physics/physics.tex

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%% --8<-------------------------------------------------------->8---
%% Sometimes I wanna make a section without making it a real section,
%% so let's call it a ghostsection.  Because I currently write with no
%% paragraph skip at all, I'm using the math-mode space skip to
%% separate the section from the text (of the previous section). A
%% ghost section is cute---check it out.  Notice that the
%% responsibility of adding a period after the bold title is the
%% user's.
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%% Yeah, TeX is very cryptic---I know.  It's really a different world.
%% --8<-------------------------------------------------------->8---

%% A shortcut to \dfrac.
\newcommand{\fr}{\dfrac}
%% A shortcut to writing "Solution".
\newcommand{\sol}{{\em Solução}}

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\title{Physics}
\author{Ruth Hernández \& husband}
\date{March 16, 2026}

\begin{document}\maketitle\selectlanguage{brazil}
\setlength{\parskip}{0.3cm}
%% \setlength{\parindent}{0pt}

[16/03/2026 - 01:54] Oi, meu amor. Acabei me sentindo meio elétrica
agora de madrugada, então comecei a ler o livro de Física do H. Moysés
Nussenzveing. Para poder registrar melhor o que vou pensar e aprender
durante esse curso, resolvi escrever esse documento. Espero poder
saber e conseguir expressar tudo que absorvi durante os estudos.

O Moysés inicia o livro com a seguinte pergunta "Para que serve a
física?".  A primeira coisa que respondi -- mentalmente -- foi: para
tentar compreender a natureza. Depois me veio a seguinte pergunta: e
quando o homem começou a pensar nisso?! Para responder essa pergunta
achei que seria legal se conseguirmos construir a história, assim como
fizemos ao falar sobre Israel. A história nos diz os primeiros
questionamentos começaram a surgir na Grécia Antiga. Aí me fiz outra
pergunta: O que é a Grécia? Sempre escutamos falar sobre duas polis
dela, então para compreender isso melhor, vamos estudar a Antiguidade
Clássica: origem e formação.

\tableofcontents

\section{História da Física}
 \subsection{Civilização Grega: origem e construção}

Começamos em aproximadamente 1600-1100 a.C., com a Civilização
Micênica (formada por povos indo-europeus: jônios, aqueus e eólios),
que habitavam em torno da Ilha de Creta. Por volta de 1450 a.C. eles
conquistam a Ilha de Creta onde vivia a Civilização Minoica. E então,
absorvem muitos elementos da cultura minoica, formando a Civilização
Creto-Micênica. Esse é o período que chamamos de Pré-Homérico. Em 1200
a.C. com a chegada dos Dórios na região, a Civilização Creto-Micênica
é desestabilizada. Por conta dessa desordem e violência dos Dórios, o
povo começa a se organizar em pequenos grupos chamados Genos e também
ocorre a 1a Diáspora Grega. Esses episódios marcam o início do período
Homérico -- esse período recebe esse nome pois tudo que sabemos sobre
ele vem das obras do poeta Homero, principalmente os poemas Ilíada
(que trata da Guerra de Tróia: com a 1a Diáspora Grega, os gregos vão
para a Ásia Menor (antes chamada Anatólia, e atual Turquia), e é nessa
região que vamos ter os eventos contados nas obras de Homero.) e
Odisseia.

Nesse período a terra era comunal, apenas administrada pelos Genos,
não existia propriedade privada e nem desigualdade social. O que
definia um status dentro do Genos eram os laços de família, é a partir
daí que no período Homérico surge a formação de uma nobreza gentílica,
uma aristocracia gentílica que serão os chamados "eupátridas" --
eupátridas são os descendentes daqueles que foram os primeiros a
formarem os Genos/Comunidade Gentílica. No século VII a.C., quando os
eupátridas resolvem se apropriar das melhores terras, temos a
concentração de poder e terras. Sendo assim a população é
desestabilizada, deixam de ser proprietários e se tornam camponeses --
chamados de Georgóis. Com essa queda e perda de poder, os gregos que
resolvem fugir para outras regiões (saem da Península Balcânica para o
sul da Itália) fazem a 2a Diáspora Grega, o que marca o fim do período
Homérico.

