A small joke.

calculus.tex

@@ -188,7 +188,7 @@ O habilidoso uso de ferramentas é condição {\em sine qua non} pra
 análise matemática.  Começamos por ferramentas que certamente usaremos
 na empreitada.
 
-\subsection{O sistema Hindu-Arábico de numerais}
+\subsection{O sistema hindu-arábico de numerais}
 
 \newcommand{\al}{al-Khow\={a}rism\={\i}}
 
@@ -390,12 +390,12 @@ que é 1 ---, teríamos marcado um {\tt x} só nos algarismos {\tt
   123456}, indicando que ainda consideraremos os algarismos {\tt
   789123456789} ao longo da computação do algoritmo.
 
-Por que se chama divisão longa?  Pra ser distinguida com divisão
+Por que se chama divisão longa?  Pra ser distinguida da divisão curta.
-curta.  Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do
+Na divisão longa, escrevemos a multiplicação parcial do quociente pelo
-quociente pelo divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida,
+divisor logo abaixo do dividendo parcial; em seguida, efetuamos a
-efetuamos a subtração.  Na divisão curta, omitimos a subtração tal que
+subtração.  Na divisão curta, omitimos a subtração tal que escrevemos
-escrevemos abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração,
+abaixo do dividendo apenas o resultado da subtração, tornando a
-tornando a verificação do trabalho mais difícil.  Também exibida pela
+verificação do trabalho mais difícil.  Também exibida pela
 Figura~\ref{fg-alkw-long-div} (na página \pageref{fg-alkw-long-div}),
 desenhamos uma seta indicando o produto do algarismo corrente do
 quociente (corrente durante a execução do algoritmo) que deu origem ao
@@ -450,8 +450,8 @@ página~\pageref{fg-alkw-long-div}).
             --------
                42042 --> resto
 \end{verbatim}
-  \caption{A multiplicação entre 123456789 por 987654321 segundo \al.
+  \caption{A divisão de 123456789123456789 por 123123 segundo \al.  O
-    O quociente é 1002711021689 e o resto, 42042.  Se tivéssemos
+    quociente é 1002711021689 e o resto, 42042.  Se tivéssemos
     interromido o algoritmo em qualquer momento, teríamos no papel
     tudo que precisamos pra continuá-lo.  Por falta de espaço,
     exibimos a tabuada de 123123 na
@@ -504,7 +504,7 @@ Estudemos agora a divisão entre 322 e 37.  A tabuada
 revela imediatamente que o primeiro algarismo do quociente é 8.  O
 resto de $26 < 37$ revela que terminamos.  Desejando a parte
 fracionada da expansão decimal da divisão, continuamos.  O zero que
-justamos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
+justapomos ao 26 representa o fato de que multiplicamos o resto 26 por
 10.  Por causa disso, precisaremos corrigir o quociente por via de uma
 divisão por 10 --- o que é feito imediatamente com a adição do ponto
 decimal.  Encontramos o algarismo 7 e como resto obtemos $1 <
@@ -517,7 +517,7 @@ coisa, mas no contexto em que estamos significa uma quantidade menor
 que 1.  O termo ``periódica'' é evidenciado pelo fato de que temos um
 ciclo, o que representamos pelos colchetes --- ou seja, $322 \div 37 =
 8.702[702] = 8.[702]$.  A justificativa para esse sistema de
-computação em papel é 
+computação em papel é
 %
 \begin{align*}
 \frac{322}{37} &= 8 + \frac{26}{37}\\
@@ -530,7 +530,11 @@ computação em papel é
   &= 8 + 0.7 + 0.002 + 0.702 \cdot\frac{1}{1000}\\
   &= 8 + 0.702 + 0.000702 + \cdots
 \end{align*}
-%
+
+Cabe aqui agora uma explicação do porquê essas equações justificam o
+algoritmo da divisão---em outras palavras, estamos sem uma explicação
+por que o algoritmo funciona.
+
 \begin{figure}[!htb]
   \centering
 \begin{verbatim}
@@ -699,7 +703,7 @@ transcendentais cujos algarismos jamais poderiam ser obtidos por um
 programa de computador.  A relevância do fato é que programa de
 computador é apenas uma realização da expressibilidade dos nossos
 sistemas de cálculo.  Logo, a limitação se aplica a nós --- porque os
-computadores são apenas uma realização do nossos sistemas de
+computadores são apenas uma realização dos nossos sistemas de
 raciocínio.  Temos números ``demais'' na linha real no sentido de que
 não temos (e não teremos) uma linguagem expressiva o suficiente pra
 alcançá-los, o que nos leva a questionar nossa concepção intelectual
@@ -936,7 +940,7 @@ esse quadrado, fica faltando adicionar $(b/2a)^2$.  O lado desse
 quadrado é, portanto, $x + b/2a$, o que nos dá a identidade
 %
 \begin{align*}
-  (x + \fr{b}{2a})^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
+  \left(x + \fr{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \fr{b}{a} + \fr{b^2}{4a^2}.
 \end{align*}
 %
 Assim, podemos resolver a equação por computar
@@ -968,7 +972,7 @@ conjugados $(t + 3)(t - 3)$.
 %% sendo $a, b$ números racionais --- digamos.  Essa função é
 %% tipicamente chamada de conjugação.  Ela pode ser vista como uma
 %% generalização da conjugação complexa restrita a inteiros
-%% gaussianos, que não números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
+%% gaussianos, que são números complexos da forma $a + bi$, sendo $a,
 %% b$ inteiros.  A generalização, portanto, é relaxar os inteiros
 %% gaussianos e permitir racionais.  Se definirmos $f$ assim, obtemos
 %% uma contradição quando $n$ é um quadrado perfeito.  Por exemplo,
@@ -1018,6 +1022,12 @@ $a, b$ estão em $\{3, 9\}$, mas é preciso saber se tentamos $(5x +
 3)(x + 9)$ ou $(5x + 9)(x + 3)$.  Devemos considerar a segunda opção
 primeiro já que $9\times 5 = 45$, muito grande pra $24$.
 
