Drawing graphs of distance from velocity.

calculus.tex

@@ -1670,7 +1670,7 @@ as soluções, obtemos $\{0, \sfrac{\pi}{3}, \pi, \sfrac{5\pi}{3},
 2\pi\}.$
 \end{exercise*}
 
-\subsection{Distância a partir de velocidade}
+\subsection{Sobre gráficos de aceleração, velocidade e distância}
 
 Suponha que alguém lhe dê o seguinte problema. Um carro viaja com uma
 velocidade crescente determinada pela função $v = t$. Subitamente,
@@ -1702,10 +1702,62 @@ precisamos entender de uma vez por todas.
 Quando o tempo passa, estamos sempre falando de um intervalo.  Então a
 gente computa dois pontos da função distância e vê de onde pra onde
 ela foi.  Por exemplo, se a velocidade cai de 100 km/h pra 90 km/h
-durante o intervalo $(t_1,t_2)$, então a distância percorrida tem que
+durante o intervalo $(t_1, t_2)$, então a distância percorrida tem que
 ir de $d(t_1)$ pra $d(t_2)$, ou seja, ela vai de $-1/2 t_1^2$ pra
-$-1/2 t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer tem que respeitar os
+$-1/2 t_2^2$.  Assim a conexão que devemos fazer precisa respeitar os
-intervalos certos.
+intervalos certos e outras coisas.
+
+Que outras coisas? Na prática, esses problemas muitas vezes oferecem
+gráficos de velocidade (ou aceleração) e pedem o gráfico da integral.
+Como a gente sabe calcular a integral, a gente consegue montar o
+gráfico certinho.  Vamos a um exemplo.  
+
+\begin{exercise*}
+Um carro viaja segundo $v = t$ no intervalo $(0,1)$ e depois viaja
+segundo $v = -t$ no intervalo $(1, 2)$. Desenhe as curvas de
+velocidade e também a da distância nos mesmos eixos. \sol. Os gráficos
+das velocidades nós já conhecemos. A integral de $t$ é $(1/2) t^2$ e
+note que ela termina na altura 1/2, então ela fica abaixo da
+velocidade.  A integral de $-t$ é $- (1/2) t^2$ que é a mesma parábola
+só que agora côncava pra baixo e a gente então desenha ela começando
+onde terminou a parábola côncava pra cima.  Fazer o deslocamento com
+as mãos é moleza---a gente já fez aqui dizendo meramente que a gente
+desenha o segundo gráfico onde o primeiro terminou. Num computador,
+como num Geogebra, a gente precisaria especificar o deslocamento. A
+cada novo intervalo do domínio vai haver um deslocamento horizontal e
+a altura também é deslocada porque o intervalo anterior tipicamente
+faz a integral subir ou descer. Por exemplo, pra desenhar o arco da
+parábola relativo ao intervalo $(1, 2)$, pedi ao Geogebra pra desenhar
+$- (1/2) (t - 1)^2 + 1/2$ porque precisamos deslocar pra direita e
+subir 1/2 já que a primeira parábola terminou em 1/2. Veja a
+Figura~\ref{fg:speed-distance} na página~\pageref{fg:speed-distance}.
+%
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.5\textwidth, angle=0]{images/speed-distance.png}
+  \caption{As curvas $f$ e $g$ descrevem a velocidade do carro e as
+    curvas $h$ e $p$ descrevem a distância percorrida pelo carro.}
+  \label{fg:speed-distance}
+\end{figure}
+%
+\end{exercise*}
+
+Como fazer esses desenhos quando a gente não conhece bem a curva que
+precisamos integrar?  Minha ideia é---finge que você conhece, calcula
+a integral dela corretamente e aí desenha a função que descreve a
+integral como se a origem do plano fosse o ponto em que a
+função-integral anterior terminou. Por exemplo, imagine que alguém te
+pede pra desenhar a distância percorrida por um carro que viajou com
+velocidade parecida com uma curva da distribuição gaussiana.  A
+integral dela é certamente complicada, mas como o problema está
+pedindo meramente pela intuição da ideia---pro estudante mostrar que
+sabe o que está acontecendo---, a gente faz de conta que a curva é uma
+espécie de parábola no início, seguida de uma função linear até um
+topo e simetricamente no resto. Com isso a integral aí seria uma
+espécie de função cúbica côncava pra cima conectada a uma parábola
+côncava pra cima conectada a uma parábola côncava pra baixo conectada
+a uma função cúbica côncava pra baixo. É isso---é o melhor que posso
+fazer no momento.
 
 \section{Definitions, limits and continuity}
 
@@ -6361,8 +6413,6 @@ pro que precisamos---precisamos de uma estimativa mais justa, mais
 apertada.
 \end{remark*}
 
-
-
 \subsection{Método de Newton e raízes quadradas}
 
 Use o método de Newton.  Por exemplo, se você quer uma sequência que