Completes the square for the quadratic formula.
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@ -684,7 +684,7 @@ verbos'' em nossa linguagem --- como ``$\sqrt{\cdot}$''. É, aliás,
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por isso que os matemáticos definem que $\sqrt{2}$ é um número
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algébrico: pode ser expresso por uma linguagem algébrica. Outros
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irracionais como $e$ ou $\pi$ são chamados de transcendentais porque
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transcendem qualquer linguagem algébrica, ou seja, cada um deles
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transcendem a linguagem algébrica usual, ou seja, cada um deles
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precisaria de um novo símbolo. É notório, entretanto, que os
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trancendentais são vastamente mais abundantes na linha real (pra
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alguma definição de ``abundantes'') que os algébricos. (Matemáticos
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@ -764,9 +764,8 @@ sendo certo neste exemplo que $p_1 = p_2 = p_3$. Assim obtemos
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\end{remark*}
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\begin{remark*}
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Comentário. Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto
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é, nada se afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas
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fatorações.
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Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto é, nada se
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afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas fatorações.
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\end{remark*}
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Agora observe que $p_1$ é um primo que divide $m$. Portanto, $p_1$ tem
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@ -920,6 +919,39 @@ termo \sfrac{49}{16} que adicionamos. Assim obtemos a igualdade
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como desejado.
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Podemos obter a fórmula da equação quadrática assim. Eis como
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fazer. Queremos solucionar $ax^2 + bx + c = 0$. O primeiro passo é
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transformar essa parábola num polinômio mônico, obtendo
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\begin{align*}
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x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} = 0.
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\end{align*}
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Agora observe que o termo $x^2$, por si só, já é um quadrado
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perfeito. Metade do termo linear é $b/2a$ vezes $x$, o que representa
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a área de um retângulo de altura $x$ e comprimento $b/2a$. Colocando
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esses dois retângulos, respectivamente, acima e ao lado direito do
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quadradinho $x^2$, obtemos as áreas $x^2 + (b/a) x$. Pra completar
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esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$. O lado desse
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quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade
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\begin{align*}
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(x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
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\end{align*}
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%
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Assim, podemos resolver a equação por computar
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\begin{align*}
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x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} &= 0\\
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x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{b^2}{4a^2} + \fr{c}{a} &= \fr{b^2}{4a^2}\\
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\left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 &= \fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}\\
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x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}}\\
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x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2- 4ac}{4a^2}}\\
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x + \fr{b}{2a} &= \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\
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x &= \fr{b}{2a} \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\
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x &= \fr{b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a},
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\end{align*}
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obtendo assim a expressão usual da fórmula da equação quadrática.
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\subsubsection{Fatoração de polinômios quadráticos com coeficiente líder}
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Precisaremos calcular números como
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@ -962,9 +994,9 @@ conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$. Logo, $2t^2 + 7t + 3 = (2t + 1)(t
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+ 3)$. Em outras palavras, o coeficiente líder maior que 1 não chega
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a modificar o método de fatoração --- é só uma pequena perturbação. O
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maior problema é quando o termo $ab$ oferece muitas possibilidades.
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Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complica um pouco mais porque
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$24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que cada
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produto aí oferece duas possibilidades. Várias possibilidades a
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Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complicaria um pouco mais
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porque $24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que
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cada produto aí oferece duas possibilidades. Várias possibilidades a
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verificar---oito nesse caso.
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Depois de considerados os fatores de $ab$, observe que o sinal de $ab$
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@ -2459,23 +2491,23 @@ como desejado.
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Relevante é o Teorema Binomial.
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\end{remark*}
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\begin{remark*}
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Os dados coletados são
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\begin{table}[htb]
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\centering
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\begin{tabular}{r|c}
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função & derivada \\\toprule
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$ax^1$ & $ax^0 = a$\\
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$ax^2$ & $3ax^1 = 2ax$\\
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$ax^3$ & $3ax^2$\\
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$\vdots$ & $\vdots$\\
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$ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
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\end{tabular}
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\caption{A regra da potência.}
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\label{tb:regra-potência}
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\end{table}
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\end{remark*}
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%% \begin{remark*}
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%% Os dados coletados são
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%% \begin{table}[htb]
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%% \centering
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%% \begin{tabular}{r|c}
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%% função & derivada \\\toprule
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%% $ax^1$ & $ax^0 = a$\\
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%% $ax^2$ & $3ax^1 = 2ax$\\
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%% $ax^3$ & $3ax^2$\\
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%% $\vdots$ & $\vdots$\\
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%% $ax^n$ & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
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%% \end{tabular}
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%% \caption{A regra da potência.}
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%% \label{tb:regra-potência}
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%% \end{table}
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%% \end{remark*}
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Outro fato é que $ax^n$ tem derivada $anx^{n - 1}$. É um exercício
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interessante provar esse fato por dois ângulos diferentes, que são as
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