em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve. Parece boa
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||||
a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
|
||||
observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
|
||||
fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
|
||||
importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
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||||
\end{remark*}
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\ghostsection{A equação de Torricelli}. A equação de Torricelli
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||||
relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
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tempo. Ela é
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%
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$$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
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%
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Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
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abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.
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\begin{exercise*}
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Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
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pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
|
||||
no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$. Indique
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nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
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||||
50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
|
||||
t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
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||||
v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
|
||||
$y(t)$, obtendo
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%
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\begin{align*}
|
||||
y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
|
||||
= \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
|
||||
= \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
|
||||
= \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
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||||
Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática
|
||||
%
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\begin{align*}
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||||
50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
|
||||
100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
|
||||
980 &= v_0^2\\
|
||||
31.30 &= v_0,
|
||||
\end{align*}
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||||
%
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como desejado. Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
|
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leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
|
||||
31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
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||||
como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
|
||||
contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
|
||||
algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
|
||||
quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
|
||||
aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
|
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muito perplexante.
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||||
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O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
|
||||
gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
|
||||
$v_0 = 31.3049$. Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
|
||||
erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz. Não
|
||||
deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
|
||||
dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
|
||||
resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
|
||||
tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
|
||||
$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
|
||||
\end{exercise*}
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||||
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\begin{remark*}
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||||
O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
|
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novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
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||||
resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
|
||||
colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
|
||||
0$. Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
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||||
%
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||||
\begin{align*}
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||||
-50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
|
||||
&= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
|
||||
50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
|
||||
100 &= (9.8) t^2\\
|
||||
t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
|
||||
t &= 3.1943,
|
||||
\end{align*}
|
||||
%
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||||
como desejado. Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
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||||
colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
|
||||
ficando no lado negativo do eixo $y$.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
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||||
\begin{remark*}
|
||||
Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
|
||||
acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
|
||||
obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
|
||||
precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros. Sim, rolou
|
||||
um momento de perplexidade.
|
||||
\end{remark*}
|
||||
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\printbibliography
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||||
\selectlanguage{english}
|
||||
\end{document}
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|||
69
refs.bib
Normal file
69
refs.bib
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,69 @@
|
|||
@book{tea,
|
||||
author = {David Salsburg},
|
||||
title = {The lady tasting tea: how statistics revolutionized science
|
||||
in the twentieth century},
|
||||
year = {2001},
|
||||
publisher = {W.~H.~Freedom and Company New York},
|
||||
ISBN = {0-7167-4106-7}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{eti,
|
||||
author = {Steven Schwartzman},
|
||||
title = {The words of mathematics. An etymological
|
||||
dictionary of mathematical terms used in English.},
|
||||
year = {1980},
|
||||
publisher = {The Mathematical Association of America},
|
||||
ISBN = {0-88385-511-9},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{knuthv1,
|
||||
author = {Knuth, Donald E.},
|
||||
title = {The Art of Computer Programming, volume 1, fundamental algorithms},
|
||||
edition = {3},
|
||||
year = {1997},
|
||||
ISBN = {0-201-89683-4},
|
||||
publisher = {Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc.},
|
||||
address = {Boston, MA, USA},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{mccoy,
|
||||
author = {Neal H. McCoy and Gerald J. Janusz},
|
||||
title = {Introduction to Modern Algebra},
|
||||
year = {1992},
|
||||
publisher = {Wm. C. Brown Publishers},
|
||||
ISBN = {0-697-08570-8},
|
||||
edition = {5},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{hardy-pure,
|
||||
title = {A course of pure mathematics},
|
||||
author = {G.~H. Hardy},
|
||||
publisher = {Cambridge University Press},
|
||||
isbn = {},
|
||||
year = {1967},
|
||||
edition = {10},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{stewart,
|
||||
title = {Calculus},
|
||||
author = {James Stewart},
|
||||
publisher = {Brooks Cole},
|
||||
ISBN = {978-0-495-01160-6},
|
||||
year = {2007},
|
||||
series = {},
|
||||
edition = {6},
|
||||
volume = {},
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@book{calculo,
|
||||
title = {Cálculo},
|
||||
author = {James Stewart},
|
||||
publisher = {Cengage Learning},
|
||||
isbn = {978-85-221-0968-5},
|
||||
year = {2009},
|
||||
series = {},
|
||||
edition = {6},
|
||||
volume = {1},
|
||||
}
|
||||
|
||||
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