Então começa a formação das colônias gregas, que marca o início do
Período Arcaíco. Nesse período os Genos começam a formas as
cidades-estados independentes, as Polis. A Grécia nunca será um país,
uma nação porque não possuía uma unificação política e
administrativa. Eles apenas haviam unificação de língua, cultura e
religião. Existiam várias cidades-estados na antiga Hélade (Grécia),
mas os modelos principais são: Atenas e Esparta.  Atenas representa
tudo aquilo que esperamos da Grécia: democracia, cultura, teatro, e
filosofia. Por outro lado, temos Esparta com uma sociedade
militarizada e poder oligárquico (na mão de poucas pessoas), sua
cultura é chama de: laconismo -- A região onde Esparta se encontra, na
península do Peloponeso, se chama Lacônia. -- Uma pessoa lacônica
seria do tipo: Não pense, faça!

Agora vamos seguir por Atenas, e estudar o desenvolvimento dessa
polis. Já vimos que os eupátridas ( = filhos de bons pais) são os
descendentes dos primeiros a formarem os Genos, e vão se apoderando
das melhores terras. Sabemos que os georgóis são aqueles que perderam
suas terras, e grande parte deles vão para outras regiões: 2a Diáspora
Grega, o marco do fim do Período Homérico e início do Período
Arcaíco. Todo esse movimento impulsiona o desenvolvimento do comércio
e do artesanato. Esse grupo que surge são chamados de
"demiurgos". Grupo esse que começa a enriquecer, que começa a
construir poder econômico. Sendo assim, os georgóis e os demiurgos
começam a pressionar os eupátridas por mudanças em Atenas. Os
(comerciantes) demiurgos querem mais participação política, e os
georgóis querem melhorias em suas condições econômicas. Em meio a
tantas lutas sociais em Atenas, teremos: os reformadores. Eles irão
trabalhar em reformas e mudanças de acordo com a pressão dos demiurgos
e georgóis. O primeiro dos reformadores será Dracon, ele vai propor a
escrituração das leis de Atenas. Mas ele não agradou muito os
demiurgos e georgóis, então entra o segundo reformador: Sólon. Sólon
propõe uma reogarnização da sociedade, ao invés de serem divididos por
laço sanguíneo, serem divididos de acordo com a renda, com a riqueza.

 \subsection{Filosofia e o início das Ciências Exatas}

É nesse cenário de reformas que a filosofia surge na Grécia. Sólon
caminhava em direção á democracia (démokratía, de dêmos 'povo' +
kratía 'força, poder'), e o povo cada vez mais passou a questionar a
sua realidade e a buscar respostas racionais em vez de aceitar tudo
como natural. As repostas não vinham mais dos deuses e sim de qualquer
um que tomasse a atitude de pensar e explicar ela.  Os primeiros
filósofos que se tem conhecimento são chamados de pré-socráticos. O
objeto de estudo deles é a explicação da origem chamada: arché, e da
natureza: physis. Eles chegam com um estudo racional sobre as
transformações da natureza.

Tales de Mileto (640-548 a.C.) é considerado o primeiro filósofo da
história e faz parte da lista dos Sete Homens Sábios da Grécia. Para
ele a água era a origem de todas as coisas, e o Universo Alguns feitos
de Tales foram: o teorema de Tales; descoberta do triângulo isósceles;
previsão do eclipse solar em 585 a.C.; Explicação sobre as cheias do
rio Nilo; primeira teoria cosmológica e invenção da filosofia. Tales
tem como discípulo Anaximandro (610-547 a.C.), era geógrafo, também
matemático, astrônomo e político, Anaximandro afirmava que o infinito
(apeíron) é a origem de todas as coisas. Foi o primeiro filósofo a
usar a palavra "arché" para se referir a um elemento base para todas
as coisas. Seguindo as ideias de Anaximando, Anaxímenes (588-524 a.C)
diz que a origem do universo advém do ar. Explicava as mudanças que
ocorrem na natureza através do processo de condensação e raferação do
ar. Esses três são os principais representantes da Escola Jônica, e
abriram caminho para os próximos filósofos.