+Dito tudo isso, o fato é que estamos sempre resolvendo um sistema
+não-linear em que $ab$ é um inteiro e $Lb + a$ é outro.  A
+investigação acima é meramente uma tentativa de nos clarificar como
+pensar no problema---como procurar por soluções sem recorrer à equação
+quadrática.
+
 \subsubsection{Fatoração de soma e diferença de cubos}
 
 Outros produtos notáveis são a {\em  Soma de cubos} e a {\em diferença
@@ -1839,7 +1849,7 @@ Parece que Newton usou alguma ideia bem diferente, evitando o sistema
 de equações lineares, mas não sei o que ele fez.  Fica aí como um
 exercício pra um dia descobrir o que ele fez e catalogar a técnica.
 
-\section{Definitions, limits and continuity}
+\section{Limits and continuity}
 
 \masciidef{} The absolute value of a number $x$, written $|x|$ is the
 distance from 0 to $x$ on the real line. Distances are always positive,
@@ -6676,8 +6686,8 @@ observações sobre o tema.
 Uma equação diferencial é chamada de {\em ordinária} se a função que
 soluciona a equação depende de apenas uma única váriavel independente,
 ou seja, a função desejada é $y(x)$. Se ela depender de mais de uma
-variável, então trata-se de uma equação diferencial parcial, quando a
+variável, então trata-se de uma equação diferencial {\em parcial},
-solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
+quando a solução é uma função como, por exemplo, $y(x_1, x_2)$.
 
