Cosmetics on the derivative of ax^n.

calculus.tex

@@ -2488,7 +2488,8 @@ como desejado.
 \end{proof}
 
 \begin{remark*} 
-Relevante é o Teorema Binomial.
+Relevante é o Teorema Binomial porque ele expandes esses binômios $(a
++ b)^n$ pra gente.
 \end{remark*}
 
 %% \begin{remark*} 
@@ -2509,53 +2510,58 @@ Relevante é o Teorema Binomial.
 %% \end{table}
 %% \end{remark*}
 
-Outro fato é que $ax^n$ tem derivada $anx^{n - 1}$. É um exercício
-interessante provar esse fato por dois ângulos diferentes, que são as
-definições de derivada que temos. Uma diz que 
-
-  f'(x) = \lim \fr{f(x + h) - f(x)}{h}
-
-sendo $h \to 0$ e a outra diz que 
-
-  f'(x) = \lim \fr{f(x) - f(c)}{x - c}
-
-com $x \to c$. Ambas são equivalentes, como sabemos, e obter a
-derivada por ambas nos dá a informação de que às vezes é mais fácil
-trabalhar com uma do que com a outra.  Por exemplo, a derivada de
-$ax^n$ é 
+\begin{theorem*} 
+  A derivada de $ax^n$ é $an x^{n - 1}$.
+\end{theorem*}
+\begin{proof} 
+É um exercício interessante provar esse fato por dois ângulos
+diferentes, que são as definições de derivada que temos. Uma diz que
+%
+  $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \fr{f(x + h) - f(x)}{h}$$
+%
+e a outra diz que 
+%
+  $$f'(x) = \lim_{x \to c} \fr{f(x) - f(c)}{x - c}.$$
+%
+Ambas são equivalentes, como sabemos, e obter a derivada por ambas nos
+dá a informação de que às vezes é mais fácil trabalhar com uma do que
+com a outra.  Por exemplo, a derivada de $ax^n$ é
 %
 \begin{align*}
   f'(x) &= \lim \fr{a(x + h)^n - ax^n}{h}\\
-        &= a \lim \fr{x^n + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + ... + C(n,n)h^n - ax^n}{h}\\
-        &= a \lim \fr{\cancel{x^n} + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + ... + C(n,n)h^n - \cancel{ax^n}}{h}\\
+        &= a \lim \fr{x^n + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + \cdots + C(n,i)x^{n-i}h^i + \cdots + C(n,n)h^n - x^n}{h}\\
+        &= a \lim \fr{\cancel{x^n} + C(n,1)x^{n-1}h + C(n,2)x^{n-2}h^2 + \cdots + C(n,i)x^{n-i}h^i + \cdots + C(n,n)h^n - \cancel{x^n}}{h}\\
+        &= a \lim \left(\fr{C(n,1)x^{n-1}h}{h} + \fr{C(n,2)x^{n-2}h^2}{h} + \cdots + \fr{C(n,i)x^{n-i}h^i}{h} + \cdots + \fr{C(n,n)h^n}{h}\right)\\
         &= a n x^{n - 1},
 \end{align*}
 %
 como desejado. Já usando a outra definição, estamos interessados em
 %
 \begin{align*}
-  f'(x) &= \lim \fr{ax^n - ac^n}{x - c}\\
-        &= a \lim \fr{x^n - c^n}{x - c}\\
+  f'(x) = \lim \fr{ax^n - ac^n}{x - c} = a \lim \fr{x^n - c^n}{x - c}
 \end{align*}
 %
 e vamos ter que computar uma divisão de polinômios. A divisão de $x^n
-- c^n$ por $x - c$ resulta no quociente $x^{n - 1} + c x^{n - 2} + c^2
-x^{n - 3} + ... + c^i x^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1}$. O padrão é
-mais facilmente compreendido se você dividir $x^3 - c^3$ por $x - c$ e
-depois $x^4 - c^4$ por $x - c$.  Feita a divisão, temos uma função
-contínua em toda a linha real e daí obtemos
+- c^n$ por $x - c$ resulta no quociente $$x^{n - 1} + c x^{n - 2} +
+c^2 x^{n - 3} + ... + c^i x^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1}.$$ O
+padrão é mais facilmente compreendido se você dividir $x^3 - c^3$ por
+$x - c$ e depois $x^4 - c^4$ por $x - c$.  Feita a divisão, temos uma
+função contínua em toda a linha real e daí obtemos
 %
 \begin{align*}
   f'(x) &= a \lim \fr{x^n - c^n}{x - c}\\
-        &= a (x^{n - 1} + c x^{n - 2} + c^2 x^{n - 3} + \cdots + c^i x^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1})\\
-        &= a (c^{n - 1} + c c^{n - 2} + c^2 c^{n - 3} + \cdots + c^i c^{n - (i + 1)} + ... + c^{n - 1})\\
+        &= a (x^{n - 1} + c x^{n - 2} + c^2 x^{n - 3} + \cdots + c^i x^{n - (i + 1)} + \cdots + c^{n - 1})\\
+        &= a (c^{n - 1} + c c^{n - 2} + c^2 c^{n - 3} + \cdots + c^i c^{n - (i + 1)} + \cdots + c^{n - 1})\\
         &= a (c^{n - 1} + c^{n - 1} + \cdots + c^{n - 1})\\
         &= a n c^{n - 1}.
 \end{align*}
 %
 Note que temos $n$ termos $c^{n - 1}$ porque o contador vai de $n - 1$
-a zero. Obtemos assim a mesma derivada, mas por percursos algébricos
-diferentes, sendo o segundo menos óbvio que o primeiro.
+a zero. Por fim, como o ponto $x = c$ é um ponto arbitrário, podemos
+reescrever $$f'(x) = a n x^{n - 1}.$$ Obtemos assim a mesma derivada,
+mas por percursos algébricos diferentes, sendo o segundo menos óbvio
+que o primeiro (em nossa humilde opinião).
+\end{proof}
 