Mais tarde, no século VI a.C., temos Pitágoras de Samos e fundou a
chamada Escola Pitagórica. Para Pitágoras, tudo no universo podia ser
explicado por relações numéricas. A Escola Pitagórica marcou
profundamente a filosofia e a ciência ocidental, construíram um forte
legado na matemática: com Teorema de Pitágoras, estudo de proporções e
números irracionais; na astronomia: com a ideia de que os astros
seguem leis matemáticas; na filosofia: foram influenciados por Tales
de Mileto e pela tradição jônica, mas seguiu um caminho mais abstrado
e matemático e influenciaram Platão, que também via a matemática como
caminho para compreender o mundo das ideias; e na ciência moderna: a
noção de que a realidade pode ser descrita por leis matemáticas é um
dos pilares da física contemporânea. A Escola Pitagórica amplia o
horizonte filosófico ao introduzir a matemática como chave para
compreender o universo.

Surgida no século V a.C. e marcando o fim da filosofia pré-socrática,
os filósofos -- chamados atomistas -- Leucipo de Mileto e Demócrito de
Abdera, criam a teoria de que tudo no unverso é formado por partículas
indivisíveis chamadas átomos. Apesar das limitações , o atomismo é
considerado o ponto de partida da teoria atômica moderna, retomada por
cientistas como Dalton no século XIX.

Ainda no século V a.C. temos o auge da filosofia grega com o início do
período Socrático. Com o desenvolvimento da pólis e da democrácia
ateniense, Sócrates traz uma mudança de foco do estudo da natureza
para a análise do ser humano e sua conduta. Trabalha na necessidade de
discutir valores, leis e convivëncia social. Fazendo esse
deslocamento, Sócrates, inaugura uma tradição que mais tarde molda
toda a filosofia ocidental. Tudo que sabemos sobre Sócrates vem dos
livros escritos por seu discípulo Platão, que inicía o Período
Clássico e continua preservando as ideias do pensamento socrático,
desenvolvendo a Teoria das Ideias. Para Platão, os fenômenos físicos
eram comparáveis a sombras na caverna: não revelavam a essência,
apenas aparências. Mais tarde, Aristóteles sistematizou esse tipo de
investigação e a chamou de metafísica. Aristóteles foi o grande
sistematizador da filosofia antiga, trazendo a investigação para o
campo da experiência e criando bases que sustentaram tanto a filosofia
quanto as ciências por séculos, classificou e sistematizou áreas como
biologia, física, política e ética.

Aristóteles foi um dos primeiros grandes estudiosos da física,
entendida na Antiguidade como o estudo da natureza e do movimento. Sua
“Física” não corresponde à ciência moderna, mas estabeleceu conceitos
fundamentais como movimento, causa, tempo e lugar natural, que
dominaram o pensamento ocidental por quase dois milênios. O tratado
Física (em oito livros) é considerado a base da filosofia natural. A
Física Aristotélica têm como conceitos centrais, sendo eles os quatro
elementos: terra, água, ar e fogo; lugares naturais: cada elemento
tende a ocupar uma posição específica em relação ao centro da Terra
(que Arístoteles considerava o centro do universo); gravidade e
leviandade: objetos caem ou sobem para alcançar seu lugar natural;
movimento retilíneo: resultado da busca pelo lugar natural, em linha
reta e com velocidade constante; ato e potência: explicação filosófica
para mudança, tudo que existe pode estar em potência (possibilidade)
ou em ato (realização); tempo: definido como a medida do movimento em
relação ao "antes" e "depois".