 Uma equação é chamada de {\em separável de primeira ordem} quando ela
 pode ser escrita como
@@ -6828,7 +6838,7 @@ diferencial linear de primeira ordem.
 \begin{definition}[linear]
 Uma equação diferencial é linear de $n$-ésima ordem se ela é da forma
 %
-  $$f_n(x) y^(n) + f_{n-1}(x)y^(n - 1) + \cdots + f_2(x)y'' + f_(1) y' + f_o(x)y = Q(x).$$
+  $$f_n(x) y^{(n)} + f_{n-1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + f_2(x)y'' + f_1(x) y' + f_0(x)y = Q(x).$$
 %
 \end{definition}
 
@@ -6839,25 +6849,30 @@ resolver a linear de primeira ordem, que é da forma
 %
 \begin{remark*}
 Note que uma equação como $q(x)y' + P(x)y = Q(x)$ ainda é linear de
-primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra $y' + 1/q(x)
+primeira ordem porque basta a gente reescrevê-la pra 
-P(x)y = 1/q(x) Q(x)$.
+%
+  $$y' + \fr{1}{q(x)} P(x)y = \fr{1}{q(x)} Q(x).$$
+%
 \end{remark*}
-
+%
 É nesse tipo de equação que usamos o chamado ``método do fator
-integrante'', que exibiremos agora. O método nos instruir a procurar
+integrante'', que exibiremos agora.  O método nos instrui a procurar
 por $f(x)$ que quando multiplicada em ambos os lados da equação
 produza a regra do produto $f(x)y' + f'(x)y = (f(x)y)'$. Ocorre que
 uma tal função de $x$ pode ser sempre $\exp(\int P(x) \dx)$. ``Por
-quê?'' é a pergunta interesse aqui.  Antes de exibirmos o porquê,
+quê?'' é a pergunta de interesse aqui.  Antes de exibirmos o porquê,
 vejamos o método em ação.
 
 \begin{exercise*}
-Resolva a equação $y' + \fr{1}{x}y = x^2$. \sol. Primeiro computamos
+Resolva a equação 
-$\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) = x$. Observe que queremos uma
+%
-função $f(x)$ qualquer, então podemos sempre tomar $c = 0$ na
+  $$y' + \fr{1}{x}y = x^2.$$ 
-integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em ambos lados da equação,
+%
-obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o lado esquerdo é
+\sol. Primeiro computamos $\exp(\int x^{-1} \dx) = \exp(\ln x) =
-exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
+x$. Observe que queremos uma função $f(x)$ qualquer, então podemos
+sempre tomar $c = 0$ na integração de $P(x)$. Agora multiplique $x$ em
+ambos lados da equação, obtendo $xy' + x x^{-1}y = x^3$. Observe que o
+lado esquerdo é exatamente $(xy)'$ e, portanto, temos
 %
 \begin{align*}
   xy' + x x^{-1}y &= x^3\\
@@ -6874,52 +6889,35 @@ O método ilustra o fato de que a gente sempre recorre às regras de
 derivação pra conseguir uma integração. 
 
 Uma das perguntas importantes aqui é por que o fator integrante é
-$\int P(x) \dx$.  A resposta é na verdade simples. Estamos em busca de
+$\int P(x) \dx$.  A resposta é na verdade simples.  Estamos em busca
-uma função $I(x)$ tal que 
+de uma função $M(x)$ tal que
 %
   $$(M(x)y)' = M(x)y' + M(x)P(x)y.$$
 %
-Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y$.  Agora iguale o
+Expandindo o lado esquerdo, obtemos $M'(x)y + M(x)y'$.  Agora iguale o
 lado esquerdo desejado com o lado direito pra obter a equação
 %
-  $$M'(x)y + M(x)y = M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
+  $$M'(x)y + M(x)y' = M(x)P(x)y + M(x)y'.$$
 %
 O que nos diz essa equação? Diz-nos que a função que estamos
-procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$. Essa é uma nova equação
+procurando satisfaz $M'(x) = M(x) P(x)$.  Que função é essa?  Qual é a
-diferencial que na verdade já conhecemos---ela é uma separável de
+função que quando derivada depende dela própria?  É a função
-primeira ordem.  Encontramos uma solução pra ela lendo-a em
+exponencial de base $e$.  Mas e o fator $P(x)$?  O fator $P(x)$ só
-palavras---que função $M(x)$ conhecemos que quando derivada resulta
+aparece na derivada da exponencial quando ele é a derivada do
-nela própria vezes alguma coisa?  Essa função $M(x)$ tem que ser
+expoente.  E $P(x)$ é a derivada de $\int P(x) \dx$.  Logo,
-certamente uma exponencial porque só as exponenciais têm a propriedade
-de que a velocidade de seu crescimento depende de si própria.  Esse é
-um fato importante aqui. Agora, pra solucionar a charada por completo,
-declare $u'(t) = P(x)$ (pra alguma transformação que leve $t$ a $x$)
-de forma que $u(t) = \int P(x) \dx$ e reescreva o problema como
 %
-  $$M'(x) = M(x) u'(t).$$
+  $$M(x) = \exp\left(\int P(x) \dx\right).$$
-%
-Já sabemos que $M(x)$ é uma exponencial e a regra da cadeia implica
-que a variável independente $x$ de $M(x)$ tem que ser $x = u(t)$.
-Assim, obtemos
-%
-  $$M'(x) = (M(u(t)))' = M'(u(t))u'(t)$$
-%
-que implica 
-%
-  $$M(x) = \int M'(x) \dx = \exp\left(\int P(x) \dx\right) P(x) = \exp\left(P(x) \dx\right),$$
-%
-como desejado.
 