 \begin{theorem*}[regra da soma]
 Se $f$ e $g$ são deriváveis, então 
@@ -2580,9 +2586,9 @@ como desejado.
 
 A regra do produto é mais envolvente.  Stewart oferece uma analogia
 que é bem útil.  Suponha que $f$ e $g$ sejam sempre positivas, o que
-nos permite pensar em $fg$ como uma área, como uma a área de um
-retângulo.  É uma analogia pra dar um sentido geométrico à variação
-$\Delta (fg)$ e nos ajudar a escrever a prova do fato.
+nos permite pensar em $fg$ como a área de um retângulo.  É uma
+analogia pra dar um sentido geométrico à variação $\Delta (fg)$ e nos
+ajudar a escrever a prova do fato.
 
 \begin{theorem*}[regra do produto]
 Se $u = f(x)$ e $v = g(x)$ são diferenciáveis, então 
@@ -2700,7 +2706,7 @@ tangentes e coloque $x = 0$, obtendo
 \end{align*}
 %
 o que nos revela que as tangentes relativas aos pontos $x = - 1/2$ e
-$x = 1/2$ são perpendiculares se encontram no eixo $y$.  Elas têm
+$x = 1/2$ são perpendiculares e se encontram no eixo $y$.  Elas têm
 inclinação $-1$ e $1$, logo quando $x=0$, obtemos $y = - 1/4$, como
 desejado.
 \end{exercise*}
@@ -2709,7 +2715,7 @@ desejado.
 Considere a hipérbole $xy = c$.  Marque qualquer ponto na curva.
 Trace a reta tangente à curva ao ponto.  Essa reta forma um triângulo
 retângulo sendo os eixos $x, y$ os catetos.  Mostre que a coordenada
-$x$ do ponto é o ponto médio entre a origem a inserseção entre a reta
+$x$ do ponto é o ponto médio entre a origem a intersecção entre a reta
 tangente e eixo $x$.  Em seguida, mostre que a área do triângulo é uma
 constante~\cite[exercício~76, seção~3.1]{calculo}.
 %