Completes the square for the quadratic formula.

calculus.tex

@@ -684,7 +684,7 @@ verbos'' em nossa linguagem --- como ``$\sqrt{\cdot}$''.  É, aliás,
 por isso que os matemáticos definem que $\sqrt{2}$ é um número
 algébrico: pode ser expresso por uma linguagem algébrica.  Outros
 irracionais como $e$ ou $\pi$ são chamados de transcendentais porque
-transcendem qualquer linguagem algébrica, ou seja, cada um deles
+transcendem a linguagem algébrica usual, ou seja, cada um deles
 precisaria de um novo símbolo.  É notório, entretanto, que os
 trancendentais são vastamente mais abundantes na linha real (pra
 alguma definição de ``abundantes'') que os algébricos.  (Matemáticos
@@ -764,9 +764,8 @@ sendo certo neste exemplo que $p_1 = p_2 = p_3$.  Assim obtemos
 \end{remark*}
 
 \begin{remark*}
-Comentário.  Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto
+Note que $r$ pode ser igual a $s$ ou diferente --- isto é, nada se
-é, nada se afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas
+afirma sobre a quantidade de fatores de $m$ nessas duas fatorações.
-fatorações.
 \end{remark*}
 
 Agora observe que $p_1$ é um primo que divide $m$.  Portanto, $p_1$ tem
@@ -920,6 +919,39 @@ termo \sfrac{49}{16} que adicionamos.  Assim obtemos a igualdade
 %
 como desejado.
 
+Podemos obter a fórmula da equação quadrática assim. Eis como
+fazer. Queremos solucionar $ax^2 + bx + c = 0$.  O primeiro passo é
+transformar essa parábola num polinômio mônico, obtendo
+%
+\begin{align*}
+  x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} = 0.
+\end{align*}
+%
+Agora observe que o termo $x^2$, por si só, já é um quadrado
+perfeito. Metade do termo linear é $b/2a$ vezes $x$, o que representa
+a área de um retângulo de altura $x$ e comprimento $b/2a$.  Colocando
+esses dois retângulos, respectivamente, acima e ao lado direito do
+quadradinho $x^2$, obtemos as áreas $x^2 + (b/a) x$.  Pra completar
+esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$.  O lado desse
+quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade
+%
+\begin{align*}
+  (x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
+\end{align*}
+%
+Assim, podemos resolver a equação por computar
+\begin{align*}
+                   x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{c}{a} &= 0\\
+  x^2 + \fr{b}{a} x + \fr{b^2}{4a^2} + \fr{c}{a} &= \fr{b^2}{4a^2}\\
+                   \left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 &= \fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}\\
+                                  x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2}{4a^2} - \fr{c}{a}}\\
+                                  x + \fr{b}{2a} &= \pm \sqrt{\fr{b^2- 4ac}{4a^2}}\\
+                                  x + \fr{b}{2a} &= \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\
+                                  x &= \fr{b}{2a} \pm \fr{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a}\\
+                                  x &= \fr{b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a},
+\end{align*}
+obtendo assim a expressão usual da fórmula da equação quadrática.
+
 \subsubsection{Fatoração de polinômios quadráticos com coeficiente líder}
 
 Precisaremos calcular números como
@@ -962,9 +994,9 @@ conseguimos: $2b + a = 6 + 1 = 7$.  Logo, $2t^2 + 7t + 3 = (2t + 1)(t
 + 3)$.  Em outras palavras, o coeficiente líder maior que 1 não chega
 a modificar o método de fatoração --- é só uma pequena perturbação.  O
 maior problema é quando o termo $ab$ oferece muitas possibilidades.
-Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complica um pouco mais porque
+Por exemplo, fosse $ab = 24$, a coisa se complicaria um pouco mais
-$24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que cada
+porque $24 = 1\times24 = 2\times12 = 4\times6 = 8\times3$, sendo que
-produto aí oferece duas possibilidades.  Várias possibilidades a
+cada produto aí oferece duas possibilidades.  Várias possibilidades a
 verificar---oito nesse caso.
 
 Depois de considerados os fatores de $ab$, observe que o sinal de $ab$
@@ -2459,23 +2491,23 @@ como desejado.
 Relevante é o Teorema Binomial.
 \end{remark*}
 
-\begin{remark*} 
+%% \begin{remark*} 
-Os dados coletados são 
+%% Os dados coletados são 
-
+%% 
-\begin{table}[htb]
+%% \begin{table}[htb]
-\centering
+%% \centering
-\begin{tabular}{r|c}
+%% \begin{tabular}{r|c}
-função & derivada \\\toprule
+%% função & derivada \\\toprule
-$ax^1$   & $ax^0 = a$\\
+%% $ax^1$   & $ax^0 = a$\\
-$ax^2$   & $3ax^1 = 2ax$\\
+%% $ax^2$   & $3ax^1 = 2ax$\\
-$ax^3$   & $3ax^2$\\
+%% $ax^3$   & $3ax^2$\\
-$\vdots$ & $\vdots$\\
+%% $\vdots$ & $\vdots$\\
-$ax^n$   & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
+%% $ax^n$   & $nax^{n-1}$\\\bottomrule
-\end{tabular}
+%% \end{tabular}
-\caption{A regra da potência.}
+%% \caption{A regra da potência.}
-\label{tb:regra-potência}
+%% \label{tb:regra-potência}
-\end{table}
+%% \end{table}
-\end{remark*}
+%% \end{remark*}
 
 Outro fato é que $ax^n$ tem derivada $anx^{n - 1}$. É um exercício
 interessante provar esse fato por dois ângulos diferentes, que são as