-\begin{remark*}
+Agora sabemos que se multiplicarmos ambos os lados de uma equação
-Essa dedução ficou prolixa. Existe a resposta curta e de pouca emoção
+diferencial linear de primeira ordem por $\exp\left(\int P(x)
-que é o fato de que 
+\dx\right)$, obteremos no lado esquerdo da equação a derivada do
+produto de $\exp\left(\int P(x) \dx\right)$ por $y$, ou seja,
+obteremos a derivada de
 %
-  $$\exp\left(\int P(x) \dx\right)' = \exp(\Int P(x) \dx) P(x) + c.$$
+  $$y \exp\left(\int P(x) \dx\right),$$
 %
-Mas todos nós sabemos que é bom exercício induzir a resposta a partir
+restando apenas integrarmos o lado direito da equação com respeito a
-de um problema anterior em vez de magicamente aparecer com a resposta
+$x$.
-e mostrar que ela o soluciona.
-\end{remark*}
 
 \subsection{As lineares de segunda ordem}
 
@@ -6935,11 +6933,17 @@ em que $f_2(x)$, $f_1(x)$, $f_0(x)$ são constantes, ou seja, só
 sabemos resolver as equações
 %
   $$ay'' + by' + cy = g(x).$$
-%
+
-É possível resolver essa equação pra qualquer $g(x)$ diferenciável,
+As mais fáceis de resolver são aquelas em que $g(x) = 0$ e essas são
-mas no momento só sabemos tratar o problema quando $g(x)$ toma as
+chamadas de {\em homogêneas}.  As outras em que $g(x) \neq 0$ são
-formas de um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica ou
+chamadas de {\em não-homogêneas}.
-uma combinação dessas.
+
+\ghostsection{As homogêneas}. \lipsum[1]
+
+É possível resolver as não-homogêneas pra qualquer $g(x)$
+diferenciável, mas no momento só sabemos tratar o problema quando
+$g(x)$ toma as formas de um polinômio, uma exponencial, uma função
+trigonométrica ou uma combinação dessas.
 
 Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação 
 %
@@ -6947,16 +6951,213 @@ Consideremos primeiro o caso de um polinômio como o da equação
 %
 Um fato curioso sobre essa equação é que a solução geral dela é obtida
 a partir de uma solução particular.  E como uma solução particular é
-obtida?  Observe o que diz essa equação. Ela diz que $y(x)$ é uma
+obtida?  Observe o que diz essa equação.  Ela diz que $y(x)$ é uma
 função tal que sua segunda derivada mais duas vezes sua primeira
 derivada mais três vezes ela própria é um polinômio quadrático.  A
 gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
-derivadas de um polinômio é um polinômio, incluindo suas somas e
+derivadas de um polinômio são um polinômio, incluindo suas somas e
 constantes múltiplos.
 