Apesar de “ingênua” em termos científicos modernos, foi um esforço
pioneiro de racionalização da natureza e influenciou profundamente a
ciência e filosofia. A física aristotélica foi adotada pela
Escolástica e permaneceu como referência até o Renascimento. Não
incluía experimentação sistemática nem matemática rigorosa; por isso
foi superada por Galileu e Newton.

\subsection{Queda da Grécia e a Ascenção Romana}

Ainda está em construção, meu amor. Um beijo apertado da sua mocinha
\texttt{<3}

Está uma construção bonita e muito gostosa de se ver. Um beijo
delicado do seu namorado. {\tt <3}

\section{Medições}

Tudo em física tem direção e unidade porque a ciência é a arte de
medir.  Medir significa comparar uma quantidade a uma referência, que
chamamos de unidade.  
%
\begin{quote}
    ``Science, we are often taught, is measurement.''~\cite[capítulo
    2, página 14]{tea}
\end{quote}
%
É bom hábito computar aritmética sempre com as
unidades---requer paciência de escrever e cancelá-las---e prestando
atenção à direção em que as coisas se movem já que em física tudo tem
direção (exceto as coisas escalares).

Como não podemos usar calculadora na prova, precisamos ganhar
intimidade com computar números.  Quando estivermos incertos sobre a
solução de um problema, usemos a calculadora pra rapidamente saber se
realmente o raciocínio está certo. Depois disso, demos uma olhada e
vejamos o que tem de difícil nas contas e procuremos facilitá-las.
Por exemplo, descartemos toda a super-precisão desnecessária, façamos
arredondamentos e usemos os teoremas que facilitam contas---o que é
uma arte admirável.  Viver sem calculadora é excelente
desenvolvimento, mas usemo-na sempre que útil---quando em pressa, por
exemplo.

\ghostsection{Como se converte unidades}. Uma estratégia muito útil em
converter unidades é considerar a relação entre duas unidades como uma
fração de valor 1. Por exemplo, se 1 hora é 3600 segundos, então
%
  $$1 \text{ h} = 3600 \text{ s} \text{ implica } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 1 $$
%
Agora, se você quer converter 1800 segundos pra horas, basta
multiplicar pela razão 1 acima, obtendo
%
  $$1800 \text{ s} = 1800 \text{ s } \fr{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \fr{ 1800\text{ h}}{3600} = \fr{1}{2} \text{ h},$$
%
como desejado.  

Observe que se você quer conversão pras horas, então sua razão terá as
horas no numerador porque assim os segundos no denominador cancelarão
os segundos que estão no numerador. Por ``segundos'' quero dizer a
constante ``s'' que representa a unidade em si.

Assim você converte qualquer coisa com facilidade.

\ghostsection{De volta ao movimento unidimensional}.  Eis o primeiro
problema do IF.  Existe algum jeito mais simples de computar as
respostas aqui?  Como só conhecemos uma única fórmula, sempre a
aplicamos, mas você verá à frente que minha gatinha tinha um
Torricelli na manga.

\begin{exercise*}
Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a velocidade
cai de 72 pra 26 km/h em 5 segundos. Que distância o carro percorre
depois disso até parar? Quanto tempo levará pra percorrer essa
distância adicional? \sol. Não sei resolver. Qual é o meu problema?
Não sei que fórmula usar. Sei obter a aceleração do carro. Ele está
freiando, então tem uma aceleração negativa. Aceleração é a variação
da velocidade sobre o tempo. Então temos $a = (72 - 36)/(0 - 5) =
-7.2$ km/h. Aqui já cabe uma pergunta---devemos responder $-7.2$ km/h,
que tem dois algarismos significativos ou devemos dizer $-7$ km/h, já
que os dados contêm apenas um significativo? Digo que devemos
responder $-7$ km/h pra respeitar o sistema internacional. Se a prova
for discursiva, explicar esse fato; se não, marcar a melhor opção---é
o mais sensato a fazer aqui.  (Mas note que nesse problema
especialmente, usar o $-7.2$ é o melhor a fazer porque as contas vão
dar mais certo usando-o. A gente só deve respeitar o sistema
internacional quando reportamos os valores finais.)

