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calculus.tex

@@ -6958,206 +6958,6 @@ gente pode especular que $y(x)$ é um polinômio também porque todas as
 derivadas de um polinômio são um polinômio, incluindo suas somas e
 constantes múltiplos.
 
-\section{Physics}
-
-Tudo em física tem direção e unidade.  É um bom hábito computar
-aritmética sempre com as unidades---requer paciência de escrever e
-cancelá-las---e prestando atenção à direção em que as coisas se movem.
-
-Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
-intimidade com computar números.  Quando estiver incerto sobre a
-solução de um problema, use a calculadora pra rapidamente saber se
-realmente o raciocínio está certo. Depois disso, dê uma olhada e veja
-o que tem de difícil nas contas e procure facilitá-los.  Por exemplo,
-descarte todas a super-precisão desnecessária, faça arredondamentos e
-use os teoremas que facilitam contas---o que é uma arte admirável.
-Viver sem calculadora é excelente desenvolvimento, mas usemo-na sempre
-que útil---quando em pressa, por exemplo.
-
-\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
-converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
-fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
-%
-  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
-%
-Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
-multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
-%
-  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
-%
-como desejado.  
-
-Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
-horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
-os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
-constante ``s'' que representa a unidade em si.
-
-Assim você converte qualquer coisa com facilidade.
-
-\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.  Eis o primeiro
-problema do IF.  Existe algum jeito mais simples de computar as
-respostas aqui?  Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
-aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
-Torricelli na manga.
-
-\begin{exercise*}
-Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
-cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
-depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
-distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
-Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
-freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
-da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
--7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
-que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
-que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
-responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
-for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
-o mais sensato a fazer aqui.  (Mas note que nesse problema
-especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
-dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
-internacional quando reportamos os valores finais.)
-
-Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
-%
-  $$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
-%
-mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.  
-
-Ah, espere um momento!  Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
-velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração.  O carro então
-depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
-metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
-depois incorretamente de novo e por último corretamente).  Podemos
-agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
-a zero?  Não tenho uma fórmula pra velocidade.  Ah, compute a derivada
-de $x(t)$ pra obter
-%
-  $$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
-%
-Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
-queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
-%
-  $$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
-%
-cuja solução dá
-%
-  $$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
-%
-Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo.  A
-computação de 36/7.2 foi feita por calculadora.  No papel, faríamos
-$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer.  A conta que não é
-fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
-nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
-como facilitá-la.
-
-Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar.  Portanto, pra
-obter a distância adicional percorrida, queremos
-%
-  $$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
-%
-ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
-5 segundos.  Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
-primeiro---vida normal.
-\end{exercise*}
-
-\begin{remark*}
-Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
-valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
-consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
-descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
-compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
-em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve.  Parece boa
-a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
-observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
-fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
-importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
-\end{remark*}
-
-\ghostsection{A equação de Torricelli}.  A equação de Torricelli
-relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
-tempo. Ela é 
-%
-  $$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
-%
-Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
-abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.
-
-\begin{exercise*}
-Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
-pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
-no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
-nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
-50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
-t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
-v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
-$y(t)$, obtendo
-%
-\begin{align*}
-y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
-     = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
-     = \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
-     = \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
-\end{align*}
-%
-Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática 
-%
-\begin{align*}
-    50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
-   100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
-   980 &= v_0^2\\
- 31.30 &= v_0,
-\end{align*}
-%
-como desejado.  Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
-leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
-31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
-como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
-contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
-algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
-quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
-aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
-muito perplexante.
-
-O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
-gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
-$v_0 = 31.3049$.  Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
-erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz.  Não
-deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
-dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
-resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
-tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
-$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
-\end{exercise*}
-
-\begin{remark*}
-O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
-novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
-resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
-colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
-0$.  Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
-%
-\begin{align*}
-  -50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
-      &= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
-   50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
-  100 &= (9.8) t^2\\
-    t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
-    t &= 3.1943,
-\end{align*}
-%
-como desejado.  Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
-colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
-ficando no lado negativo do eixo $y$.
-\end{remark*}
-
-\begin{remark*}
-Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
-acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
-obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
-precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros. Sim, rolou
-um momento de perplexidade.
-\end{remark*}
 
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