-Hm. Na verdade comecei pelas não-homogêneas. Vamos retroceder e
+\section{Physics}
-considerar as homogêneas primeiro, discutindo especialmente a palavra
+
-``homogênea''.
+Tudo em física tem direção e unidade.  É um bom hábito computar
+aritmética sempre com as unidades---requer paciência de escrever e
+cancelá-las---e prestando atenção à direção em que as coisas se movem.
+
+Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
+intimidade com computar números.  Quando estiver incerto sobre a
+solução de um problema, use a calculadora pra rapidamente saber se
+realmente o raciocínio está certo. Depois disso, dê uma olhada e veja
+o que tem de difícil nas contas e procure facilitá-los.  Por exemplo,
+descarte todas a super-precisão desnecessária, faça arredondamentos e
+use os teoremas que facilitam contas---o que é uma arte admirável.
+Viver sem calculadora é excelente desenvolvimento, mas usemo-na sempre
+que útil---quando em pressa, por exemplo.
+
+\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
+converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
+fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
+%
+  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
+%
+Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
+multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
+%
+  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
+%
+como desejado.  
+
+Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
+horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
+os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
+constante ``s'' que representa a unidade em si.
+
+Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
+
+\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.  Eis o primeiro
+problema do IF.  Existe algum jeito mais simples de computar as
+respostas aqui?  Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
+aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
+Torricelli na manga.
+
+\begin{exercise*}
+Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
+cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
+depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
+distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
+Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
+freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
+da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
+-7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
+que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
+que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
+responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
+for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
+o mais sensato a fazer aqui.  (Mas note que nesse problema
+especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
+dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
+internacional quando reportamos os valores finais.)
+
+Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
+%
+  $$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
+%
+mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.  
+
+Ah, espere um momento!  Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
+velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração.  O carro então
+depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
+metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
+depois incorretamente de novo e por último corretamente).  Podemos
+agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
+a zero?  Não tenho uma fórmula pra velocidade.  Ah, compute a derivada
+de $x(t)$ pra obter
+%
+  $$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
+%
+Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
+queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
+%
+  $$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
+%
+cuja solução dá
+%
+  $$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
+%
+Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo.  A
+computação de 36/7.2 foi feita por calculadora.  No papel, faríamos
+$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer.  A conta que não é
+fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
+nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
+como facilitá-la.
+
+Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar.  Portanto, pra
+obter a distância adicional percorrida, queremos
+%
+  $$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
+%
+ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
+5 segundos.  Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
+primeiro---vida normal.
+\end{exercise*}
+
+\begin{remark*}
+Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
+valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
+consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
+descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
+compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
+em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve.  Parece boa
+a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
+observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
+fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
+importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
+\end{remark*}
+
+\ghostsection{A equação de Torricelli}.  A equação de Torricelli
+relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
+tempo. Ela é 
+%
+  $$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
+%
+Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
+abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.
+
+\begin{exercise*}
+Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
+pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
+no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
+nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
+50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
+t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
+v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
+$y(t)$, obtendo
+%
+\begin{align*}
+y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
+     = \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
+\end{align*}
+%
+Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática 
+%
+\begin{align*}
+    50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
+   980 &= v_0^2\\
+ 31.30 &= v_0,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
+leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
+31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
+como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
+contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
+algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
+quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
+aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
+muito perplexante.
+
+O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
+gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
+$v_0 = 31.3049$.  Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
+erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz.  Não
+deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
+dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
+resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
+tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
+$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
+\end{exercise*}
+
+\begin{remark*}
+O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
+novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
+resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
+colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
+0$.  Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
+%
+\begin{align*}
+  -50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
+      &= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
+   50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
+  100 &= (9.8) t^2\\
+    t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
+    t &= 3.1943,
+\end{align*}
+%
+como desejado.  Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
+colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
+ficando no lado negativo do eixo $y$.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
+acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
+obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
+precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros. Sim, rolou
+um momento de perplexidade.
+\end{remark*}
 
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