Okay, temos a aceleração---e agora? Lembro perfeitamente da fórmula
%
  $$x(t) = x_0 + v_0 t + \fr{1}{2}a t^2,$$
%
mas nem sei como usá-la pra resolver esse problema.  

Ah, espere um momento!  Sei como descobrir $x(5)$ porque sei a
velocidade e a posição em $t=0$ e tenho a aceleração.  O carro então
depois de 5 segundos está em $x = 0.075$ km, ou seja, posição $75$
metros, conta que obtive na calculadora (primeiro incorretamente,
depois incorretamente de novo e por último corretamente).  Podemos
agora descobrir em que posição ele estará quando sua velocidade chegar
a zero?  Não tenho uma fórmula pra velocidade.  Ah, compute a derivada
de $x(t)$ pra obter
%
  $$v(t) = x'(t) = v_0 + at.$$
%
Aos 5 segundos, a velocidade inicial do carro vai ser 36 km/h e
queremos $t$ tal que $v(t) = 0$, obtendo o problema
%
  $$0 = \fr{36}{3600} + \left(\fr{-7.2}{3600}\right)t$$
%
cuja solução dá
%
  $$t = \fr{36}{7.2} = 5 \text{ segundos}.$$
%
Note que não escrevemos as unidades aqui por economia de tempo.  A
computação de 36/7.2 foi feita por calculadora.  No papel, faríamos
$360 \div 72$, que é uma conta fácil de fazer.  A conta que não é
fácil de fazer nesse problema é a conta que nos leva ao fato de que
nos 5 segundos iniciais, o carro percorre $0.75$ km, mas nem pensei em
como facilitá-la.

Anyway, o carro percorre mais 5 segundos até parar.  Portanto, pra
obter a distância adicional percorrida, queremos
%
  $$x(10) - x(5)= 0.1 - 0.075 = 0.025 \text{ km},$$
%
ou seja, o carro ainda se desloca por mais 25 metros, o que levou mais
5 segundos.  Note que a segunda pergunta do problema foi respondida
primeiro---vida normal.
\end{exercise*}

\begin{remark*}
Eis a importância de se usar calculadora. Mesmo usando-a, errei o
valor obtido em $x(5)$ e depois acertei em $x(10)$. Usando Python,
consegui descobrir isso rapidamente, mas teria levado talvez horas pra
descobrir se estivesse calculando na mão. O cansaço decorrente não
compensa o desgosto gerado uma vez que estamos realmente preocupados
em cobrir terreno porque temos uma prova a fazer em breve.  Parece boa
a estratégia de refazer as contas (quando elas estiverem certas)
observando o que podemos facilitar na computação. (LOL---tinha erro na
fórmula Python, então tive que corrigir novamente. Agora é enfática a
importância de calculadora aqui, isto é, de um computador mesmo.)
\end{remark*}

\ghostsection{A equação de Torricelli}.  A equação de Torricelli
relaciona a velocidade diretamente com a aceleração sem envolver o
tempo. Ela é 
%
  $$v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
%
Sendo assim, veja como podemos aplicá-la no problema
abaixo---agradecimentos à gatinha mais linda do mundo.

