More on trigonometric integrals.

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@@ -5055,13 +5055,102 @@ como desejado.
 
 Feita essa observação, a gente também observa que já sabemos integrar
 $\sin x$ e $\cos x$, mas que precisamos pensar em potências delas como
-$\sin^2 x$, $\cos^2 x$ {\em et cetera}. Nenhma dessas duas sai por
-por-partes---experimente. Obtemos $\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x
-+ \int \cos^2 \dx$, exigindo-nos a integral de $\cos^2 x$. Se
-tentarmos por-partes a integral de $\cos^2 x$, precisaremos da
-integral de $\sin^2 x$, estabelecendo-se assim um ciclo do qual não
-conseguiremos sair. Agora, a sorte não é a mesma se desejarmos pelas
-integrais de $\sin^3 x$ ou $\cos^3 x$.
+$\sin^2 x$, $\cos^2 x$ {\em et cetera}. Ambos quadrados são
+integráveis por partes. Por exemplo, pra integrar $\sin^2 x$, declare
+$u = \sin x$ de forma que $\du = \cos x$ e $dv = \sin x \dx$ pra que
+$v = -\cos x$. Agora a integração por partes revela
+%
+  $$\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \dx.$$
+%
+Dado que $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, então $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
+Assim $\int \cos^2 x \dx = x - \int \sin^2 x \dx$. Aplicando esse fato
+acima, obtemos $\int \sin^2 x \dx = -\sin x \cos x + x - \int \sin^2 x
+\dx$. Observe o sinal positivo da integral no lado esquerdo e o sinal
+negativo da mesma integral no lado direito. Adicione a integral
+desejada a ambos os lados e divida tudo por 2 pra obter
+%
+  $$\int \sin^2 x = \frac{1}{2} \left(-\sin x \cos x + x\right),$$
+%
+que é a integral de $\sin^2 x$, como desejado. Pra ter confiança,
+compute a derivada, notando que $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.  A mesma
+estratégia vai funcionar pra integrar $\cos^2 x$, mas o que devemos
+fazer é usar o fato de que agora sabemos a integral de $\sin^2 x$ pra
+obter
+%
+\begin{align*}
+  \int \cos^2 x \dx &= \int \dx - \int \sin^2 x \dx\\
+                    &= x - \frac{1}{2}\left(-\sin x\cos x + x\right)\\
+                    &= \frac{1}{2}\left(\sin x\cos x - x\right) + x.
+\end{align*}
+%
+Como podemos memorizar essa duas? A integral do quadrado do cosseno
+tem um $x$ a mais. Fora isso, elas são {\em meio} análogas. É melhor
+expressá-las assim, ó:
+%
+\begin{align*}
+  \int \sin^2 x \dx &= - \frac{1}{2} (\sin x \cos x - x)\\
+  \int \cos^2 x \dx &=   \frac{1}{2} (\sin x \cos x - x) + x.
+\end{align*}
+%
+É o melhor que posso fazer no momento.
+
+A integral de $\cos^3 x$ sai fácil também. Primeiro a gente fatora
+$\cos^3 x = \cos^2 x \cos x$. Em seguida, usa $\cos^2 x = 1 - \sin^2
+x$, o que nos dá 
+%
+  $$\int \cos^3 x \dx = \int \cos x \dx - \int \sin^2 x \cos x \dx.$$
+%
+Agora a integral da direita é suscetível à substituição.  Declare $u =
+\sin x$ de forma que $\du = \cos x \dx$, daí a integral se torna a
+integral de $u^2$ e o problema desaparece produzindo o resultado
+%
+  $$\int \cos^3 x \dx = \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + c.$$
+%
+Pra ter confiança, compute a derivada observando que $1 - \sin^2 x =
+\cos^2 x$.
+
+Similarmente, obtemos
+%
+  $$\int \sin^3 x \dx = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^3 x + c.$$
+%
+É isso. 
+
+Parece que as integrais de potências de seno e cosseno se dividem em
+dois grupos. Se temos um produto de uma potência ímpar do seno com uma
+potência par do cosseno, então separar um fator $\sin x \dx$ pra
+substituir seu $\du$ elimina a dificuldade. Já se você tem potências
+pares de ambos seno e cosseno---e note que não ter seno ou cosseno
+significa que você tem $\sin^0 x$ ou $\cos^0 x$, ou seja, uma potência
+par---, então você precisa de uma das identidades trigonométricas que
+são chamadas de {\em half-angle identities}.
+
+Ocorre (por razões que desconheço) que
+%
+\begin{align*}
+  \sin^2 x &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)\\
+  \cos^2 x &= \frac{1}{2}(1 + \sin 2x)
+\end{align*}
+%
+Com a primeira, por exemplo, você consegue integrar $\sin^2 x$ usando
+substituição.  Stewart faz bem rapidinho como ele já tinha avisado que
+faria quando nos ensina a usar a substituição, mas ainda preciso fazer
+devagar---é a verdade. Se $u = 2x$ então $(1/2) \du = \dx$.  Assim
+podemos computar
+%
+\begin{align*}
+  \int \sin^2 x \dx &= \int \frac{1}{2} \dx - \frac{1}{2}\int \cos 2x \dx\\
+                    &= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \int \cos 2x \dx\\
+                    &= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \int \cos u \frac{1}{2} \du\\
+                    &= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + c,
+\end{align*}
+%
+o que está correto. A verificação é feita observando que $\sin^2 x =
+(1/2) - (1/2)\cos 2x$.  É uma boa hora de estudar as {\em half-angled
+  formulas} porque elas se aplicam também às potências
+trigonométricas.  Por exemplo, $\cos^2 2x = (1/2)(1 + \cos(2 \cdot
+2x)) = (1/2)(1 + \cos 4x)$, o que é usado na computação da integral de
+$\sin^4 x$.  É---vamos estudar a {\em half-angled formula} pra
+especialmente entender o porquê do nome.
 
 \section{Studying functions}