\begin{exercise*}
Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente pra cima
pra que a bola alcance a altura máxima de 50m? Quanto tempo ela ficará
no ar? Desenhe os gráficos $y$, $v$ e $a$ {\em versus} $t$.  Indique
nos dois primeiros gráficos o instante em que ela alcança os
50m. \sol. Computei a derivada de $y(t) = 0 + v_0 t + (1/2) (-9.8)
t^2$ pra obter $v(t) = v_0 - 9.8 t$ e assim isolei $t =
v_0/9.8$. Então consegui eliminar $t$, substituindo $v_0/9.8$ em
$y(t)$, obtendo
%
\begin{align*}
y(t) = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{9.8}{2} \fr{v_0^2}{9.8^2}
     = \fr{v_0^2}{9.8} - \fr{v_0^2}{2 \cdot 9.8}
     = \fr{v_0^2}{9.8} \left(1 - \fr{1}{2}\right)
     = \fr{v_0^2}{9.8} \cdot \fr{1}{2}
\end{align*}
%
Como queremos altura de 50m, obtemos a quadrática 
%
\begin{align*}
    50 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
   100 &= \fr{v_0^2}{9.8}\\
   980 &= v_0^2\\
 31.30 &= v_0,
\end{align*}
%
como desejado.  Agora, quando prosseguimos pra perguntar quanto tempo
leva pra essa bola alcançar esses 50m, obtemos a quadrática $-4.9t^2 +
31.30 t - 50 = 0$, que não tem raiz. Como pode? O problema não tem
como estar errado. Queremos lançar uma bola pra cima até atingir 50m e
contabilizar o tempo---isso é perfeitamente físico. Estamos errados em
algum lugar. Como nossa $v_0$ casa com o gabarito, é na produção da
quadrática que estamos errados---aritmética! (A gente erra muita
aritmética.) Mas a aritmética parece correta, então física é uma coisa
muito perplexante.

O problema é o seguinte. Quando usamos o valor $v_0 = 31.30$ m/s, a
gente tá fazendo uma aproximação. Com 6 algarismos significativos,
$v_0 = 31.3049$.  Quando montamos a quadrática com $v_0 = 31.30$, o
erro de arredontamento fez uma quadrática que não tinha raiz.  Não
deveríamos ter-nos interrompido: bastava procurar pelo ponto máximo
dela que encontraríamos $t = 3.1938 \approx 3.2$, de onde obteríamos a
resposta correta $t = 6.4$ (ida e volta). Se em vez de $v_0 = 31.30$,
tivéssemos arredondado pra $v_0 = 31.305$, encontraríamos a quadrática
$-4.9t^2 + 31.305 t - 50 = 0$, que tem raiz $t \approx 3.18$.
\end{exercise*}

\begin{remark*}
O fato é que esse problema precisa ser resolvido do zero
novamente. Tem formas muito mais fáceis de se raciocinar aí. A gente
resolveu o problema colocando a origem em $y = 0$, mas poderíamos
colocá-la no ápice da altura (ou seja, a 50 m do chão), onde $v_0 =
0$.  Assim, o termo linear da quadrática some e obtemos a equação
%
\begin{align*}
  -50 &= v_0 t + \fr{1}{2} a t^2\\
      &= 0 \cdot t + \fr{1}{2} (-9.8) t^2\\
   50 &= \fr{1}{2} (9.8) t^2\\
  100 &= (9.8) t^2\\
    t &= \sqrt{\left(\fr{100}{9.8}\right)}\\
    t &= 3.1943,
\end{align*}
%
como desejado.  Note que agora a posição desejada é $-50$ porque
colocamos o ápice da bola como $y = 0$ e então ela vai cair 50 metros,
ficando no lado negativo do eixo $y$.
\end{remark*}

\begin{remark*}
Sabe o que é curioso? Errei a aritmética quando computei o comentário
acima. Em vez de dividir 100 por 9.8, eu multipliquei 100 por 9.8,
obtendo 980, cuja raiz é exatamente $v_0$, a velocidade com que a bola
precisa partir pra chegar com velocidade zero a 50 metros. Sim, rolou
um momento de perplexidade.
\end{remark*}

\printbibliography

\selectlanguage{english}
\end{document}